Кафедра машиноведения, проектирования,

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

_______________________________________________________

Кафедра машиноведения, проектирования,

Стандартизации и сертификации

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Методические указания для выполнения домашней работы

По начертательной геометрии и инженерной графике

МОСКВА – 2012

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

"МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

_____________________________________________________________

Кафедра машиноведения, проектирования,

Стандартизации и сертификации

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Рекомендовано редакционно-издательским советом

университета в качестве методических указаний

 

для студентов ИТТСУ, ИУИТ, ИПСС, ИЭФ

и ВЕЧЕРНЕГО факультета

МОСКВА – 2012

 

 

УДК 744

М 54

 

      Кривые поверхности: Методические указания для выполнения домашней работы по начертательной геометрии и инженерной графике/ С.В. Ларина, С.Н. Муравьёв, Ф.И. Пуйческу, Н.А. Чванова – М.: МИИТ, 2012. – 78 с.: ил.

 

Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам при решении задач на построение линий пересечения кривых поверхностей.

Методические указания помогут студентам самостоятельно выполнить домашнее задание по начертательной геометрии и инженерной графике на тему «Пересечение кривых поверхностей». В примерах, приведённых в методических указаниях, студентов знакомят со способами решения задач на тему «Пересечение кривых поверхностей» и построения развёрток кривых поверхностей на ортогональном чертеже.

Издание предназначено для студентов ИТТСУ, ИУИТ, ИПСС, ИЭФ и ВЕЧЕРНЕГО факультета.

Ил. 28, табл. 3, библиогр. – 5 назв.

 

                                                                                                                                                                                      

                                                                 © МИИТ, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

                                                                           Стр.

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ КАРКАСНЫМ МЕТОДОМ ………… 4

2 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ … 7

2.1 Построение линии пересечения поверхности с

     плоскостью частного положения ……………………… 7

2.2 Плоские сечения простейших геометрических

линейчатых поверхностей ……………………………. 12

     2.2.1 Плоские сечения цилиндрической поверхности  12

     2.2.2 Плоские сечения конической поверхности …… 12

3 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ……. 14

3.1 Выбор способа решения ……………………………….. 14

3.2 Способ секущих плоскостей ………………………….. 14

3.3 Способ вспомогательных сфер ………………………. 31

     3.3.1 Пересечение соосных поверхностей.................… 31

     3.3.2 Способ концентрических сфер ……..................… 32

     3.3.3 Способ эксцентрических сфер............................... 37

3.4 Частные случаи пересечения поверхностей второго

      порядка ………………………………………………….. 41

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И

КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ …………………….. 45

5 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ………………………………… 49

6 ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТЫ ………… 50

7 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ……….………………………….. 55

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………..…….. 77

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ

 

Построение линии пересечения поверхности с

плоскостью частного положения

 

Плоскость α пересекает поверхность вращения Ф по кривой линии k. Так как секущая плоскость α частного положения, то одна из проекций линии k совпадает с вырожденной проекцией этой плоскости. Горизонтальная проекция k₁ (отрезок A₁B₁) линии k совпадает с вырожденной проекцией α₁ плоскости α, так как α ^ П₁ (рисунок 2.1). Если α ^ П₂, то k₂≡ α₂ – совпадает с вырожденной проекцией плоскости α.

На чертеже задачу на пересечение поверхности Ф с плоскостью частного положения α сводят к задаче на построение недостающей проекции линии k. Линия k принадлежит данной поверхности и задана одной своей проекцией, совпадающей с вырожденной проекцией плоскости α. Точки кривой k находят на пересечении простейших линий каркаса поверхности с секущей плоскостью α.

Пример 1. Построить проекции линии k пересечения торовой поверхности плоскостью α ^ П₁ (рисунок 2.2).

Построение проекций линии k сводится к решению позиционной задачи на принадлежность линии k и поверхности тора. Проекция k₁ линии k   будет совпадать с вырожденной проекцией α₁ плоскости α, так как α ^ П₁. Поэтому заданную задачу можно сформулировать так: на чертеже поверхности тора по заданной горизонтальной проекции k₁ линий k, принадлежащей поверхности, построить фронтальную проекцию k₂.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

 

Выбор способа решения

 

Выбор способа решения задачи зависит от вида пересекающихся поверхностей, их взаимного расположения, а также их положения относительно плоскостей проекций.

В качестве поверхностей-посредников чаще всего используют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают способы построения линий пересечения двух поверхностей:

- способ вспомогательных (секущих) плоскостей;

- способ вспомогательных сфер.

Способ секущих плоскостей

 

Этот способ следует применять, когда секущие плоскости одновременно пересекают заданные поверхности по графически простым линиям (по прямым или окружностям). Рассмотрим на примерах построение линии пересечения двух поверхностей, используя способ секущих плоскостей.

Пример 2. Построить проекции линии k пересечения поверхностей закрытого тора и прямого кругового конуса, оси которых перпендикулярны плоскости Π₁ (рисунок 3.1).

Решение задачи начинают с выявления одного из двух возможных посредников – фронтальных, либо горизонтальных плоскостей уровня, так как поверхности на чертеже заданы двумя проекциями – фронтальной и горизонтальной. Фронтальные плоскости уровня (кроме плоскости β – общей плоскости симметрии поверхностей), расположенные параллельно осям вращения поверхностей, нельзя использовать в качестве посредников. Эти плоскости будут пересекать поверхности тора и конуса, соответственно, по кривым четвёртого порядка и гиперболам, являющимися лекальными кривыми, а не простейшими линиями каркаса. А горизонтальные плоскости уровня, перпендикулярные осям вращения заданных поверхностей, будут их пересекать по простейшим линиям каркаса – окружностям и, следовательно, в качестве посредников нужно использовать горизонтальные плоскости уровня.

Способ вспомогательных сфер

   

            3.3.1 Пересечение соосных поверхностей

 

Соосными называют поверхности, имеющие общую ось (рисунок 3.10). Если одной из соосных поверхностей вращения является сфера, с центром на оси второй поверхности вращения, то в их пересечении получаются окружности – общие параллели, число которых равно числу точек пересечения главных (очерковых) меридианов поверхностей (см. рисунок 3.10, б). Если общая ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то окружности проецируются на эту плоскость, например, на плоскость П₂ в виде отрезков прямых, а на плоскость П₁ – в виде окружностей. Это свойство сферы с центром на оси другой поверхности вращения положено в основу способа концентрических* сфер.

Способ концентрических сфер

 

Способ концентрических сфер применяют если:

- две заданные поверхности являются поверхностями вращения, каждая из которых содержит семейство окружностей, по которым её могут пересекать концентрические сферы, общие для заданных поверхностей;

- оси заданных поверхностей пересекаются в точке, являющейся центром всех вспомогательных секущих сфер;

- заданные поверхности имеют общую плоскость симметрии, расположенную параллельно одной из плоскостей проекций. Общая плоскость симметрии включает оси заданных поверхностей.

Пример 5. Построить проекции линии m пересечения поверхностей конуса Ф¹ и тора Ф² (рисунок 3.11).

Задача не может быть решена посредством вспомогательных параллельных плоскостей уровня, так как в горизонтальных плоскостях уровня на поверхности конуса получим семейство окружностей, а на поверхности тора – семейство кривых четвёртого порядка. Во фронтальных плоскостях уровня на поверхности конуса получим семейство гипербол, а на поверхности тора – семейство кривых четвёртого порядка. В сечениях заданных поверхностей рассматриваемыми плоскостями уровня не содержатся только простейшие линии каркаса (прямые и окружности), поэтому эти плоскости нельзя использовать в качестве плоскостей-посредников. Однако, две плоскости необходимо использовать – общую фронтальную плоскость симметрии α(i ∩ j) и горизонтальную плоскость уровня β, проходящую через ось j поверхности тора.

В этом примере заданные поверхности удовлетворяют всем требованиям, позволяющим использовать для решения задачи концентрические сферы-посредники переменного радиуса: поверхности конуса и тора – поверхности вращения; их оси i и j параллельны плоскости проекций П₂ и пересекаются в точке O = i ∩ j, являющейся центром вспомогательных концентрических сфер. На поверхностях этих сфер располагаются окружности –

 

простейшие линии каркаса заданных поверхностей. Границы сфер-посредников должны изменяться в пределах:, где R_min – радиус минимальной сферы; R^всп – радиус вспомогательной сферы; R_max – радиус максимальной сферы. Величины R_min и R_max определяют на поле П₂, так как оси поверхностей параллельны П₂.

Способ эксцентрических сфер

 

Пусть α – общая плоскость симметрии (рисунок 3.12) поверхностей Ф¹ и Ф² (изображение поверхностей на рисунке не приведено) параллельна плоскости проекций П₂. В плоскости α расположены прямая i – ось поверхности вращения Ф¹ и кривая f – линия центров циклической поверхности Ф².

На циклической поверхности Ф² выделяют некоторую окружность t, плоскость β которой перпендикулярна плоскости α (плоскости β являются носителями каркаса окружностей циклической поверхности). Далее строят сферу W, проходящую через окружность t, с центром на оси i. Окружность t является носителем пучка сфер с линией центров всех сфер на прямой b, проходящей через центр ω окружности t, перпендикулярно её плоскости. Через центр ω = f ∩ β окружности t, перпендикулярно плоскости β проводят прямую b и отмечают точку O пересечения этой прямой с осью i. Точку O принимают за центр сферы-посредника W, радиус R которой равен отрезку OA. Так как центр сферы-посредника W расположен на оси i поверхности вращения Ф¹, то поверхности Ф¹ и W будут соосными и пересекутся по окружностям. Тогда окружности пересечения поверхностей Ф¹, W и окружность t, расположенные на общей сфере W, пересекутся между собой в точках искомой кривой m. Аналогично, выделяя новые окружности на циклической поверхности Ф² посредством плоскости β′, строят другие сферы-посредники, центры которых перемещаются по оси i поверхности вращения Ф¹ (отсюда и название – способ эксцентрических сфер).

Пример 6. Построить проекции линии m пересечения поверхностей кольца (1/4 часть открытого тора) Ф¹ и кругового конуса Ф² (рисунок 3.13).

Поверхности Ф¹ и Ф² имеют общую плоскость симметрии α (α₁), параллельную плоскости П₂ и содержащую ось i ^ П₁ поверхности конуса и линию центров f поверхности тора.

Возможность использования способа эксцентрических сфер обуславливается тем, что обе поверхности несут на себе семейства окружностей, по которым они могут пересекаться эксцентрическими сферами. На поверхности тора Ф¹ нас интересует то семейство окружностей, которое принадлежит пучку плоскостей β, ось которого совпадает с осью j кольца (j ^ П₂).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

 

Домашняя работа «Кривые поверхности» состоит из двух задач:

Задача №1 Построение проекций линии пересечения:

а) поверхности вращения с плоскостью частного положения (варианты задания 1432);

б) двух поверхностей (варианты задания 33488).

Задача №2 Построение развёртки поверхности вращения *.

ТРЕБОВАНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ К ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТЫ

 

Домашнюю работу выполняют на листах ватмана формата А3 (297´420 мм) простым карандашом. Толщина линий проекционной связи должна быть»1/3 от толщины сплошной основной линии. На чертеже точки отмечают пустым кружком диаметром 3 мм, сопровождая буквенными или цифровыми обозначениями. Буквы и цифры наносят так, чтобы они не пересекали какие-либо линии и надписи. После проверки работы преподавателем чертеж оформляют в соответствии с требованиями ЕСКД (Единая система конструкторской документации).

Ортогональный чертёж поверхности вращения, пересекающейся с плоскостью частного положения, и развёртку этой поверхности выполняют на листе ватмана, расположенном горизонтально (рисунок 6.1).

 

Элемент привязки развёртки для вариантов 1 4 32 (точку Ŝ для конической поверхности и точку Ĉ для цилиндрической поверхности) размещают на листе с учётом величин отрезков a и b и номера варианта задания (рисунок 6.2 и таблицу 6.1). Размеры рамки и учебной основной надписи на чертеже должны соответствовать образцу, показанному на рисунке 6.2.

 

Таблица 6.1

№ варианта	Вид поверхности	Элемент привязки развёртки	a, мм	b, мм
1	2	3	4	5
1	Конус	Вершина конуса Ŝ	50	35
2	Конус	Вершина конуса Ŝ	140	170
3	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	240	105
4	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	235	105
5	Конус	Вершина конуса Ŝ	75	75

Продолжение таблица 6.1

1	2	3	4	5
6	Конус	Вершина конуса Ŝ	85	75
7	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	240	135
8	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	30	95
9	Конус	Вершина конуса Ŝ	85	85
10	Конус	Вершина конуса Ŝ	105	55
11	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	100	13
12	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	175	25
13	Конус	Вершина конуса Ŝ	180	65
14	Конус	Вершина конуса Ŝ	30	20
15	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	25	190
16	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	95	25
17	Конус	Вершина конуса Ŝ	60	20
18	Конус	Вершина конуса Ŝ	170	75
19	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	10	160
20	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	185	25
21	Конус	Вершина конуса Ŝ	90	85
22	Конус	Вершина конуса Ŝ	65	40
23	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	230	75
24	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	60	45
25	Конус	Вершина конуса Ŝ	80	70
26	Конус	Вершина конуса Ŝ	90	80
27	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	50	205
28	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	180	15
29	Конус	Вершина конуса Ŝ	160	160
30	Конус	Вершина конуса Ŝ	185	85
31	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	230	80
32	Цилиндр	Точка Ĉ поверхности	240	90

 

Ортогональный чертёж пересекающихся поверхностей (варианты 33 4 88) выполняют на листе ватмана, расположенном вертикально (рисунок 6.3), а развёртку указанной преподавателем поверхности – на листе ватмана, расположенном горизонтально (рисунок 6.4).

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

 

В вариантах заданий 1 4 32 поверхности заданы линиями их очертаний (таблица 7.1), в вариантах с 33 -го по 64 -й – аксонометрическими проекциями, а в вариантах 65 4 88 поверхности заданы геометрическими частями определителя. Определители поверхностей записаны в задании в квадратных скобках и являются набором постоянных геометрических элементов, которые позволят создать поверхность на ортогональном чертеже.

 

Таблица 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

Продолжение таблицы 7.1

 

 

Продолжение таблицы 7.1

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1 Начертательная геометрия. Учебн. для вузов./Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, В.Е. Васильев. Под ред. Н.Н. Крылова. – 11-е изд., перераб. и доп., – М.: Высш. шк., 2010. – 224 с.: ил.

2 Инженерная графика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/Ф.И. Пуйческу, С.Н. Муравьёв, Н.А. Чванова. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 336 с.

3 Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия. Учебн. пос. – 3-е изд., перераб. и доп., Киев: «Вища школа», 1978. – 312 с.: ил.

4 Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебн. для втузов. – 3-е изд., перераб. и доп., – М.: Инфра-М, 2011. – 285 с.

5 Единая система конструкторской документации. Общие равила выполнения чертежей. – М.: ИПК Издательство стандартов, 2001. – 160 с.

 

Учебно-методическое издание

 

Ларина Светлана Викторовна,

Муравьев Сергей Николаевич,

Пуйческу Фёдор Ильич,

Чванова Нина Александровна

КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Методические указания по дисциплине

«Начертательная геометрия и инженерная графика»

для студентов ИТТСУ, ИУИТ, ИПСС, ИЭФ

и ВЕЧЕРНЕГО факультета

___________________________________________________

                                   Формат 60´84 1/16.

Подписано к печати –       Заказ №                      

Усл. печ. л. –                      Тираж 1500 экз.              ___________________________________________________

УПЦ ГИ МИИТ, Москва, 127994, ул. Образцова, д. 9, стр. 9

* Простейшие геометрические тела: цилиндр, конус, шар и тор.

(Кривая поверхность это множество (геометрическое место) последовательных положений линии, движущейся в пространстве по заданному закону.

* Общая плоскость симметрии включает в себя оси заданных поверхностей.

* Соосными называют поверхности, оси которых совпадают. Если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечёт данную поверхность по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных (очерковых) меридианов поверхностей.

* Сферы с общим центром называют концентрическими.

*К особым точкам кривой относят точки: узловые, перегиба, возврата и излома.

* Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовые координаты которых удовлетворяют уравнениям второй степени.

* Развёртываемую поверхность из вариантов 33488 указывает преподаватель.

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

_______________________________________________________

Кафедра машиноведения, проектирования,