Последовательное соединение активного сопротивлении и емкости (r, С)

На рис. 152 даны схема и векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением активного сопротивления и емкости. Напряжение сети U представляет собой геометрическую сумму падений напряжения на отдельных участках цепи, т. е. активного падения напряжения U_а, совпадающего по фазе с током, и падения напряжения на емкостном сопротивлении U_C, отстающего от тока по фазе на 90°. Ток опережает по фазе напряжение, приложенное к зажимам цепи, на угол φ, тангенс угла которого найдем из векторной диаграммы рис. 152:

Рис. 152. Последовательное соединение r и С

На рис. 153 даны кривые мгновенных значений напряжений и тока для последовательного соединения r и С. Кривая мгновенной мощности для этого случая показана на рис. 154.

Рис. 153. Кривые мгновенных значений напряжения и тока для цепи с последовательным соединением r и С

Рис. 154. Кривая мгновенной мощности для цепи с последовательным соединением r и С

Из графика видно, что в течение некоторой части периода энергия затрачивается в цепи на нагрев сопротивления r и образование электрического поля (мощность положительная). В течение другой части периода энергия, накопленная в электрическом поле конденсатора, возвращается обратно в сеть.

Из векторной диаграммы находим

U = √(I²r² + I²x_C²) = I√(r² + x_C²);

обозначая

получаем закон Ома для цепи с последовательным соединением активного сопротивления и емкости (цепи r и С):

где z - полное сопротивление цепи.

Деля стороны треугольника напряжений (рис. 155) на величину тока I, получим треугольник сопротивлений для той же цепи (см. рис. 154).

Рис. 155. Треугольник сопротивлений для последовательного соединения r и С

Если синусоидальное напряжение приложено к конденсатору с идеальным диэлектриком, то в цепи протекает емкостный ток, опережающий напряжение по фазе на 90°. Мощность Р, потребляемая конденсатором, равна нулю. Когда синусоидальное напряжение приложено к конденсатору с реальным диэлектриком, то, как показывают измерения, ток в цепи опережает напряжение на угол φ, меньший 90°. Отсюда следует, что включение конденсатора с реальным диэлектриком в цепи переменного тока можно представить схематически как последовательное соединение r и С. Мощность Р, потребляемая конденсатором, в этом случае выделяется в диэлектрике в виде тепла. Эта мощность называется диэлектрическими потерями.

 

 

Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости (r, L, C)

На рис. 156 даны схема и векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости.

Рис. 156. Последовательное соединение r, L и С

Напряжение на зажимах цепи равно геометрической сумме падений напряжения на отдельных участках цепи: активного падения напряжения и падений напряжений на индуктивном и емкостном сопротивлениях.

Напряжения U_L И U_C сдвинуты между собой по фазе на полпериода (180°). Поэтому при геометрическом сложении векторов они взаимно вычитаются.

Из векторной диаграммы находим

U = √(I²r² + I²(x_L - x_C)²) = I√(r² + (x_L - x_C)²).

Закон Ома для данной цепи будет

I =	U	= U/z,
	√(r2 + (xL - xC)2)

где полное сопротивление цепи

Расчетная величина х = x_L - х_С называется реактивным сопротивлением цепи. Для рассматриваемой цепи

Если x_L больше х_С, то цепь в целом носит индуктивный характер, т. е. вектор тока I отстает по фазе от вектора напряжения цепи U.

Если же х_С больше x_L, то цепь в целом носит емкостный характер, т. е. вектор тока I опережает по фазе вектор общего напряжения U.

Пример 9. В электрическую цепь напряжения U = 220 в последовательно включены:

реостат сопротивлением r₁ = 5 ом, катушка с активным сопротивлением r₂ = 3 ом и индуктивным сопротивлением x₂ = 4 ом, конденсатор с емкостным сопротивлением х₃ = 10 ом.

Определить ток в цепи и напряжения на отдельных элементах цепи. Решить пример, дать схему и векторную диаграмму:

z = √(r² + (x₃ - x₂)²) = √((5 + 3)² + (10 - 4)²) = 10 ом.

I = ^U/_z = ²²⁰/₁₀ = 22 a,

U_a1 = I ⋅ r₁ = 22 ⋅ 5 = 110 в,

U_a2 = I ⋅ r₂ = 22 ⋅ 3 = 66 в,

U_L2 = I ⋅ x₂ = 22 ⋅ 4 = 88 в,

U₃ = I ⋅ x₃ = 22 ⋅ 10 = 220 в.

Схема и векторная диаграмма даны на рис. 157.

Рис. 157. К примеру 9

 

Резонанс напряжений

Если в последовательной цепи, содержащей индуктивность и емкость, x_L = х_С, то

x = x_L - x_C = 0; z = r; I = ^U/_r; cos φ = 1,

т. е. цепь будет вести себя так, как будто она содержит только одно активное сопротивление. При этом ток и напряжение сети совпадают по фазе. Этот случай называется резонансом напряжений. График и векторная диаграмма для резонанса напряжений показаны на рис. 158. Условием резонанса напряжений является равенство

x_L = x_C или ωL = ¹/_ωC.

Рис. 158. Графики и векторная диаграмма для резонанса напряжений

Поэтому резонанс напряжений в цепи с последовательным соединением r, L и С может наступить:

1) если при постоянной индуктивности емкость меняется и становится равной

C = ¹/_ω²_L;

2) если при постоянной емкости меняется индуктивность и становится равной

L = ¹/_ωC;

3) если изменение обеих величин L и С приводит к равенству

ωL = ¹/_ωC;

4) если, наконец, угловая частота сети, изменяясь, становится равной

ω = ¹/_√(LC);

учитывая, что ω = 2πf, получаем следующее выражение для частоты f₀:

f₀ = ¹/_2π√(LC).

Эту частоту принято называть резонансной.

Пример 10. Имеется цепь, состоящая из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости, причем r = 6 ом, x_L = 10 ом, х_С = 2 ом. Напряжение на зажимах цепи 120 в. Определить ток цепи при заданных сопротивлениях, а также ток при резонансе напряжений, если x_L = х_С = 10 ом.

Ток в цепи

I = ^U/_√(r² _{+ (xL - xC)}²₎ = ¹²⁰/_√(6² _{+ (10 - 2)}²₎ = ¹²⁰/₁₀ = 12 а.

Напряжения на отдельных участках цепи:

U_a = Ir = 12 ⋅ 6 = 72 в;

U_L = Ix_L = 12 ⋅ 10 = 120 в;

U_C = Iх_С = 12 ⋅ 2 = 24 в.

Ток при резонансе напряжений

I = ^U/_r = ¹²⁰/₆ = 20 а.

Напряжения на отдельных участках цепи:

U_a = Ir = 20 ⋅ 6 = 120 в,

U_L = Ix_L =20 ⋅ 10 = 200 в;

U_C = Iх_С = 20 ⋅ 10 = 200 в.

Как видно из примера, ток при резонансе напряжений увеличился, напряжения на отдельных участках цепи увеличились. При известных условиях это может представить опасность для некоторых установок переменного тока, так как чрезмерное увеличение напряжения на участках цепи может привести к пробою изоляции катушек, аппаратов, приборов, пробою диэлектрика конденсатора и т. д. Явление резонанса напряжений используется в радиотехнических схемах и других устройствах.