Мощности в цепях переменного тока

В большинстве случаев электрические цепи содержат как активное, так и реактивное сопротивления. К такого рода цепям относятся, в частности, двигатели переменного тока, трансформаторы и другие устройства. В этих цепях между напряжением U и током I существует сдвиг фаз φ. Если к цепи приложено синусоидальное напряжение

u = U_м ⋅ sin ωt,

то ток в цепи

i = I_м ⋅ sin(ωt - φ).

Мгновенная мощность цепи

p = u ⋅ i = U_мsinωt ⋅ I_м ⋅ sin(ωt - φ) = U_м ⋅ I_м [sinωt ⋅ sin (ωt - φ)] = UI [2 sinωt ⋅ sin (ωt - φ)].

Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно на основа-кии тригонометрической формулы представить как разность косинусов

[cos φ - cos (2ωt - φ)].

Таким образом,

p = UI [cos φ - cos (2ωt - φ)] = UI ⋅ cos φ - UI cos (2ωt - φ).

Среднее значение мгновенной мощности за период равно UI ⋅ cos φ, так как среднее значение cos (2ωt - φ) за период равно нулю. Следовательно, активная мощность цепей переменного тока определяется в общем случае формулой

Р = UI ⋅ cos φ.

Множитель cos φ называют коэффициентом мощности.

Учитывая, что U = I ⋅ z, а соs φ = ^r/_z, получаем

P = I ⋅ z ⋅ I ⋅ ^r/_z = I²r.

Активная мощность измеряется в ваттах (вт) или в киловаттах (квт).

Произведение Р ⋅ t называется активной энергией и измеряется в вт⋅сек или в квт⋅ч: 1 квт⋅ч = 3600 вт⋅сек (дж).

Активная энергия, потребляемая электрической цепью, полностью преобразуется в тепло в активном сопротивлении этой цепи и обратно к источнику не возвращается.

Если величины сторон треугольника сопротивлений (рис. 165, а) умножить на величину I² (рис. 165, б), то получим треугольник мощностей (рис. 165, в). Все стороны этого треугольника, показанного отдельно на рис. 166, представляют собой мощности.

Рис. 165. Получение треугольника мощностей

Рис. 166. Треугольник мощностей

Катет, прилегающий к углу φ, представляет собой известную нам активную мощность Р:

P = I² ⋅ r = UI ⋅ cos φ.

Активная мощность в цепях переменного тока преобразуется в тепло. В двигателях переменного тока большая часть активной мощности превращается в механическую мощность, остальная часть также преобразуется в тепло.

Катет, лежащий против угла φ, есть реактивная мощность Q:

Q = I²x = UI ⋅ sin φ.

Реактивная мощность обусловлена наличием магнитных и электрических полей в электрических цепях.

Как уже указывалось, реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между источником, с одной стороны, и магнитными и электрическими полями - с другой.

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (вар) или киловольт-амперах реактивных (квар).

Гипотенуза треугольника мощностей представляет собой полную мощность S:

S = I²z = UI, или

S = √(P² + Q²).

Она измеряется в вольт-амперах (ва) или киловольт-амперах (ква). Величина полной мощности, равная произведению U⋅I, определяет основные габариты (наибольшие размеры) генераторов и трансформаторов. В самом деле, величина тока I определяет необходимое по условиям нагрева сечение проводов генераторов и трансформаторов, а число витков обмоток, их изоляция, а также размеры магнитопроводов пропорциональны величине напряжения U.

Таким образом, чем больше значения U и I, на которые рассчитываются генераторы и трансформаторы, тем больше должны быть их размеры.

Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рис. 167, в которую входят индуктивное и активное сопротивления и измерительные приборы - амперметр, вольтметр и ваттметр. Об устройстве ваттметра будет подробно рассказано далее (см. главу одиннадцатую).

1. Если подключить эту цепь к постоянному напряжению U = 120 в, то, поскольку индуктивное сопротивление x_L при постоянном токе будет равно нулю, в цепи остается одно активное сопротивление r и тогда

I = ^U/_r = ¹²⁰/₂₄ = 5 a.

Рис. 167. Электрическая цепь с активным и индуктивным сопротивлениями и измерительными приборами

Амперметр покажет ток 5 а.

Мощность

Р = IU = 5 ⋅ 120 = 600 вт,

или

P = I²r = 25 ⋅ 24 = 600 вт.

Ваттметр покажет 600 вт. Показание ваттметра, включенного в цепь постоянного тока, равно произведению показаний вольтметра и амперметра.

2. Подключим ту же цепь к переменному напряжению U = 120 в.

В этом случае

z = √(r² + x_L²) = √(24² + 18²) = √900 = 30 ом.

Ток в цепи

I = ^U/_z = ¹²⁰/₃₀ = 4 a.

Амперметр покажет ток 4 а.

Подсчитаем мощность, идущую на нагрев:

Р = I²r = 4² ⋅ 24 = 384 вт.

Действительно, активная мощность, потребляемая цепью, равна

P = U ⋅ I ⋅ cos φ = 120 ⋅ 4 ²⁴/₃₀ = 384 вт.

Показание ваттметра в этом случае будет 384 вт.

Полная мощность

S = U ⋅ I = 120 ⋅ 4 = 480 ва.

Следовательно, генератор, питающий эту цепь, отдает полную мощность S = 480 ва. Но в самой цепи только активная мощность Р = 384 вт безвозвратно преобразуется в тепло.

Отсюда видно, что цепь переменного тока, содержащая наряду с активным сопротивлением индуктивное, из всей получаемой ею энергии только часть расходует на тепло. А остальная часть - реактивная энергия - то поступает в цепь от генератора и запасается в магнитном поле катушки, то возвращается обратно генератору.

 

§ 75. Коэффициент мощности ("косинус фи")

Коэффициентом мощности, или "косинусом фи" (cos φ), цепи называется отношение активной мощности к полной мощности.

Коэффициент мощности =	активная мощность
	полная мощность

или

cos φ = ^P/_S = ^P/_UI = ^P/_√(P² _{+ Q}²₎.

В общем случае активная мощность меньше полной мощности, т. е. у этой дроби числитель меньше знаменателя, и поэтому коэффициент мощности меньше единицы.

Только в случае чисто активной нагрузки, когда вся мощность является активной, числитель и знаменатель этой дроби равны между собой, и поэтому коэффициент мощности равен единице.

Чем большую часть полной мощности составляет активная мощность, тем меньше числитель отличается от знаменателя дроби и тем ближе коэффициент мощности к единице.

Величину cos φ можно косвенно определить по показаниям ваттметра, вольтметра и амперметра:

cos φ = ^P/_UI.

Коэффициент мощности можно также измерить особым прибором - фазометром.

Пример 14. Амперметр показывает ток 10 а, вольтметр - 120 в, ваттметр - 1 квт. Определить cos φ потребителя:

S = IU = 10 ⋅ 120 = 1200 ва,

cos φ = ^P/_S = ¹⁰⁰⁰/₁₂₀₀ = 0,83.

Пример 15. Определить активную мощность, отдаваемую генератором однофазного переменного тока в сеть, если вольтметр на щите генератора показывает 220 в, амперметр - 20 а и фазометр - 0,8:

Р = IU cos φ = 20 ⋅ 220 ⋅ 0,8 = 3520 вт = 3,52 квт.

Полная мощность

S = IU = 20 ⋅ 220 = 4400 ва = 4,4 ква.

Пример 16. Вольтметр, установленный на щитке электродвигателя, показывает 120 в, амперметр - 450 а, ваттметр - 50 квт. Определить z, r, x_L, S, cos φ, Q:

z = ^U/_I = ¹²⁰/₄₅₀ = 0,267 ом.

Так как Р = I² ⋅ r, то

r = ^Р/_I² = ⁵⁰⁰⁰⁰/₄₅₀² = 0/247 ом;

x_L = √(z² - r²) = √(0,267² - 0,247²) = √0,01 = 0,1 ом;

S = IU = 450 ⋅ 120 = 54000 ва = 54 ква;

cos φ = ^Р/_S = ⁵⁰⁰⁰⁰/₅₄₀₀₀ = 0,927;

Q = √(S² - Р²) = √(54000² - 50000²) = √416000000 = 20396 вар = 20,396 квар.

Из построения треугольников сопротивлений, напряжений и мощностей для определенной цепи видно, что эти треугольники подобны один другому, так как их стороны пропорциональны. Из каждого треугольника можно найти "косинус фи" цепи, как показано на рис. 168. Этим можно воспользоваться для решения самых разнообразных задач.

Рис. 168. Определение коэффициента мощности из треугольников сопротивлений (а), напряжений (б) и мощностей (в)

Пример 17. Определить z, x_L, U, U_а, U_L, S, Р, Q, если I = 6 а, r = 3 ом, cos φ = 0,8 и ток отстает по фазе от напряжения.

Из треугольника сопротивлений известно, что

cos φ = ^r/_z,

отсюда

z = ^r/_{cos φ} = ³/_0,8 = 3,75 ом;

U = I ⋅ z = 6 ⋅ 3,75 = 22,5 в;

x_L = √(z² - r²) = √(3,75² - 3²) = √(14,06 - 9) = √5,06 = 2,24 ом;

U_а = Ir = 6 ⋅ 3 = 18 в;

U_L = Ix_L = 6 ⋅ 2,24 = 13,45 в;

S = IU = 6 ⋅ 22,5 = 135 ва,

или

P = I²r = 36 ⋅ 3 = 108 вт;

Р = IU cos φ = 6 ⋅ 22,5 ⋅ 0,8 = 108 вт;

Q = IU_L = 6 ⋅ 13,45 = 81 вар,

или

Q = √(S² - P²) = √(135² - 108²) = √6561 = 81 вар,

или

Q = I²x_L = 6² ⋅ 2,24 = 81 вар.

Основными потребителями электрической энергии являются электрические двигатели, машины и электронагревательные устройства. Все они потребляют активную мощность, которую преобразуют в механическую работу и тепло. Электрические двигатели потребляют также реактивную мощность. Последняя, как известно, совершает колебательное движение от источника к двигателю и обратно.

У ламп и электрических печей сопротивления S = Р и cos φ = 1. У электрических двигателей S = √(P² + Q²) и cos φ меньше 1.

При неизменной передаваемой активной мощности Р величина нагрузочного тока обратно пропорциональна значению cos φ:

I = ^P/_U⋅cosφ

Это означает, что при тех же значениях активной мощности Р и напряжения U нагрузочный ток электрических двигателей больше, чем у электрических ламп. Если, например, коэффициент мощности электрического двигателя равен 0,5, то он потребляет в 2 раза больший ток, чем электрическая печь сопротивления той же мощности Р.

Потери мощности на нагрев проводов линии пропорциональны квадрату тока (ΔР = I²r).

Таким образом, при cos φ = 0,5 потери мощности в линии, по которой энергия передается потребителям, больше в 4 раза, чем при cos φ = 1. Кроме того, генераторы и трансформаторы будут загружены током в 2 раза больше и в этом случае требуется примерно в 2 раза большее сечение проводов для обмоток.

Отсюда видно, какое важное значение имеет величина cos φ в электроэнергетических установках. Для повышения коэффициента мощности промышленных установок, на которых преобладающая часть потребителей - электрические двигатели, параллельно им включают конденсаторы, т. е. добиваются резонанса токов, при котором cos φ близок к 1.

 

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить частоту переменного тока, получаемого от генератора с 24 полюсами, при 250 оборотах ротора в минуту.

2. Двадцатиполюсный генератор переменного тока дает ток частоты 50 гц. Определить число оборотов ротора генератора в минуту.

3. Определить число полюсов генератора переменного тока, если скорость вращения ротора генератора равна 300 об/мин, а частота 50 гц.

4. Катушка включена в сеть однофазного переменного тока напряжением 120 в; э.д.с. самоиндукции равна 100 в. Чему равно активное падение напряжения?

5. Что покажет вольтметр, включенный на зажимы обмотки электромагнита, если индуктивное сопротивление обмотки равно 6 ом, активное сопротивление 8 ом, а ток, протекающий по виткам обмотки, равен 5 а?

6. Когда катушку включили в сеть постоянного тока напряжением 120 в, амперметр показал ток 4 а; когда ту же катушку включили в сеть переменного тока напряжением 380 в, амперметр показал 5 а. Определить полное, активное и индуктивное сопротивления катушки.

7. Два проводника с активным сопротивлением 6 и 5 ом и индуктивным сопротивлением 3 и 8 ом включены последовательно. Какое напряжение нужно приложить, чтобы в цепи проходил ток 4 а?

8. По проводнику с активным сопротивлением 7 ом и индуктивным сопротивлением 5 ом проходит ток 6 а. Параллельно первому проводнику включен второй проводник с сопротивлением r = 2 ом и х_L = 4 ом. Определить ток во втором проводнике.

9. Однофазный электродвигатель, включенный в сеть 120 в, потребляет ток 2 а. Коэффициент мощности двигателя 0,85. Определить активную и полную мощности, забираемые двигателем из сети,

10. На распределительном щите установлены три прибора: амперметр, вольтметр и ваттметр. Показание амперметра 40 а, вольтметра 110 в, ваттметра 4 квт. Определить z, r, x_L, S, cos φ, Q, U_L, U_a, если известно, что нагрузка имеет индуктивный характер.

11. Определить ток, потребляемый однофазным двигателем мощностью 5 квт, если он включен в сеть 120 в, а его коэффициент мощности равен 0,8.

12. На электростанции установлен генератор однофазного переменного тока мощностью 200 ква, напряжением 100 в. Определить активную мощность, отдаваемую генератором в сеть, при коэффициентах мощности 1; 0,8; 0,6; 0,4; 0,2. Найти также величину нагрузочного тока при этих значениях cos φ.

13. Через индукционную катушку с cos φ = 0,3 проходит переменный ток в 10 а. Ваттметр, измеряющий мощность катушки, показал 250 вт. Определить напряжение на зажимах катушки, ее полное, активное и индуктивное сопротивления.

14. Индуктивная катушка включена в сеть постоянного тока напряжением 12 в и потребляет ток 8 а. Тот же ток катушка потребляет при включении в сеть переменного тока напряжением 20 в. Определить активное, индуктивное и полное сопротивления катушки; полную, активную и реактивную мощности.

15. Показания приборов: амперметра - 20 а, вольтметра - 120 в, фазометра - 0,8. Определить S, p, Q, z, r, x_L, U_L, U_a.

16. Полезная мощность на валу однофазного двигателя 10 л. с., к.п.д. двигателя 85%, cos φ = 0,8, напряжение 220 в. Определить мощность генератора, питающего этот двигатель, если энергия передается по линии длиной 50 м, выполненной медным проводом сечением 16 мм². Индуктивным сопротивлением проводов линии можно пренебречь.

17. Показания приборов: амперметра - 8 а, вольтметра - 220 в, активное сопротивление катушки равно 15 ом. Определить Р, S, Q, z, x_L, cos φ, U_L, U_a потребителя.

18. На паспорте однофазного двигателя написано:

U = 120 в, I = 5 а, cos φ = 0,8. Определить активное, индуктивное и полное сопротивления обмотки двигателя.

19. В сеть однофазного тока включена катушка с сердечником из мягкой стали. В цепь катушки включены приборы: вольтметр, амперметр и ваттметр. Показание амперметра 5 а, вольтметра 120 в и ваттметра 200 вт. Активное сопротивление катушки 2 ом. Определить коэффициент мощности катушки, величину э.д.с. самоиндукции, потерю мощности в обмотке катушки, а также в сердечнике.

20. Дроссельная катушка (т. е. катушка со стальным сердечником) с коэффициентом мощности 0,2, включенная в сеть 60 в, потребляет ток 3 а. Активное сопротивление катушки 2 ом. Определить величину э.д.с., индуктируемой в катушке, потерю мощности в обмотке и в сердечнике.

 

Контрольные вопросы

1. Как получается переменный ток?

2. Дайте определения основным параметрам переменного тока и напишите выражения (формулы):

· Переменный ток

· Мгновенное значение переменного

· Действующее значение переменного тока

· Период

· Частота

· Угловая скорость

· Сдвиг по фазе

3. Как определить частоту, если известно число полюсов и скорость вращения ротора генератора переменного тока?

4. Охарактеризуйте основные параметры электрической цепи переменного тока при включении в нее катушки индуктивности, емкости и резистора.

5. Что называется коэффициентом мощности?

6. Как измерить активную и полную мощности переменного тока?

7. Каким путем можно повысить "косинус фи" до 1?

8. Что называется резонансом напряжений? Перечислите основные характеристики резонанса напряжения.

9. Что называется резонансом токов? Перечислите основные характеристики резонанса тока.