Дифракция Френеля от круглого отверстия

Лекция 14

Дифракция света

Дифракцией называют совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн.

Перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией, а перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией волн.

Если лучи от источника света S, падающие на препятствие и лучи, идущие в точку наблюдения Р, образуют практически параллельные пучки, то говорят о дифракции Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах). В случае непараллельных лучей между препятствием и экраном говорят о дифракции Френеля.

 

Гюйгенс предложил каждую точку среды, которой достигла волна, рассматривать как источник вторичных сферических волн, распространяющихся по всем направлениям со скоростью, свойственной среде.

Огибающая поверхность, т.е. поверхность, касающаяся всех сферических вторичных волн в том положении, которого они достигнут к моменту времени t, представляет собой волновой фронт в этот момент.

При применении принципа Гюйгенса центры вторичных волн можно выбирать наиболее удобным для решения конкретной задачи способом.

Френель, заимствовав из принципа Гюйгенса представление о вторичных волнах, применил к ним законы интерференции, т.е. при использовании принципа Гюйгенса-Френеля для рассмотрения конкретной задачи используется информация не только об амплитуде вторичных волн, но и о их фазе. Правило построения огибающей заменяется расчётом взаимной интерференции вторичных волн.

Рассмотрим преграду N с некоторым отверстием, через которое проходит свет от точечного монохроматического источника Р ₀ и определим напряжённость электрического поля Е в любой точке Р за преградой.

Каждый элемент  волновой поверхности  служит источником вторичной световой волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента .

Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием   от источника по  закону

.

Следовательно, от каждого участка световой поверхности в точку Р, лежащую перед этой поверхностью, приходит колебание

, где

 фаза колебаний в месте расположения волновой поверхности;

 расстояние от  до точки   Р;

 волновое число.

Коэффициент К зависит от угла  между нормалью  к элементу  и направлением от  к точке Р, и монотонно убывает с ростом угла .

Множитель  определяется амплитудой светового колебания в том месте, где находится .

Результирующее колебание в т. Р представляет собой суперпозицию колебаний взятых для всей волновой поверхности :

 

.

 

Суть принципа Гюйгенса-Френеля в следующем: для определения колебания в точке Р, лежащей перед некоторой поверхностью , надо найти колебания, приходящие в эту точку от всех элементов  поверхности и затем сложить их с учётом амплитуд и фаз. При этом предполагается, что все элементы поверхности  взаимно когерентны.

Принцип Гюйгенса-Френеля можно представить в простой и наглядной форме с помощью векторной (фазовой) диаграммы:

Результирующая амплитуда (вектор ) представлена как векторная сумма амплитуд колебаний в т. Р от различных элементов   поверхности   с учётом их фаз, т.е. углов между ними.

Спираль Френеля

Разобьём мысленно волновую поверхность на очень узкие кольцевые зоны с амплитудами , которые с увеличением  будут убывать по модулю и отставать по фазе от колебаний, создаваемых предыдущей зоной. Изобразив отставание по фазе поворотом каждого вектора   против часовой стрелки на соответствующий угол, получаем цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая амплитуда колебаний в т. Р.

а) – результат действия 1-й зоны Френеля;

б) – результат действия первых двух зон Френеля;

в) – результат действия первых трёх зон Френеля.

 

Цепочка по мере увеличения числа узких кольцевых зон «закручивается» в спираль, и в результате амплитуда от действия всех зон (всей волновой поверхности) должна равняться .

 Видно, что амплитуда колебаний в точке Р при наличии преграды с круглым отверстием, открывающим только 1-ю зону Френеля, в 2 раза больше, а интенсивность в 4 раза больше () чем от полностью открытой волновой поверхности (преграды вообще нет).

При отверстии в преграде, открывающем для точки Р две зоны Френеля, интенсивность в этой точке падает практически до нуля.

 

Дифракция Фраунгофера

На дифракционный объект (отверстие, щель, царапина, пылинка и т.д.) падает плоская волна и дифракционную картину наблюдают на достаточно большом расстоянии, т.е. практически в параллельных лучах.

 

Дифракционная решётка

Дифракционную решётку может представлять система параллельных щелей одинаковой ширины a, находящихся друг от друга на одинаковом расстоянии b. Величина d = a + b называется постоянной решётки или её периодом.

Традиционным способом изготовления дифракционной решётки является нанесение на стеклянную пластинку параллельных штрихов через одинаковые интервалы с помощью делительной машины, снабжённой алмазным резцом (штрихи свет не пропускают, обеспечивая одинаковые непрозрачные промежутки между щелями). В настоящее время разработаны и другие технологии изготовления дифракционных решёток.

Общий размер решётки в направлении, перпендикулярном к её элементам

,

где N – число штрихов решётки.

Пусть на решётку падает плоская монохроматическая волна перпендикулярно её плоскости. Наблюдение дифракционной картины производится в параллельных лучах с помощью линзы, собирающей свет на экран, помещённый в её фокальной плоскости или на значительном удалении экрана от места расположения дифракционной решетки.

При дифракции на решётке колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе, поскольку эти точки принадлежат одной и той же волновой поверхности. Следовательно, колебания, приходящие в точку наблюдения Р _О, Р_φ, …, от разных щелей когерентны. Для нахождения результирующей амплитуды (и интенсивности) необходимо найти фазовые соотношения между этими когерентными колебаниями.

При расчёте дифракционной картины на экране, необходимо учитывать интерференцию вторичных волн как от разных участков одной щели ( дифракция Фраунгофера от щели ), так и от разных щелей решётки ( многолучевая интерференция ). Для учёта многолучевой интерференции также как и при рассмотрении дифракции Фраунгофера на щели удобно использовать метод векторных диаграмм.

В фокус линзы, т.е. в середину дифракционной картины, когерентные колебания от всех щелей приходят в одинаковой фазе. Это означает, что если амплитуда от одной щели равна А₀₁, а число щелей в решётке N, то результирующая амплитуда в точке Р₀ равна

A ₀ = A ₀₁ ^. N.

В точку Р_φ   придут колебания одинаковой амплитуды А_φ1 ,  но с разными фазами: разность фаз колебаний от соседних щелей одинакова и равна , так как разность хода для них .

Выберем начало отсчёта времени так, чтобы фаза электрического поля, создаваемого в точке наблюдения Р_φ первой (крайней) щелью, была равна нулю. Векторная диаграмма в этом случае – ломаная линия, состоящая из звеньев одинаковой длины А_φ1, причём каждое звено образует одинаковый угол  с предыдущим звеном.

Обозначим результирующую амплитуду в точке Р_φ от всех щелей    А_φ.

Из рисунка имеем

, где

ОС = R  –  радиус окружности.

   и .

    Исключив R, получим

 ,                                              

где . 

    Для интенсивности света    получаем

 , где  – интенсивность света при дифракции Фраунгофера от одной щели в направлении угла φ.

    Окончательно получаем    

 ,   где                     

 интенсивность от одной щели при .

Очевидно , когда векторная диаграмма образует замкнутый многоугольник. Первый раз цепочка векторов замыкается и вектор  обращается в нуль, когда угол Nγ становится равным 2π; затем 4π, 6π и т.д. Цепочка распрямляется, и А_φ имеет наибольшее возможное значение, а именно: А_φ = N ^. A_{φ 1} (), если … т.е. векторная цепочка вытягивается в прямую. При , будут максимумы  ( и ).

С учётом того, что  и что в максимумах  получаем условие максимумов:

              

Волны от соседних щелей усиливают друг друга, т.е. волны от всех щелей усиливают друг друга. Это означает, что последнее соотношение определяет направления, по которым образуются главные максимумы.

Графически сложение амплитуд от отдельных щелей, приводящее к образованию главных максимумов показано на рисунке.

 Амплитуда А_φ главных максимумов, не одинакова. Она модулируется множителем , т.е . амплитуда главных максимумов модулируется дифракцией Фраунгофера от отдельных щелей. Максимальное значение  равно единице. Оно достигается при условии  , которое соответствует центральному максимуму (φ = 0). Амплитуда всех остальных главных максимумов меньше. Если главный максимум приходится на направление, для которого  (а значит ),   то этот главный максимум отсутствует.

Целое число т в условии главных максимумов называют порядком главногомаксимума или порядком спектра.

Минимумы излучения образуются тогда, когда в результате сложения векторов амплитуд от отдельных щелей получается результирующая нулевая амплитуда, т.е. . Это происходит, если    Nγ   будет равен чётному числу π. Поэтому условие минимумов амплитуд (и интенсивностей) в дифракционной картине записывается в виде

Между двумя соседними главными максимумами имеется (N – 1) минимумов. Ясно, что между минимумами должны быть максимумы, которые называются второстепенными. Следовательно, между двумя соседними главными максимумами имеется (N – 2) второстепенных максимумов. На эти максимумы и минимумы накладываются минимумы, возникающие при дифракции от отдельной щели. Второстепенные максимумы слабы по сравнению с главными максимумами. Они создают более или менее равномерный слабый фон. На нём выступают узкие и резкие главные максимумы, в которых концентрируется практически весь дифрагированный свет.

На эти максимумы и минимумы накладываются минимумы, возникающие при дифракции от отдельной щели.  Наиболее яркими получаются максимумы в пределах центрального максимума при дифракции от одной щели.

Пунктирная кривая изображает интенсивность от одной щели, умноженную на .

 

Лекция 16

Поляризация света

Свет, испускаемый обычными (не лазерными) источниками, представляет собой набор множества цугов волн, электрические векторы которых   колеблются вдоль всевозможных направлений, перпендикулярных лучу.

Свет называют естественным или неполяризованным, если ни одно из указанных направлений колебаний не является преимущественным.

Свет называют частично-поляризованным, если в нём имеется преимущественное направление колебаний вектора .

Если колебания светового вектора происходят только в одной, проходящей через луч плоскости, свет называют плоско или линейно поляризованным.

Упорядоченность направления вектора  может заключаться в том, что вектор  поворачивается вокруг луча так, что его амплитуда одновременно изменяется по величине. В результате конец вектора  описывает эллипс. Такой свет называют эллиптически поляризованным.

 

Естественный свет можно представить как сумму двух некогерентных плоско-поляризованных волн с взаимно ортогональными плоскостями поляризации.

Из естественного света можно получить плоско-поляризованный с помощью приборов, которые называются поляризаторами. Их действие основывается на поляризации света при его отражении и преломлении на границе раздела двухдиэлектрических сред, а также на явлениях двойного лучепреломления и дихроизма.

Поляризаторы свободно пропускают колебания светового вектора, параллельные плоскости, которую называют «плоскостью пропускания поляризатора». Колебания, перпендикулярные к этой плоскости, задерживаются полностью или частично.

 

 

Степень поляризации

 

Частично-поляризованный свет можно представить в виде наложения двух некогерентных плоско-поляризованных волн с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации, но разными по интенсивности. Его также можно рассматривать как сумму естественной (ест) и плоско-поляризованной (пол) составляющих.

Степень поляризации: , где

интенсивность поляризованной составляющей;

 полная интенсивность частично-поляризованного света.

Для плоско-поляризованного света  степень поляризации .

Для естественного света  получаем .

Для эллиптически-поляризованного света понятие «степень поляризации» не применимо.

Закон Малюса

Поляризаторы можно использовать и в качестве анализаторов – для определения характера и степени поляризации света.

Пусть на анализатор падает линейно-поляризованный свет, вектор  которого составляет угол   с плоскостью пропускания  (имеется в виду амплитудное значение вектора ).

Анализатор пропускает только ту составляющую вектора , которая параллельна плоскости пропускания

.

Так как , то интенсивность, прошедшего через анализатор света ( закон Малюса )

Если поставить на пути естественного света с интенсивностью  поляризатор, то из поляризатора выйдет плоско-поляризованный свет, интенсивность которого

.

Через поляризатор и анализатор проходит свет с интенсивностью

.

Максимальная интенсивность   получается при , а при  интенсивность равна нулю, т.е. скрещенные поляризаторы свет не пропускают.

Вращая поляризатор вокруг направления эллиптически-поляризованного света интенсивность анализируемого света изменяется в пределах от   до .

Поляроиды

Существуют кристаллы, в которых один из лучей (о или е) поглощается сильнее другого. Это явление называют дихроизмом и используют для изготовления поляризаторов в виде светофильтров – поляроидов. Поляроиды представляют собой тонкую (~ 0,1 мм) плёнку, линейно поляризующую проходящий через неё свет.

 

Лекция 17

Рассеяние света

Вторичные волны, порождаемые колеблющимся электронами при прохождении света через вещество, оказываются когерентными между собой и распространяясь по всем направлениям интерферируют. В однородной среде эти волны гасят друг друга кроме направления распространения первичной волны и рассеяния света не происходит.

В оптически неоднородной (мутной) среде (дым, туман, эмульсии, матовые стёкла и т.п.) вторичные волны дифрагируя на мелких неоднородностях дают дифракционную картину в виде довольно равномерного распределения интенсивности по всем направлениям. Это явление называют рассеянием света.

Для мутной среды с частицами, размеры   которых малы по сравнению с длиной волны , справедлив закон Рэлея: интенсивность   рассеянного света обратно пропорциональна четвёртой степени длины волны в вакууме

.

Коротковолновая часть спектра рассеивается значительно более интенсивно, чем длинноволновая. Голубой свет, длина волны которого примерно в 1,5 раза меньше длины волны красного света, рассеивается в 5 раз интенсивнее, чем красный (голубой – цвет рассеянного света, а красноватый – прошедшего).

При  закон Рэлея нарушается и .

Если размеры неоднородности значительно больше световой волны, то спектральный состав рассеянного света практически совпадает со спектральным составом первичного пучка. Этим объясняется белый цвет облаков.

Молекулярное рассеяние. Абсолютно чистые жидкости и газы слабо рассеивают свет из-за флуктуаций плотности в пределах малых объёмов. Молекулярным рассеиванием объясняется голубой цвет неба.

При восходе и заходе Солнца прямой солнечный свет проходит через большую толщу атмосферы, и при этом большая доля коротковолновой части спектра теряется на рассеяние. До поверхности Земли доходит преимущественно красная составляющая спектра. Поэтому восход и заход Солнца кажутся красного цвета.

Ослабление узкого светового пучка. В результате рассеяния интенсивность узкого светового пучка убывает в направлении распространения быстрее чем в случае одного лишь поглощения. В случае мутной среды в законе Бугера вместо коэффициента поглощения должен стоять коэффициент ослабления

, где

  коэффициент экстинкции, связанный с рассеивающими свойствами среды.

.

 

Дисперсия света

Дисперсией света называют явление, обусловленное зависимостью показателя преломления вещества от длины волны

 , где

 длина волны света в вакууме.

Интервал длин волн, в котором  соответствует  нормальной дисперсии.

  Интервал длин волн, в котором  соответствует  аномальной дисперсии.

Область аномальной дисперсии совпадает с полосой поглощения .

Аналитический вид зависимости в области нормальной дисперсии может быть представлен приближённой формулой

 , где

  a  и b – положительные постоянные, различные для каждого вещества.

с – скорость света в вакууме.

Впервые дисперсия света была исследована Ньютоном при разложении узкого пучка солнечного света в спектр на стеклянной призме.

 

                                                  Лекция 18

Голография

Голографией называют способ записи и последующего восстановления структуры световых волн, основанный на явлениях дифракции и интерференции когерентных световых пучков.

В голографии регистрируется не оптическое изображение предмета (как в фотографии), а интерференционная картина, возникающая при наложении световой волны, рассеянной предметом, и когерентной с ней опорной волны. Эта интерференционная картина фиксирует информацию о распределении не только амплитуд, но и фаз в предметной волне.

Фотопластинка Ф (рис. а) регистрирует интерференционная картину, возникающую при наложении отражённой предметной волны1,  рассеянной объектом А,  и когерентной с ней опорной волны2.

Волна   2  испускается тем же источником света, который освещает объект   А,  и после отражения от зеркала   З  падает непосредственно на фотопластинку   Ф.

Голограмма (интерференционная картина, зафиксированная на фотопластинке после её проявления) в закодированной форме содержит полную информацию об амплитудах и фазах рассеянной предметной волны.

Восстановление (декодирование) изображения предмета показано на рисунке б. Голограмму   Г просвечивают как диапозитив той же опорной волной 2, которая использовалась для её получения, причём при той же ориентации голограммы, что и исходная фотопластинка по отношению к опорной волне. Эта световая волна дифрагирует на голограмме. В результате наблюдаются два объёмных изображения объекта. Мнимое изображение А’ находится в том месте, где был объект А при съёмке и полностью тождественно ему.

Действительное изображение А’’ расположено по другую сторону голограммы и является зеркальным изображением объекта.

Обычно пользуются мнимым изображением А’.

Изменяя положение глаза, можно видеть предмет в разных ракурсах и даже заглядывать за него.

Каждый участок голограммы содержит информацию обо всём объекте. С помощью даже небольшого её кусочка можно восстановить изображение всего объекта но менее чёткое и яркое.

На одной фотопластинке можно последовательно записать несколько голограмм от разных объектов. Изображение каждого объекта можно восстановить без помех со стороны других изображений.

 

Лекция 14

Дифракция света

Дифракцией называют совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн.

Перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией, а перераспределение интенсивности, возникающее вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией волн.

Если лучи от источника света S, падающие на препятствие и лучи, идущие в точку наблюдения Р, образуют практически параллельные пучки, то говорят о дифракции Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах). В случае непараллельных лучей между препятствием и экраном говорят о дифракции Френеля.

 

Гюйгенс предложил каждую точку среды, которой достигла волна, рассматривать как источник вторичных сферических волн, распространяющихся по всем направлениям со скоростью, свойственной среде.

Огибающая поверхность, т.е. поверхность, касающаяся всех сферических вторичных волн в том положении, которого они достигнут к моменту времени t, представляет собой волновой фронт в этот момент.

При применении принципа Гюйгенса центры вторичных волн можно выбирать наиболее удобным для решения конкретной задачи способом.

Френель, заимствовав из принципа Гюйгенса представление о вторичных волнах, применил к ним законы интерференции, т.е. при использовании принципа Гюйгенса-Френеля для рассмотрения конкретной задачи используется информация не только об амплитуде вторичных волн, но и о их фазе. Правило построения огибающей заменяется расчётом взаимной интерференции вторичных волн.

Рассмотрим преграду N с некоторым отверстием, через которое проходит свет от точечного монохроматического источника Р ₀ и определим напряжённость электрического поля Е в любой точке Р за преградой.

Каждый элемент  волновой поверхности  служит источником вторичной световой волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента .

Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием   от источника по  закону

.

Следовательно, от каждого участка световой поверхности в точку Р, лежащую перед этой поверхностью, приходит колебание

, где

 фаза колебаний в месте расположения волновой поверхности;

 расстояние от  до точки   Р;

 волновое число.

Коэффициент К зависит от угла  между нормалью  к элементу  и направлением от  к точке Р, и монотонно убывает с ростом угла .

Множитель  определяется амплитудой светового колебания в том месте, где находится .

Результирующее колебание в т. Р представляет собой суперпозицию колебаний взятых для всей волновой поверхности :

 

.

 

Суть принципа Гюйгенса-Френеля в следующем: для определения колебания в точке Р, лежащей перед некоторой поверхностью , надо найти колебания, приходящие в эту точку от всех элементов  поверхности и затем сложить их с учётом амплитуд и фаз. При этом предполагается, что все элементы поверхности  взаимно когерентны.

Принцип Гюйгенса-Френеля можно представить в простой и наглядной форме с помощью векторной (фазовой) диаграммы:

Результирующая амплитуда (вектор ) представлена как векторная сумма амплитуд колебаний в т. Р от различных элементов   поверхности   с учётом их фаз, т.е. углов между ними.

Дифракция Френеля от круглого отверстия

Для определения амплитуды световых колебаний в точке Р за круглым отверстием в преграде N волновую поверхность , которая перекрывает отверстие, разбивают на кольцевые зоны Френеля. Расстояния от краёв каждой зоны до точки Р отличаются друг от друга на половину длины волны .

Колебания, приходящие в т. Р от аналогичных точек двух соседних зон находятся в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, отличаются для соседних зон по фазе на π.

Вычислим радиусы зон.

, где

Тогда  

Если рассматривать несколько первых зон (т – мало), то слагаемым   можно пренебречь из-за малости . В то же время   т.к. .

Т.о. . При   и   получаем для 1-ой зоны .

Если волна плоская   то .

Результирующая амплитуда (следовательно, и интенсивность) зависит от того, чётное или нечётное число т зон Френеля умещается в отверстии. Если число зон нечётное, в т. Р наблюдается максимум, если же число зон чётное – минимум.

Спираль Френеля

Разобьём мысленно волновую поверхность на очень узкие кольцевые зоны с амплитудами , которые с увеличением  будут убывать по модулю и отставать по фазе от колебаний, создаваемых предыдущей зоной. Изобразив отставание по фазе поворотом каждого вектора   против часовой стрелки на соответствующий угол, получаем цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая амплитуда колебаний в т. Р.

а) – результат действия 1-й зоны Френеля;

б) – результат действия первых двух зон Френеля;

в) – результат действия первых трёх зон Френеля.

 

Цепочка по мере увеличения числа узких кольцевых зон «закручивается» в спираль, и в результате амплитуда от действия всех зон (всей волновой поверхности) должна равняться .

 Видно, что амплитуда колебаний