Арифметические основы информационных сетей

Практическая работа № 1.

Арифметические основы информационных сетей

Цель работы: Изучения способов представления и обработки данных в компьютерах.

Что такое система счисления?

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 ^. 10² + 5 ^. 10¹ + 7 ^. 10⁰ + 7 ^. 10^—1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2 +... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 +... + a_-m q^-m,

где a_i — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.
Например:

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

• в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
• в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
• в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
• в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);
• восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7);
• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

 

10-я 2-я 8-я 16-я 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9

10-я 2-я 8-я 16-я 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

 

В ы ч и т а н и е

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆



Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.



Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;
215,4₈ = 2^. 8² + 1^. 8¹ + 5^. 8⁰ + 4^. 8^-1 = 141,5;
8D,8₁₆ = 8^. 16¹ + D^. 16⁰ + 8^. 16^-1 = 141,5.

 

Целые числа без знака

Обычно занимают в памяти компьютера один, два, четыре и т.д. байта. В однобайтовом формате принимают значения от 00000000₂ до 11111111₂. В двухбайтовом формате - от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Целые числа со знаком

Обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.

 

 

Сложение и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:


Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:


Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -11₁₀ вместо обратного кода числа -10₁₀) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -10₁₀.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2^n-1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2^n-1 = 27 = 128). Например:

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2^n-1. Например:

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:



Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:


Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:


Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Упражнения

1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.

 

2. Какие целые числа следуют за числами:

а) 12;	е) 18;	п) F16;
б) 1012;	ж) 78;	м) 1F16;
в) 1112;	з) 378;	н) FF16;
г) 11112;	и) 1778;	о) 9AF916;
д) 1010112;	к) 77778;	п) CDEF16?

3. Какие целые числа предшествуют числам:

а) 102;	е) 108;	л) 1016;
б) 10102;	ж) 208;	м)2016;
в) 10002;	з) 1008;	н) 10016;
г) 100002;	и) 1108;	о) A1016;
д) 101002;	к) 10008;	п) 100016?

4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число?

5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

• а) в двоичной системе;
• б) в восьмеричной системе;
• в) в шестнадцатеричной системе?

6. В какой системе счисления справедливо следующее:

• а) 20 + 25 = 100;
• б) 22 + 44 = 110?

7. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.

8. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 10110112;	е) 5178;	л) 1F16;
б) 101101112;	ж) 10108;	м) ABC16;
в) 0111000012;	з) 12348;	н) 101016;
г) 0,10001102;	и) 0,348;	о) 0,А416;
д) 110100,112;	к) 123,418;	п) 1DE,C816.

9. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 125₁₀; б) 229₁₀; в) 88₁₀; г) 37,25₁₀; д) 206,125₁₀.

10. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1001111110111,01112;	г) 1011110011100,112;
б) 1110101011,10111012;	д) 10111,11111011112;
в) 10111001,1011001112;	е) 1100010101,110012.

11. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

а) 2СE₁₆; б) 9F40₁₆; в) ABCDE₁₆; г) 1010,101₁₆; д) 1ABC,9D₁₆.
1 2. Выпишите целые числа:

• а) от 101101₂ до 110000₂ в двоичной системе;
• б) от 202₃ до 1000₃ в троичной системе;
• в) от 14₈ до 20₈ в восьмеричной системе;
• г) от 28₁₆ до 30₁₆ в шестнадцатеричной системе.

13. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:

 

14. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 10111012 и 11101112;	д) 378 и 758;	и) A16 и F16;
б) 1011,1012 и 101,0112;	е) 1658 и 378;	к) 1916 и C16;
в) 10112, 112 и 111,12;	ж) 7,58 и 14,68;	л) A,B16 и E,F16;
г) 10112, 11,12 и 1112;	з) 68, 178 и 78;	м) E16, 916 и F16.

15. Выполните вычитание:

а) 1112 из 101002;	д) 158 из 208;	и) 1А16 из 3116;
б) 10,112 из 100,12;	е) 478 из 1028;	к) F9E16 из 2А3016;
в) 111,12 из 100102;	ж) 56,78 из 1018;	л) D,116 из B,9216;
г) 100012 из 1110,112;	з) 16,548 из 30,018;	м) ABC16 из 567816.

16. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

• а) 74₈, 110010₂, 70₁₀, 38₁₆;
• б) 6E₁₆, 142₈, 1101001₂, 100₁₀;
• в) 777₈, 101111111₂, 2FF₁₆, 500₁₀;
• г) 100₁₀, 1100000₂, 60₁₆, 141₈.

17. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2,..., -3 в однобайтовом формате:

• а) в прямом коде;
• б) в обратном коде;
• в) в дополнительном коде.

18. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):

а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.

 

19. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):

а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.

 

20. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:

а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.
 

21. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:

а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.
 

Содержание отчёта.

1. Номер, название работы.

2. Цель работы.

3. Условия и решения упражнений с пояснениями.

4. Выводы.

Практическая работа № 1.

Арифметические основы информационных сетей