Внутренние силы в методе сечений

Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1, в).

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов, возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы N_z, Q_x, Q_y (рис. 1, г) и три момента M_x, M_y, M_z (рис. 1, д).

Сила N_z - продольная сила

Q_x, Q_y –поперечные силами,

момент относительно оси z (M_z) – крутящий момент

моменты относительно осей x, y (M_x, M_y) – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим):

.

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

Деформация бруса называется простой, если в его поперечных сечениях возникает только один из вышеперечисленных внутренних силовых факторов.

Существуют четыре простые деформации прямого бруса:

- чистое растяжение – сжатие (N ≠ 0, Q_y= Q_z= M_x= M_y= M_z=0);

- чистый сдвиг (Qy или Q_z ≠ 0, N = M_x= M_y= M_z= 0);

- чистое кручение (Mx ≠ 0, N = Q_y= Q_z= M_y= M_z= 0);

- чистый изгиб (My или M_z ≠ 0, N = Q_y= Q_z= M_x = 0).

Механическое напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле, под влиянием различных факторов. Механическое напряжение в точке тела определяется как отношение внутренней силы к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве случаев некоторой малой величиной.

Q — механическое напряжение.

F — сила, возникшая в теле при деформации.

S — площадь.

Различают две составляющие вектора механического напряжения:

Нормальное механическое напряжение — приложено на единичную площадку сечения, по нормали к сечению.

Касательное механическое напряжение — приложено на единичную площадку сечения, в плоскости сечения по касательной.

В Международной системе единиц (СИ) механическое напряжение измеряется в паскалях.

 

Практическое задание

Вариант 1

1. Прямой брус нагружается внешней силой F. После снятия нагрузки его форма и размеры полностью восстанавливаются. Какие деформации имели место в данном случае?

2.  Как называют способность конструкции сопротивляться упругим деформациям?

3. По какому из уравнений, пользуясь методом сечений, можно определить продольную силу в сечении?

4. Пользуясь методом сечений, определить величину поперечной силы в сечении 1-1.

5. Какие напряжения возникают в поперечном сечении 1-1

Вариант 2

1. Прямой брус нагружен силой F. Какую деформацию получил брус, если после снятия нагрузки форма брус, а восстановилась до исходного состояния?

2. В каком случае материал считается однородным?

А. Свойства материала не зависят от размера.

Б. Материал заполняет весь объем.

В. Физико-механические свойства материала одинаковы во всех н а правлениях.

Г. Температура материала одинакова во всем объеме.

3. Установить вид нагружения в сечении и 1-1.

4. На брус действуют моменты пар сил в плоскости уОх. Определить величину внутреннего силового фактора в сечении 1-1.

5. Какие внутренние силовые факторы вызывают возникновение нормальных напряжений в сечении бруса?

 

Вариант 3

1. Как называют способность конструкции сопротивляться усилиям, стремящимся вывести ее из исходного состояния равновесия?

2. На рисунке представлена диаграмма растяжения материала. Назвать участки пластических деформаций.

3. Какое уравнений равновесия нужно использовать для определения внутренних силовых факторов в сечении 1методом сечений?

4. Определить величин у внутреннего силового фактора при указанном нагружении бруса в сечении I-I.

5. Как обозначаются касательные механические напряжения?

 

Вариант 4

1. Прямой брус нагружен силой F (рис. 1), после снятия нагрузки форма бруса изменилась (рис. 2). Какого типа деформацию получил брус?

2. Выбрать из приведённых ниже графиков график статической нагрузки.

3. Какое уравнений нужно использовать для определения внутреннего силового фактора в сечении 1-1 методом сечений? Моменты действуют в плоскости уОх.

4. Определить величину внутреннего силового фактора при указанном нагружении бруса в сечении 1-1.

5. В каких единицах измеряется механическое напряжение в системе единиц СИ?

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 9

по дисциплине техническая механика

Тема: Построение эпюр

Цель занятия: Научится строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений

Место проведения: учебная аудитория

Форма организации занятия: Практическое занятие

Литература для самоподготовки:Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий

Теоретические сведения

Пример

Ступенчатый брус нагружен силами Р₁, Р₂, Р₃, (рис.1, а).

Дано: P₁=40 кН, P₂=90 кН, P₃=110 кН, a=0,5 м, b=0,5 м, с=0,4 м; F₁=6 см²; F₂=14 см², Е=2∙10⁵ Мпа, σ_Т=240 Мпа, n_T=1,5.

Требуется построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ, продольных перемещений ∆ и проверить, выполняется ли условие прочности.

Рис. 1. Расчетная схема бруса и эпюры:

Решение.

Построение эпюры N.

На брус действуют три силы, следовательно, продольная сила по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых продольная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в которых приложены силы. Обозначим сечения буквами А, В, С, D, начиная со свободного конца, в данном случае правого.

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем про­извольное поперечное сечение, сила в котором определяется по правилу, приведенному ранее. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты со свободного конца бруса А.

Участок АВ, сечение 1-1. Справа от сечения действует растягивающая сила P₁ (рис. 1,а). В соответствии с упомянутым ранее правилом, получаем

N_AB=+P₁=40 кН.

Участок ВС, сечение 2-2. Справа от него расположены две силы, направленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим

N_BС=+P₁-P₂=40-90=-50 кН.

Участок СD, сечение 3-3: аналогично получаем

N_СD=+P₁-P₂-P₃=40-90-110=-160 кН.

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учитывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис.1,б)

Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз.

2. Построение эпюры напряжений σ.

Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растяжению, минус - сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 1, в.