Экскурс в историю появления понятия интеграла

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

"ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ"

Подготовила:

студентка 2 курса, специальность 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Давтян Татьяна.

Научный руководитель преподаватель математики Михалёва Т.Ю.

 

 

2020

СОДЕРЖАНИЕ

 

I. Введение……………………………….……………………………..…..
II. Основная часть…………………………………………………….…….
1. Экскурс в историю появления понятия определенного интеграла……………………………………………………………. 2. Определенный интеграл и его свойства…………………………..
3. Геометрический и экономический смысл определённого интеграла………………………………………………………….. 4. Применение определённого интеграла и графической программы Graph в экономических расчетах……………………………………………………………
4.1. Задачи об объёме продукции
4.2. Задачи на вычисление средних значений экономичных функций
4.3. Задачи на определения прироста капитала по известныминвестициям.
4.4. Задачи на оценку дифференциации доходов населения
III. Заключение………………………………………………..…………….
IV. Список использованных источников и литературы ………………...
V. Приложение…………..…………………………………………………

 

I. Введение

 

Элементы математического анализа занимают значительное место в области математики. Интегральное исчисление, одно из основных частей математического анализа. Интеграл первоначально возникшие как инструмент решения задачи вычисления площадей, сегодня играет важную роль в современной математике, физике, экономике  и их приложениях. С помощью интеграла можно строго формулировать многие законы природы.

 В курсе математики с помощью интегрального исчислений вычисляются длины, площади и объемы геометрических фигур. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается. В физике интеграл используют для вычисления работы переменной силы, пути, пройденный телом, нахождения давление жидкости на вертикальную пластинку, вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой; вбиологии-для нахождения численности популяций, биомассы популяций, средней длины пролета птиц. Можно привести еще массу примеров применения определенного интеграла. Меня, как будущего экономиста, заинтересовала роль интегрального исчисления в экономике, а так же применение информационно компьютерных технологий в решении разнообразных экономических задач. Результаты поисков и вычислений изложины в данной работе.

I. Основная часть

Объект исследования - определенный интеграл функции одной переменной.

Предмет исследования - приложение интеграла для решения задач с экономическим содержанием.
Цельработы - изучение возможностей применения определенного интеграла при решении прикладных задач с использованием ИКТ.

Задачи исследования:

1. Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.

2. Систематизировать и обобщить знания об определенном интеграле.

3. Изучить использование определенного интеграла в решении прикладных задач экономики с применением ИКТ.

Гипотеза: применение определенного интеграла совместно с ИКТ  во многом облегчает решение прикладных задач экономики.

        

Применение определённого интеграла и графической программы Graph в экономических расчетах

    Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Интегральное исчисление используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка, определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений. И это далеко не полный список приложений. Определённый интеграл является не только мощным средством решения прикладных экономических задач, но и универсальным языком всей экономической теории, создает новые возможности для экономических исследований.Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике с использованием графической программы Graph, для того чтобы проанализировать правильность решения экономических задач и наглядно проиллюстрировать геометрический и экономический смысл определённого интеграла.

Задачи об объёме продукции

Экономический смысл определенного интеграла, выражающий объем произведенной продукции по известной функции производительности труда был рассмотрен раньше:

,

где f (t) - производительность труда в момент времени t,

[0,T] - рассматриваемый промежуток времени.

Задача 1. Найдите объём продукции, произведенной рабочим предприятия «Alzes» за три часа рабочего дня, если производительность труда характеризуется следующей функцией:

Решение

Определение объёма произведенной продукции сводится к вычислению определенного интеграла:

(ед.пр.)

Обратимся к графической программе «Graph» и проверим, правильно ли решена задача.

Рис.14 Решение задачи 1 в программе Graph

Введем функцию, на экране появляется её график. Введем ограниченный диапазон и рассчитаем площадь заданной функции, получим:

 

Исходя из вышеописанного, можно сделать вывод: ответ совпал, решение верно.

Ответ: объём продукции 60 единиц за 3 часа работы.

Задача 2. Производительность труда бригады, работающей на заводе «Фагот» выражается функцией . Необходимо определить выработку: а) за весь рабочий день;

              б) за четвертый час работы;

      в) за последний час работы, если продолжительность рабочего дня составляет 7 часов.

Проанализировать полученные результаты.

Решение:

Исходя из определения экономического смысла определённого интеграла, объём выработанной продукции предприятием с производительностью труда f=f(t) за интервал времени [0;T] можно вычислить по формуле:  [2].

а) Объём продукции за весь рабочий день (7 часов) составит:

Обратимся к графической программе Graph и проверим, правильно ли решен первый пункт задачи. Введем функцию f(x)= 7x – x²,на экране появляется её график.введем ограниченный диапазон [0;7] и рассчитаем площадь заданной функции, получим 57,1667 (Рис.15).

 

Рис.17Задача 2. Расчет объёма продукции за рабочий день

 

 

                  

 

б) Объём продукции за четвертый час работы (Рис. 18.):

 

)

 

 

Рис.18 Расчет объёма продукции за четвёртый час работы.

 

в) Объём продукции за последний час работы (Рис.19):

 

Рис.19Задача 2.  Расчет объёма продукции за четвёртый час работы.

Ответ:

объём продукции за весь рабочий день ,

объём продукции за четвертый час работы ,

объём продукции за последний час работы Полеченные результаты показывают, что работа утомительна и требует большого напряжения, поэтому к концу дня падает производительность труда.

III Заключение

Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Работая над проектом было выяснено, что интегральное исчисление в экономике используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка, определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений (задача дисконтирования). И это далеко не полный список приложений интегрального исчисления в экономике.

    Рассмотренные в работе практические задачи дают нам ясное представление о значимости определенного интеграла в экономике, его геометрическом и экономическом смысле. Проведённый эксперимент в расчете с применением графической программы подтвердил эффективность применения ИКТ для решения экономических задач.

Рассмотренные задачи это еще далеко не исчерпывающий список задач, которые используют интегральный метод, но даже они показывают широкое применение этого метода при решении реальных прикладных задач. Всё это подчеркивает значимость и актуальность выполненной работы, и позволяет считать, что цель работы достигнута.

Эта работа позволила нам глубже понять и систематизировать знания об определенном интеграле и возможностях его применения в различных областях науки. Рассмотренный материал работы очень полезен  в качестве подготовке по освоению выбраннойпрофессии.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

"ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ"

Подготовила:

студентка 2 курса, специальность 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Давтян Татьяна.

Научный руководитель преподаватель математики Михалёва Т.Ю.

 

 

2020

СОДЕРЖАНИЕ

 

I. Введение……………………………….……………………………..…..
II. Основная часть…………………………………………………….…….
1. Экскурс в историю появления понятия определенного интеграла……………………………………………………………. 2. Определенный интеграл и его свойства…………………………..
3. Геометрический и экономический смысл определённого интеграла………………………………………………………….. 4. Применение определённого интеграла и графической программы Graph в экономических расчетах……………………………………………………………
4.1. Задачи об объёме продукции
4.2. Задачи на вычисление средних значений экономичных функций
4.3. Задачи на определения прироста капитала по известныминвестициям.
4.4. Задачи на оценку дифференциации доходов населения
III. Заключение………………………………………………..…………….
IV. Список использованных источников и литературы ………………...
V. Приложение…………..…………………………………………………

 

I. Введение

 

Элементы математического анализа занимают значительное место в области математики. Интегральное исчисление, одно из основных частей математического анализа. Интеграл первоначально возникшие как инструмент решения задачи вычисления площадей, сегодня играет важную роль в современной математике, физике, экономике  и их приложениях. С помощью интеграла можно строго формулировать многие законы природы.

 В курсе математики с помощью интегрального исчислений вычисляются длины, площади и объемы геометрических фигур. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается. В физике интеграл используют для вычисления работы переменной силы, пути, пройденный телом, нахождения давление жидкости на вертикальную пластинку, вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой; вбиологии-для нахождения численности популяций, биомассы популяций, средней длины пролета птиц. Можно привести еще массу примеров применения определенного интеграла. Меня, как будущего экономиста, заинтересовала роль интегрального исчисления в экономике, а так же применение информационно компьютерных технологий в решении разнообразных экономических задач. Результаты поисков и вычислений изложины в данной работе.

I. Основная часть

Объект исследования - определенный интеграл функции одной переменной.

Предмет исследования - приложение интеграла для решения задач с экономическим содержанием.
Цельработы - изучение возможностей применения определенного интеграла при решении прикладных задач с использованием ИКТ.

Задачи исследования:

1. Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.

2. Систематизировать и обобщить знания об определенном интеграле.

3. Изучить использование определенного интеграла в решении прикладных задач экономики с применением ИКТ.

Гипотеза: применение определенного интеграла совместно с ИКТ  во многом облегчает решение прикладных задач экономики.

        

Экскурс в историю появления понятия интеграла

Рис. 1 Московский папирус

Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с 1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус (или математический папирус Голенищева).

Рис. 2 ЕвдоксКнидский

Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур - метод исчерпыванияЕвдокса (ЕвдоксКнидский (ок. 408 г. до н.э. - ок. 355 г. до н.э.) - древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э.

Рис. 3 Архимед

Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. - 212 до н.э.)

Рис. 4 Абу Али аль-Хасан

Далее большой шаг вперед в развитии интегрального исчисления был предпринят в 11 веке в Ираке арабским ученым-универсалом, математиком, механиком, физиком и астрономом Абу Али аль-Хасан (965-1039) который в своей работе "Об измерении параболического тела" приводит формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов.

Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов не выше четвёртой степени.

Рис. 5 БонавентураФранческо Кавальери

Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся лишь в 16 веке в работах итальянского математика БонавентураФранческо Кавальери (1598 - 1647)и французского математика Пьера де Ферма (1601 - 1665), в которых описывался предложенный ими метод неделимых.

Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления.

 

Рис. 6 Пьер де Ферма

Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова Исаака Барроу (1630 - 1677) которыйуказал на связь между интегрированием и дифференцированием.

За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 - 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 - 1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы "длинная s" (от первой буквы слова Summa - сумма) Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 - 1830) в 1819-20 годах. Сам термин "интеграл" придумал швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 - 1705) в 1690 году.

Рис.10 Жан-Батист Жозеф Фурье

Рис.11 Якоб Бернулли