Группа. На сравнение двух математических записей.

1) Замени сложение умножением: 3+3+3+3+3 = 3*5

  Вместо каких-то чисел можно ставить окошко в правой или левой части. Можно предложить такие суммы, которые нельзя заменить умножением: 14+14+14+1+4.

2) Замени умножение сложением: 2*4=2+2+…

 Можно и с окошками задавать: 2* =2+2+2.

 4*3=…

3*4=…                                                                                                             

3) Выбери произведение соответствующее этой сумме: 3+3+3+3 =                                                                                                               

3*5 или 3*4

И наоборот.

4) Найди ошибку в записи: 5+5+5=3*5.

5) Закончи запись: 3*5=3+….

6) Установи соответствие между суммами и произведениями:

       17+17+17                        17*3

       1+1+1+1+1                       1*5

       12+12+12+12+2             12*4+2

Подобные упражнения предлагаются во всех учебниках, но наиболее интересные в учебниках Истоминой Н.Б. М2И и М3И. Найти самостоятельно.

При рассмотрении умножения вводят понятие «увеличить в несколько раз».

У Пети было 2 конфеты, а стало в 5 раз больше. Покажи на рисунке, сколько конфет стало. Составь математическую запись. М3М ч.1 с.36

После ознакомления со смыслом умножения, учащиеся знакомятся со смыслом деления. Для этого используется теоретико-множественная трактовка.

Суть деления сводится к разбиению конечного множества на равночисленные подмножества, из которых никакие два не имеют общих элементов. При ознакомлении со смыслом деления используют два вида задач.

1 вид. ДЕЛЕНИЕ ПО СОДЕРЖАНИЮ. М2М ч.2 с. 58

8 яблок раздали по 2 каждому ребенку. Сколько детей получили яблоки?

Делаем модель с помощью раздаточного материала или рисуем его.

Учитель отсчитывает по два яблока и дает ученику до тех пор, пока яблоки не закончатся.

По модели выполняем запись: 8:2=4. Ответ находят по модели. В таких задачах узнают количество равных подмножеств.

2 вид. ДЕЛЕНИЕ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ. М2М ч.2 с. 60

8 яблок раздали двум ученикам поровну. Сколько яблок получил каждый

В таких задачах узнают численность равных подмножеств.

Учитель демонстрирует эти действия. Это можно сделать двумя способами:

1) по одному раздают по очереди;

2) т.к. делим на две равные части, то сразу берем два яблока, чтобы дать по одному каждому.

 

Для каждого способа свой рисунок:

1)

 

Ответом на вопрос является число стрелок, которое подходит к каждому треугольнику.

2)

На этом рисунке считаем сколько раз по 2 брали, чтобы дать каждому по 1.

По рисункам делаем запись: 8:2=4. (Ответ находим по рисунку).

В течение последующих уроков предлагаются упражнения на усвоение смысла деления.

Это упражнения на сравнение рисунка и записи:

1) Составь запись по рисунку. Рисунок, как показано выше, при делении по содержанию или на равные части в строчку или столбиком. М2М ч.2 с. 58 -59

2)Выбери запись соответствующему рисунку или наоборот, рисунок соответствующий записи.

3) Исправь ошибку в записи так, чтобы она соответствовала рисунку, или наоборот, исправь рисунок, чтобы он соответствовал записи.

4) Закончи рисунок,чтобы он соответствовал записи и наоборот.

5) Установи соответствие между рисунками и несколькими записями.

 

На специальном уроке проводят обобщение двух видов деления М2Мч.2 с.62

 Показывают, что, если делят одинаковые числа, то неважно, каким способом выполняют деление, ведь все равно получится одинаковое число.

1) 12 морковок связали в пучки по 2 морковке в каждом. Сколько пучков получилось?

12:2=6 (пучков)

2) 12 морковок разделили на две равные части для двух кроликов. Сколько морковок получил каждый?

12:2=6 (мор.)

Сравниваем тексты задач, подмечаем сходства и отличия. Обращаем внимание на то, что деление выполняется по-разному. Но при сравнении записей мы видим, что результат получается одинаковый. Следовательно, если делят одинаковые числа, то неважно, каким способом выполняют деление, ведь все равно получится одинаковое число.

 При рассмотрении смысла деления учащиеся знакомятся с такими понятиями:

а) уменьшить в несколько раз. М3М ч.1 с.38

Это понятия, связанные с делением на равные части.

Красных мячей 6, а синих в два раза меньше.

 Мы должны 6 мячей разделить на 2 равные части и взять одну такую часть.

б) кратного сравнения, т.е. ответ на вопрос: во сколько раз больше/меньше или меньше? М3М ч.1 с.42

Эта задача сводится к делению по содержанию.

У Коли 10 тетрадей, а у Пети 2. Во сколько раз у Коли больше тетрадей, чем у Пети?

В учебнике Истоминой Н.Б. М3И  при разъяснении смысла деления рассматривают не задачи, а рисунки и задания, но они сводятся все равно к двум видам деления.

 

ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.

В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с тремя свойствами умножения:

1.переместительный закон;

2.сочетательный закон;

3.распределительный закон умножения относительно сложения.

Первый закон, с которым знакомятся учащиеся, является переместительный закон. Для его вывода используют эмпирическое обобщение.

1)задание. В качестве первой ситуации можно предложить такое задание: «…положите перед собой 4 ряда по 2 круга».

 

Сколько кругов перед вами? Это можно выяснить двумя способами: а) здесь 4 горизонтальных строки по 2 круга в каждой, т.е. всего 2*4=8 (результат можно пересчитать, если дети не знают этот случай); б) с другой стороны здесь 2 вертикальных столбика по 4 круга в каждом. Всего 4*2=8. Сравните записи: чем похожи? (одинаковые множители, одинаковые произведения), говорим на языке правила; чем отличаются? (множители поменялись местами). Делаем первый промежуточный вывод: от перестановки множителей результат умножения не изменяется.

2) задание. Предлагаем готовый рисунок.

 

Объясните записи

3*6=18        и     6*3=18

Проводим анализ записей с точки зрения терминологии. Чем похожи? Чем отличаются? И делаем второй промежуточный вывод.

3) задание. Аналогично разбираем такую же третью ситуацию. Главное, чтобы использовались другие числа. И делаем вывод.

4)Сравниваем все полученные записи и делаем общий вывод: от перестановки множителей результат умножения не изменяется.

Э то правило облегчит вычисления, например, 2*148=148*2, 148*2=148+148

Но переместительное свойство нельзя использовать при записи решения задач, т.к. для начальной школы очень важен смысл действия. Например, если дана задача «сшили 48 платьев, на каждое потратили по 2 м ткани. Сколько всего ткани израсходовали?», то нельзя записать как 48*2, а можно 2*48.

Сочетательное свойство умножения. Это свойство в зависимости от построения учебника по разным программам изучается либо во 2, либо в 3 классе, и по-разному формируется. По программе Н.Б. Истоминой свойство формируется так: два соседних множителя можно заменить их произведением, а по программе М.И. Моро это свойство представлено в виде правила умножения числа на произведение, показаны различные способы умножения числа на произведение двух чисел, т.е. по программе Моро объединяет переместительное и сочетательное свойства.

Для вывода этого правила по программе НБ Истоминой используют эмпирическое обобщение.  Рассматривают при этом подобные рисунки:

а)Обведите два прямоугольника 6 на 7

Сколько всего квадратов в этих прямоугольниках? Первый способ: можно вычислить, сколько всего квадратов в первом прямоугольнике (6*7), а т.к. таких прямоугольников два, то затем это произведение умножим на 2. Получим: (6*7)*2=42*2=84.

Второй способ: в каждом прямоугольнике по 7 строчек квадратов. Сначала узнаем, сколько таких строк в двух прямоугольниках (7*2), а т.к. в каждой строке по 6 квадратов, то всего 6*(7*2)=6*14=84. Сравниваем обе записи: чем похожи? чем отличаются? Обращаем внимание на то, что в них соседние множители заменили произведением (группировали) и от этого произведение не изменилось. Делаем первый промежуточный вывод: два соседних множителя можно заменить их произведением и от этого все произведение не изменится. (Уточните)  (*)

б) Вторая ситуация аналогична первой, но можно предложить подобные рисунки и готовые записи, для объяснения (см. учебник Истоминой Н.Б).

в) Сравниваем записи, полученные в первом и во втором случаях, и делаем общий вывод (*).  

Это свойство также облегчает вычисления. Например,   14 * 30= 14*(3*10)      

По программе Моро 4 кл. (Найти!) при рассмотрении правила умножения числа на произведение рассматривают такие варианты: 6 * (3*5)=(6*3) * 5

                                                                                        6 * (3*5)=(6*5) * 3

                                                                                        6 * (3 * 5)=6 * 15

Таким образом, это правило включает в себя не только сочетательное, но и переместительное свойство умножение (М4М).

Так же в начальном курсе рассматривают распределительное свойство умножения относительно сложения. Его изучают в виде двух правил:

П.1.умножение суммы на число (3 кл.)

П.2.умножение числа на сумму (4 кл.)

Такой разрыв во времени объясняется тем, что эти правила являются теоретической основой различных вычислительных приёмов.

П.1.: теоретическая основа - внетабличное умножение вида 14*3.

П.2.: теоретическая основа приёма – письменное умножение на двух- и трёхзначное число. Например, 14* 12

Для вывода П.1.   М3М ч.2 с. используют эмпирическое обобщение и рассматривают ситуации:

1) положите перед собой 2 ряда кругов, в каждом из которых по 3 красного цвета и по 4 синего

Сколько всего кругов перед вами? 1 способ: можно сначала

узнать сколько всего кругов в первом ряду – 3+4, а затем,

т.к. два одинаковых ряда, эту сумму умножить на 2.

Получим: (3+4) * 2=7*2=14.

2 способ: можно сначала узнать, сколько всего красных кругов (3*2), затем узнать, сколько всего синих кругов (4*2), а затем общее количество кругов, т.е. сложим:

(3*2)+(4*2)=6+8=14. Сравниваем записи и подмечаем, что значения выражений одинаковы. Следовательно, можно составить общую запись: (3+4)*2=3*2+4*2. Просим прочитать это равенство с помощью терминов (первое слагаемое, второе слагаемое, число, произведение). Делаем первый промежуточный вывод.

2)Можно рассмотреть страницы учебника или рисунки на доске. Аналогично.

                                                       (2+5)*3

                                                       (2*3)+(5*3) Объясните, что обозначает эта               

запись и найдите значение выражений.

Составьте равенство и прочитайте его с помощью терминов.

В качестве 3) ситуации, можно предложить решить двумя способами задачу. Например, «3 класса сделали к празднику каждый по 6 масок зверей и по 4 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети?» Предлагаем готовые способы решения:

(6+4) * 3 = 30 (м.)

(6 * 3)+(4 * 3)=30 (м.)

Объясняем решение, сравниваем записи, делаем общую запись: (6+4)*3=6*3+4*3.

4)Сравниваем все полученные записи и делаем общий вывод: при умножении суммы на число, можно сначала каждое слагаемое умножить на это число, а результаты сложить. Таким образом, это свойство помогает в некоторых случаях области вычисления, мы распределяем сумму на два слагаемых и каждое слагаемое умножаем отдельно. Например, 15*3=(10+5)*3=(10*3)+(5*3).

При рассмотрении П.2. – умножение числа на сумму, можно использовать для вывода эмпирическое обобщение или можно  провести аналогию.

Например, на доске два выражения: (6+3)*4 и 4*(6+3)

а) Читаем их и сравниваем: чем похожи? чем отличаются? (если в первом случае сумму умножали на число, то во втором – число умножали на сумму).

б) Как найти значение этих выражений? Мы знаем правило умножения суммы на число. Читаем это правило.

в) Как вы думаете, если наши выражения так похожи, то можно ли использовать аналогичное правило для нахождения значения второго выражения? Делаем предположение.

г) Пользуясь нашими предположениями, находим значение второго выражения двумя способами:        4* (6+3)= (4*6)+(4*3)

                                                      4 * 9 =36         

Мы получили одинаковые значения выражений. Следовательно, наше предположение – верно и при умножении числа на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое отдельно, а результаты сложить.