Пропорция как равенство отношений

Во втором значении под пропорцией в архитектуре (как и в математике) понимают равенство отношений количественной меры одних и тех же объективных свойств в сопоставляемых формах или их частях (а/в = с/ d).

В основе такого образования целостной формы лежит принцип геометрического подобия.

Наиболее распространенным в архитектуре примером применения пропорции как равенства математических отношений является образование формы на основе подобных прямоугольников, диагонали которых либо параллельны (прямая пропорция), либо перпендикулярны (обратная пропорция).

• Наиболее общим признаком наличия пропорциональной зависимости служит геометрическое подобие отрезков и фигур. Там, где есть подобие, есть и пропорции; где подобия нет, там нет и пропорциональности элементов формы.

• На схеме а), показана геометрическая зависимость двух линейных элементов, расчлененных в отношении: А: а = В: в = С: с = Н: h. Взаимосвязь между элементами достигается благодаря подразделению их на геометрически подобные части (теорема о подобии треугольников).

• На схеме б), при равенстве отношений А: В = а: в, приходится иметь дело уже не столько со сходством или подобием отрезков, сколько с геометрическим подобием фигур. Параллельное или перпендикулярное расположение диагоналей сходных и соответственно расположенных фигур служит подтверждением геометрического подобия последних.

Пропорция как закономерность

Однако, если в математике под отношением понимают только частное от деления одной величины на другую, то понятие отношения в архитектуре включает в себя все виды взаимосвязи величин, характеризующих объективные свойства формы.

Поэтому под пропорцией в архитектуре понимают любую закономерность в соотношениях величин, которая связывает отдельные части и параметры формы в единое целое.

Таким образом, пропорция в архитектуре есть понятие, отражающее однородность (закономерность) изменений количественной меры при переходах от одной части формы к другой и к форме в целом.

Виды пропорциональных отношений.
Арифметическая, геометрическая, гармоническая прогрессии Арифметическая прогрессия выражается рядом чисел, в котором каждое последующее число больше предыдущего на одну и ту же величину (0, 1, 2, 3, 4, 5 и т.д.)

По мере возрастания ряда отношения (математические) между соседними членами развиваются от контрастных к нюансным, приближаясь в пределе к равенству (сравните, например, 1/2 и 999/1000).

Гармоническая прогрессия — это ряд чисел обратных ряду чисел арифметической прогрессии, например: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7. Она лежит в основе музыкального строя, так как всю музыкальную гамму можно получить, прижимая струну в точках, отстоящих от конца на рациональное кратное первоначальной ее длине.

Геометрическая      прогрессия представляет собой ряд чисел, в котором каждое последующее число больше (или меньше) предыдущего в одно и то же число раз. Например: 1, 2, 4, 8, 16, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Отношение между соседними членами геометрического ряда на всем его протяжении остается постоянным, равным знаменателю прогрессии.

Золотое сечение

• Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

• Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

• Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.

• В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников. Его считают творцом начертательной геометрии.

• В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли “Божественная пропорция” с иллюстрациями, предположительно, Леонардо да Винчи.

• Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции Лука Пачоли не преминул назвать и ее “божественную суть” как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

• В математике пропорцией (лат. proportio)называют равенство двух отношений; a: b = c: d.

• Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части - АВ: АС = АВ: ВС;

• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

• таким образом, когда АВ: АС = АС: ВС.

• Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a: b = b: c или с: b = b: а.

• Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

• Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Звезда

• Пятиконечной звезде — около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья а также тайным опознавательном знаком. В средние века пентаграмма "предохраняла" от "нечистой силы", что, впрочем, не мешало называть ее "лапой ведьмы".

• Разделим теперь окружность на 10 равных частей. Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя точки деления через две,— звездчатый десятиугольник. Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т. д.

Спираль Архимеда

• Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно.
В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике и очень распространены в природе.

• Красота золотого сечения может быть отмечена фактом, что золотой прямоугольник сечения делится на квадрат(площадь) и другой, меньший золотой прямоугольник сечения. Этот процесс может быть продолжен до бесконечности, добавляя квадрат (площадь) по более длинной стороне золотого прямоугольника сечения, т.о. устанавливая пропорциональные отношения по полному вообразимому человеком масштабу.

2.3. Согласование частей и целого
Пропорционирование как метод количественного согласования частей и целого.

• Пропорционирование - это использование пропорций для организации формы в целостную структуру, т.е. применение определенного способа количественного согласования частей и целого.

• Пропорциональная зависимость может быть выражена величинами, расположенными:

• а) по одной координате,

• б),в) по двум координатам,

• г) по трем координатам.

• Деление отрезка АВ в крайнем и среднем отношениях

• Система пропорционирования на основе вписанных и описанных квадратов

• "Священный" египетский треугольник и пропорционирование на его основе

• Система пропорционирования на основе вписанных и описанных равносторонних треугольников

Контрольные вопросы

• Что такое пропорция? В каких значениях может употребляться это понятие?

• Что такое непрерывная пропорция?

• Что такое "средние числа"? В чем причина преимущественного использования средних чисел для гармонизации форм?

• Что такое "золотое сечение"? В чем особенности этого отношения?

• В чем состоит разница между пропорцией и пропорционированием?

• Какие системы пропорционирования вы знаете?

• В чем состоит отличие геометрических и числовых систем пропорционирования?

• Что такое модуль?

• Назовите основные направления использования пропорционирования в архитектуре.

• Достаточно ли совершенных пропорций для получения совершенного архитектурного произведения?

 

 

МАСШТАБ

• Масштаб:

• 1. Отношение уменьшенных расстояний и размеров на карте или чертеже к действительным.

• Отношение целого и части.

• 2. Охват, значение, размах (по Толковому словарю русского языка под ред. Д.Н.Ушакова. М., ГИИ и Н2С, 1938).

Понятие масштабности в архитектуре
Человек как мера организуемого пространства

• В соответствии с понятием масштаба можно считать, что некоторая композиция (отдельный объем или комплекс объемов) имеет крупный масштаб в том случае, если она состоит из достаточно крупных в сравнении с ее общей величиной частей (или элементов). В то же время, композиция (любая архитектурная форма, расчлененная на более мелкие элементы, обладает мелким масштабом или менее крупным масштабом.

• Масштаб является количественной характеристикой в архитектуре.

• Масштабность - важная качественная характеристика архитектурной среды, одна из центральных категорий архитектурной композиции.

• Масштабность – это отношение архитектурной формы к человеку.

• Мы называем архитектурное пространство масштабным в том случае, если человек, находящийся в нем (идущий по улице, пересекающий площадь, двигающийся или просто находящийся в пространстве интерьера), ощущает это пространство, воспринимает его и соответственно оценивает как соразмерное, удобное, соответствующее назначению, постижимое и осваиваемое, т.е. "свое".

• Представления о человеке как мере всех вещей были неотъемлемой частью жизни людей, начиная с древнейших времен. Вспомним "каноны" древних египтян, отражавшие определенное осмысление размерных соотношений частей человеческой фигуры и названия единицы измерения "локоть". Один из древнеегипетских канонов включал разделение человеческой фигуры по высоте на 21,5 части, каждая из которых была равна длине среднего пальца руки.

• Зависимость масштабности архитектурной формы от характера ее члененностиСтепень и характер члененности объема или пространства непосредственно влияют на масштабность объекта.

• Именно поэтому наиболее характерным примером предельно крупномасштабных форм являются пирамиды в Египте, вернее те из них, которые не имеют членений (комплекс в Гизе), а примером пространств, обладающих крупным масштабом — площади.

• Интересно отметить, что храмы Древней Греции отмечались двумя основными масштабными характеристиками: фасады объема, обращенные к окружающему пространству и сопоставляемые с ним, были более крупного масштаба, чем пространство интерьера, не имевшее сопоставления с окружающей средой, расчлененное на ряд помещений и обрамленное нередко двухъярусным рядом колонн.

• Храм Зевса в Олимпии построен между началом 460 и 450 г. до н.э. Архитектор Либон из Элиды

• Древние греки, а вслед за ними и римляне, создавая пространства для обитания и деятельности людей, приспособленные к человеку и сомасштабные ему, никогда не забывали о том, что дом бога — храм, должен обладать другими качествами и другим масштабом, чем жилище человека, чтобы человек, входящий в храм, чувствовал, что он идет не в свой дом, а в дом бога.

• В этом случае архитектурный масштаб как средство организации пространства выходит за рамки простого соответствия архитектурной формы человеку.