Разветвленные цепи переменного тока

Пусть мы имеем векторную диаграмму, изображенную на рис. 159. Проектируя вектор тока I на направление вектора напряжения U, разложим вектор тока на две составляющие.

Рис. 159. Разложение тока на активную и реактивную составляющие

Одна из составляющих совпадает по направлению с вектором напряжений и называется активной составляющей тока. Она обозначается буквой I_а и равна

I_а = I cos φ.

Другая составляющая, перпендикулярная вектору напряжения, называется реактивной составляющей тока. Она обозначается буквой I_р и равна

I_р = I sin φ.

Таким образом, переменный ток I можно рассматривать как геометрическую сумму двух составляющих: активной I_а и реактивной I_р. Применение этого приема позволяет сравнительно просто производить расчеты разветвленных цепей переменного тока.

Рассмотрим разветвленную цепь, изображенную на рис. 160.

Рис. 160. Параллельное соединение ветвей r₁L₁ и r₂L₂

Токи в ветвях:

I₁ = ^U/_z1 = ^U/_√(r1² _{+ (ωL1)}²₎;

I₂ = ^U/_z2 = ^U/_√(r2² _{+ (ωL2)}²₎.

Углы сдвига фаз между напряжением и токами в ветвях:

cos φ₁ = ^r₁/_z1 и cos φ₂ = ^r₂/_z2.

На рис. 160 справа построена векторная диаграмма для параллельного соединения ветвей r₁, L₁ и r₂, L₂. Построение диаграммы начинается с вектора напряжения, так как напряжение является общим для двух ветвей. Ввиду наличия r и L в каждой из ветвей токи I₁ и I₂ отстают по фазе от напряжения U на углы φ₁ и φ₂.

Построив векторы токов I₁ и I₂ и сложив их по правилу параллелограмма, получим вектор тока I, протекающего на общем участке цепи. Из построения диаграммы видно, что

I_а = I_a1 + I_а2,

I_p = I_p1 + I_p2.

Общий ток равен

I = √(I_a² + I_p²).

Порядок расчета разветвленной цепи покажем на числовом примере.

Пример 11. Для цепи, показанной на рис. 160, дано:

r₁ = 4 ом; L₁ = 0,01 гн; r₂ = 3 ом; L₂ = 0,02 гн.

Напряжение сети 127 в, частота 50 гц.

Определить токи в ветвях и на общем участке цепи.

Решение.

z₁ = √(r₁² + (ωL₁)²) = √(4² + (2 ⋅ 3,14 ⋅ 50 ⋅ 0,01)²) = 5,075 ом;

cos φ₁ = ^r₁/_z1 = ⁴/_5,075 = 0,788; sin φ₁ = ^x₁/_z1 = ^{2⋅3,14⋅50⋅0,01}/_5,075 = 0,62;

z₂ = √(r₂² + (ωL₂)²) = √(3² + (2 ⋅ 3,14 ⋅ 50 ⋅ 0,02)²) = 6,95 ом;

cos φ₂ = ^r₂/_z2 = ³/_6,95 = 0,432; sin φ₂ = ^x₂/_z2 = ^{2⋅3,14⋅50⋅0,02}/_6,95 = 0,9;

I₁ = ^U/_z1 = ¹²⁷/_5,075 = 25 а; I₂ = ^U/_z2 = ¹²⁷/_6,95 = 18,3 а.

Для определения общего тока предварительно находим активные и реактивные составляющие токов:

I_а1 = I₁ ⋅ cos φ₁ = 25 ⋅ 0,788 = 19,7 а;

I_а2 = I₂ ⋅ cos φ₂ =18,3 ⋅ 0,432 = 7,95 а;

I_p1 = I₁ ⋅ sin φ₁ = 25 ⋅ 0,62 = 15,5 а;

I_p2 = I₂ ⋅ sin φ₂ = 18,3 ⋅ 0,9 = 16,5 а;

I_а = I_а1 + I_а2 = 19,7 + 7,95 = 27,65 а;

I_р = I_р1 + I_р2 = 15,5 + 16,5 = 32 а;

I = √(I_a² + I_p²) = √(27,65² + 32²) = 42,2 а.

Рассмотрим параллельное соединение ветвей, содержащих I и С (рис. 161, а):

Рис. 161. Параллельное соединение ветвей L и С

полные сопротивления ветвей будут:

токи ветвей:

углы сдвига фаз между напряжением и токами в ветвях:

cos φ₁ = ^r₁/_z1; sin φ₁ = ^x₁/_z1;

cos φ₂ = ^r₂/_z2; sin φ₂ = ^x₂/_z2;

Векторная диаграмма, показанная на том же чертеже б, начинается с построения вектора напряжения U. Затем под углами φ₁ и φ₂ строятся векторы токов I₁ и I₂. Следует заметить, что ток I₁ в ветви с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на угол φ₁, а ток I₂ в цепи с емкостью опережает по фазе напряжение на угол φ₂. Складывая векторы токов I₁ и I₂ по правилу параллелограмма, получаем вектор тока I.

Из построения векторной диаграммы видно, что активная составляющая общего тока равна сумме активных составляющих токов в обеих ветвях:

I_a = I_a1 + I_a2.

Реактивная составляющая общего тока равна разности реактивных составляющих - индуктивной I_р1 и емкостной I_р2:

I_p = I_p1 - I_p2.

Общий ток

I = √(I_a² + I_p²).

Пример 12. Для цепи, представленной на рис. 161, дано: r₁ = 5 ом, L₁ = 0,05 гн, r₂ = 5 ом, С₂ = 100 мкф. Напряжение сети 220 в, частота 50 гц. Найти токи в ветвях и на общем участке цепи.

Решение.

х₁ = 2πfL₁ = 2π ⋅ 50 ⋅ 0,05 = 15,7 ом;

Z₁ = √(r₁² + x₁²) = √(5² + 15,7²) = 16,5 ом;

cos φ₁ = ^r₁/_Z1 = ⁵/_16,5 = 0,303;

sin φ₁ = ^x₁/_Z1 = ^15,7/_16,5 = 0,95;

I₁ = ^U/_Z1 = ²²⁰/_16,5 = 13,33 a;

x₂ = ¹_2πfC2 = ¹⁰⁶/_{20π⋅50⋅100} = 31,8 ом;

Z₂ = √(r₂² + x₂²) = √(5² + 31,8²) = 32,2 ом;

cos φ₂ = ^r₂/_Z2 = ⁵/_32,2 = 0,155;

sin φ₂ = ^x₂/_Z2 = ^31,8/_32,2 = 0,99;

I₁ = ^U/_Z2 = ²²⁰/_32,2 = 6,84 a;

I_а1 = I₁ ⋅ cos φ₁ = 13,33 ⋅ 0,303 = 4,05 а;

I_а2 = I₂ ⋅ cos φ₂ = 6,84 ⋅ 0,155 = 1,06 а;

I_a = I_a1 + I_a2 = 4,05 + 1,06 = 5,11 а;

I_р1 = I₁ ⋅ sin φ₁ = 13,33 ⋅ 0,95 = 12,6 а;

I_р2 = I₂ ⋅ sin φ₂ = 6,84 ⋅ 0,99 = 6,75 а;

I_р = I_p1 - I_p2 = 12,6 - 6,75 = 5,85 а;

I = √(I_a² + I_p²) = √(5,11² + 5,85²) = 7,8 а.

 

Резонанс токов

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух параллельных ветвей, одна из которых содержит активное сопротивление r₁ и индуктивное x₁, а другая - активное сопротивление r₂ и емкостное x₂ (рис. 161).

Если реактивные составляющие токов в ветвях с индуктивностью I₁ и емкостью I_С равны между собой (рис. 162), т. е. I_L = I_C, то ток I на неразветвленном участке цепи совпадает по фазе с напряжением U, а угол φ_общ = 0, cos φ_общ = 1. Этот случай называется резонансом токов. При резонансе токов реактивные токи - индуктивный и емкостный - взаимно компенсируются, так что из сети поступает в цепь только активный ток I = I_a1 + I_а2.

Рис. 162. Векторная диаграмма резонанса токов

При надлежащем выборе индуктивности L, емкости С или частоты f питающей сети можно получить явление резонанса токов в разветвленной цепи. Ток I в общей неразветвленной части цепи при резонансе токов может быть значительно меньше, чем токи в ветвях с индуктивностью и емкостью. Явление резонанса токов используется в схемах радиотехники и в электротехнических установках.

Пример 13. На рис. 163 представлена разветвленная цепь, состоящая из трех параллельных ветвей, причем одна ветвь содержит только индуктивность L₁, другая только емкость С₂, а третья только активное сопротивление r₃.

Рис. 163. К примеру 13

Известно: x₁ = x₂ = 10 ом, r₃ = 40 ом, U = 120 в.

Определить токи в ветвях и общий ток цепи.

Решение.

I₁ = ^U/_x1 = ¹²⁰/₁₀ 12 a; I₂ = ^U/_x2 = ¹²⁰/₁₀ = 12 a.

I₃ = ^U/_r3 = ¹²⁰/₄₀ = 3 a.

Из векторной диаграммы (рис. 163) видно:

I = I₃ = 3 а.

 

Колебательный контур

Рассматривая случай параллельного соединения индуктивности и емкости, мы видели, что на общем участке цепи ток может быть невелик, в то время как токи в параллельных ветвях могут достигать большой величины. Если рассмотреть идеальный случай, когда активные сопротивления параллельных ветвей равны нулю, токи в них будут сдвинуты по фазе на 90° относительно приложенного напряжения. Если к тому же добиться равенства реактивных сопротивлений (x_L = х_С), то в ветвях будут протекать равные токи. Общий ток при этом будет равен нулю.

Векторная диаграмма для такого случая изображена на рис. 164.

Рис. 164. Упрощенная векторная диаграмма резонанса токов

Так как общий ток равен нулю, то подводящие провода можно отключить от источника переменного напряжения. В замкнутом контуре, образованном идеальной катушкой и конденсатором, будет протекать переменный ток.

Заряженный конденсатор, как известно, обладает запасом электрической энергии. При замыкании на катушку конденсатор начнет разряжаться и запас электрической энергии в нем будет уменьшаться. Ток разряда конденсатора, проходя по виткам катушки, создает магнитное поле. Следовательно, катушка начнет запасать магнитную энергию. Когда конденсатор полностью разрядится, его электрическая энергия станет равной нулю. В этот момент катушка будет обладать максимальным запасом магнитной энергии. Теперь сама катушка становится генератором электрического тока и начнет заряжать конденсатор. э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке в период нарастания магнитного поля, препятствовала протеканию тока. Теперь же, когда магнитное поле катушки будет уменьшаться, э.д.с. самоиндукции стремится поддержать ток в прежнем направлении. В момент, когда магнитная энергия катушки станет равной нулю, обкладки конденсатора окажутся заряженными противоположно тому, как они были заряжены вначале, и если активное сопротивление цепи равно нулю, то конденсатор получит первоначальный запас электрической энергии. Затем конденсатор вновь начнет разряжаться, создавая в цепи ток обратного направления, и процесс повторится.

Попеременные превращения электрической энергии в магнитную и обратно составляют основу процесса электромагнитных колебаний. Цепь, состоящая из емкости и индуктивности, в которой происходит процесс электромагнитных колебаний, называется колебательным контуром.

Частота колебаний, происходящих в колебательном контуре, определяется формулой

f = ¹/_2π√(LC).

Эта частота называется собственной частотой колебаний контура. Период электромагнитных колебаний

T = ¹/_f = 2π√(LC).

Это выражение называется формулой Томсона.

Периодические колебания энергии, происходящие в колебательном контуре, могли бы продолжаться бесконечно долго в виде незатухающих колебаний, если бы отсутствовали потери I²r в самом колебательном контуре. Однако наличие активного сопротивления приводит к тому, что запас энергии контура с каждым периодом уменьшается за счет потерь на тепло в активном сопротивлении, в результате чего колебания затухают.

Таким образом, изменить частоту колебаний контура можно Двумя способами - изменением индуктивности катушки или емкости конденсатора. Тот и другой способы используются для этой цели в радиотехнике. Для поддержания незатухающих колебаний к контуру от внешнего источника (высокочастотного генератора), присоединенного к колебательному контуру, периодически подается электрическая энергия, компенсирующая потери в активном сопротивлении.

Колебательный контур является основной частью схемы любого радиоприемника и радиопередатчика.

Радиосвязь впервые была осуществлена выдающимся русским ученым А. С. Поповым (1859-1905).

А. С. Попов

Александр Степанович Попов - изобретатель беспроволочного телеграфа (радио), имеющего огромное значение для человечества. Путем упорной работы А. С. Попов добился того, что сконструированный им радиоприемник принимал радиосигналы на расстоянии нескольких километров. 25 апреля (7 мая) 1895 г. А. С. Попов демонстрировал свой радиоприемник на заседании Русского физико-химического общества. Этот день считается днем создания радио. Испытывая свой радиоприемник, А. С. Попов обнаружил экранирующее действие и отражение радиосигналов металлическими предметами. На этом принципе основана радиолокация.

А. С. Попов был профессором и директором Петербургского электротехнического института - ныне ЛЭТИ имени В. И. Ульянова (Ленина).

Заслуги А. С. Попова в изобретении радио официально были отмечены в 1900 г. присуждением ему почетного диплома и золотой медали на 4-м Всемирном электротехническом конгрессе в Париже.