П.5. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Пусть  – три произвольных вектора.

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости, т.е., будучи приведены к одному началу, лежат в одной плоскости.

Смешанным произведением векторов  называется число равное скалярному произведению векторного произведения векторов  на вектор   т.е.  Геометрический смысл смешанного произведения определяется следующей теоремой.

Теорема 2.1. Смешанное произведение  равно объему параллелепипеда V, построенного на векторах , взятому со знаком "+", если тройка векторов  правая, и со знаком "–", если тройка векторов  левая.

Если векторы  компланарны, то смешанное произведение рано нулю, т.е.

Теорема 2.2. В смешанном произведении векторов знаки векторного и скалярного произведений можно поменять местами, т.е.

Так как справедлива теорема 2.2, смешанное произведение обозначают символом .

Найдем выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей. Пусть

тогда по формулам (2.9), (2.11) находим:

Основные приложения смешанного произведения векторов

1. Вычисление объема тетраэдра и параллелепипеда, построенного на векторах  (рис. 2.10).

Если векторы  некомпланарны, то по теореме 2.1

- объем тэтраэдра.          (2.13)

                             объем параллепипеда.

2. Вычисление высоты тетраэдра (параллелепипеда).

Вычислим объем тетраэдра двумя способами:

с одной стороны,

,

с другой стороны,

отсюда  (высота параллелепипеда такая же);

3. Условие компланарности векторов (теорема 2.1):

 – компланарны.

 

 

Задание на Дом:

 РЕШИТЬ ЗАДАЧИ

 Тема 1. Векторная алгебра.

1.Даны векторы (2;1) и (-1;1). Найти скалярное произведение 2.Даны векторы  и .                                            Найти скалярное произведение 3.Даны векторы (1;1) и (-5;2). Найти скалярное произведение

4.Определить площадь треугольника, построенного на векторах =(3;2;0),             =(0;-1;1).

5.Определить площадь треугольника, построенного на векторах =(1;2;0),                 =(2;-1;3).

6.Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах =(-1;1;0),                =(3;1;1), =(0;-1;-2).

Тема 2. Матрицы и определители.

П.2.1. Понятие матрицы

Опр. 1. Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.

Для обозначения матриц используются прописные буквы латинского алфавита: А, В, С,....

Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. В обозначениях элементы матрицы, снабжаются двумя индексами i, j, первый индекс – номер строки, второй индекс – номер столбца, в которых находится элемент, т.е.  (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) элементы матрицы. Таким образом, полное обозначение матрицы имеет вид:

.                                               (2.1)

Для краткого обозначения матрицы будем использовать запись:

                                                   (2.2)

Числа m и n называются размерами матрицы, т.е. (2.1), (2.2) – записи матрицы размеров m на n (m строк и n столбцов).

Опр. 2. Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n.

Опр. 3. Матрица, в которой столбцы заменены строками, а строки столбцами, называется транспонированной и обозначается .

Опр. 4. Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами называются главной диагональю, т.е. элементами главной диагонали будут:

Транспонированная матрица  получается из матрицы А поворотом на 180° относительно главной диагонали. Например,

если

Действия над матрицами

Рассмотрим две матрицы одинаковых размеров m n: , . Обозначим через I множество, состоящее из первых m чисел натурального ряда, т.е.

I = {1, 2,..., m}.

1. Опр.5 Матрицы А и В называются равными, если

,

т.e. в которых равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Обозначается: А = В.

2. Опр. 6. Суммой матриц А и В называется матрица , элементы которой определяются по формулам:

т.e. элементы матрицы С равнысумме соответствующих элементов матриц А и В.

Обозначается: С = А + В.

3. Опр. 7.Произведением матрицы А на действительное число  называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

т.е. каждый элемент матрицы А умножается на число .

Обозначается: .

Пусть теперь , , т.е. число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

4. Опр8. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица размера m n , элементы которой вычисляются по формуле:

,

т.е. элемент матрицы С с номерами i и j равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (правило «строка на столбец»). Обозначается: .

Например, если  то элементы матрицы  будут равны:

,

таким образом

.

Произведение матриц не коммутативно (не перестановочно)!, т.е., вообще говоря, .

Опр. 9. если все-таки , то матрицы А и В называются перестановочными.

Опр.10. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0, называется единичной и обозначается: Е.

Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей порядка n, так как нетрудно убедиться, что .

Опр.11. Определим понятие обратной матрицы. Оно определяется только для квадратных матриц. Далее А – квадратная матрица порядка n.

Матрица  называется обратной к матрице А, если

Поэтому матрицы А и  называются взаимно обратными.

П.2.2. Определители.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n.

Опр. 12. Определителем или детерминантом n-го порядка матрицы А называется число

где сумма вычисляется по всем перестановкам вторых индексов.                            (2.3)

Обозначения определителя: , det A, или в полной записи:

.

Используя определение определителя порядка n, получим формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядка.

При n =2:

                              (2.4)

При n = 3.

              (2.5)