Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2021-01-29 | 78 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства.
1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:
[òf(x)dx]¢ = [F(x) + C] = F¢(x) = f (x)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
òK f(x)dx = K òf(x)dx
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
òdF(x) = F(x) + C
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности:
ò(f(x) ± g(x))dx = òf(x)dx ± òg(x)dx
Таблица основных интегралов.
Нижеприведенная таблица неопределенных интегралов получена либо из сравнения с таблицей производных из понимания того, что интегрирование – процедура, обратная дифференцированию, либо непосредственным дифференцированием правой части формулы. Таблица очень краткая и приведена в качестве иллюстрации.
№ п/п | òf(x)dx= F(x) + C |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | ∫ |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 | |
11 |
Основные методы интегрирования.
Нахождение неопределенного интеграла – сложная математическая задача, нет единого универсального метода, который позволил бы решить данную задачу. По алгебраическому виду интеграла его можно отнести к определенному классу интегралов, для которых метод нахождения неопределенного интеграла разработан. Хотя существует много различных методов интегрирования, все они основаны на преобразовании (приведении) первоначального интеграла к табличному виду. Рассмотрим некоторые из простых методов.
|
Метод интегрирования по формулам.
Способ нахождения неопределенных интегралов методом непосредственного использования таблицы интегралов в литературе по математическому анализу имеет несколько названий: непосредственное интегрирование, метод тождественных преобразований, метод интегрирования по формулам. Как правило, для того, чтобы привести интеграл к табличному виду, с первоначальным интегралом òf(x)dx необходимо проделать несложные тождественные преобразования.
Приведем несколько примеров.
1. ò(3cos x + 4x3 – ex )dx = ò3cos x dx + ò4x3 dx - òex dx = 3sin x + x4 - ex +C
2.
3.
=
Правильность интегрирования проверяется дифференцированием найденного неопределенного интеграла. Производная должна быть равна подитегральной функции. Проверка основана на свойстве равенства
F¢(x) = f(x).
Метод замены переменных.
В некоторых случаях введение новой переменной интегрирования
x = j(t) позволяет свести неопределенный интеграл
òf(x)dx (1)
к табличному виду. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.
Алгоритм метода замены переменной для неопределенного интеграла следующий:
1. Введем новую переменную x = j(t) которая должна свести интеграл (1) к табличному виду. Решая данное уравнение относительно t имеем:
t = ψ(x)
2. В первоначальном интеграле (1) сделаем замену переменных:
f (x)=
dx = j¢(t)dt
(2)
3. Интеграл (2) должен решаться в силу основного свойства подстановки x = j(t): данная подстановка должна сводить первоначальный интеграл к табличному виду. Решение интеграла (2) имеет следующий вид:
|
(3)
4. В интеграле (3) сделаем замену переменных t = ψ(x), то есть возвращаемся к первоначальной переменной х:
F(t) + C = F(ψ(x)) + C (4)
Для того, чтобы убедиться в том, что найденный интеграл (4) найден правильно, можно продифференцировать выражение (4) и сравнить с подинтегральной функцией интеграла (1). Подинтегральная функция f(x) должна совпадать с производной F¢(ψ(x)):
F¢(ψ(x)) = f(x).
3.4.3. Примеры нахождения неопределенного интеграла.
В данном примере один и тот же интеграл решен двумя разновидностями метода подстановки.
Найти неопределенный интеграл
1 способ.
1. = -
1.1. Делаем замену переменных: t = cos x
1.2. Выражаем старую переменную через новую: x = arccos t
1.3. По определению дифференциала:
dx = j¢(t)dt = (arccos t)′ dt =
dx=
1.4. sin2x + cos2x = 1, т.к. t = cos x, то sin2x + t2 = 1,
sin x =
1.5. Заменяем в первоначальном интеграле cos x, sin x, dx через t.
1.6. Первоначальный интеграл свелся к табличному относительно t. Найти интеграл относительно t.
1.7. При использовании метода подстановки надо помнить, что после взятия неопределенного интеграла необходимо возвращаться от новой переменной t к первоначальной переменной x. Возвращаемся от переменной t к переменной х.
2 способ.
2.
2.1. Вводим переменную t = cos x
2.2. Берем дифференциал от обеих частей и находим dx:
dt = - sin x dx
sin x dx = - dt
dx = - dt / sin x
2.3. Подставляем вместо cos x и dx их выражения через t в первоначальный интеграл и сводим его к табличному.
Определенный интеграл.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!