Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2020-12-06 | 178 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке [о, Ь], есть функция, непрерывная на этом отрезке.
Доказательство.
U1(x)+U2 (x)+U3 (x) +… (1)
S(x)=Sn(x)+Rn(x)
Sn= U1(x)+…+Un (x)
Rn(x)= Un+1(x)+Un+2 (x)+…
Возьмем на отрезке [а, b] произвольное значение аргумента х и придадим ему такое приращение D х, чтобы точка х +Dx лежала тоже на отрезке [a, b].
Введем обозначения:
DS = S (x + D х)— S (х), D Sn = Sn (х +D х) — Sn (х),
тогда
D S = D Sn + Rn (x + D х) - Rn (х),
откуда
|DS| ≤ | D Sn | + | R п (х+ D х) | + | Rn (x) |. (2)
Это неравенство справедливо для любого номера п.
Чтобы доказать непрерывность S (х), нужно показать, что при любом наперед заданном и как угодно малом e > 0 найдется число s > 0 такое, что при всех | Dx | < s будет | D S | < e.
Так как данный ряд (1) мажорируемый, то при любом наперед заданном e > 0 найдется такой номер N, что при всех п ≥ N, будет выполняться неравенство
| RN (x) | < e/3 (3)
при любом х из отрезка [a, b]. Значение х+ D х лежит на отрезке [а, b] и потому выполняется неравенство
| RN (x + D x) | < e/3. (3')
Далее, при выбранном N частичная сумма SN (х) есть функция непрерывная (сумма конечного числа непрерывных функций) и, следовательно, можно подобрать такое положительное число s, что для всякого D х, удовлетворяющего условию | Dx | < s, выполняется неравенство,
| D S (x) | < e/3. (4)
На основании неравенств (2), (3), (3') и (4) получаем
| D S(x) | < e/3 + e/3 + e/3 = e
т. е.
| D S(x) | < e при | Dx | < s,
а это и означает, что S (х) является непрерывной функцией в точке х (и, следовательно, в любой точке отрезка [a, b]).
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке [а, b] разрывна, то ряд не мажорируем на этом отрезке.
T) (о почленном интегрировании)
Если ряд сходится равномерно в <a,b>, то , где [a1, x] Ì <a,b>
|
Доказательство.
S(x)=Sn(x)+Rn(x)
½ =
<e (в силу равномерной сходимости)
e (b-a) ≥ Þ
e1
В итоге Þ
Т) (о почленном дифференцировании)
Пусть: 1) дан (сходится " x Î <a,b>)
2) Un(x) – непрерывно дифференцируемы в <a,b>, т.е. $ U’n(x) " x <a,b>
3) – сходится равномерно в <a,b>
– непрерывная функция
Тогда
Доказательство: на теоремы о почленном интегрировании можно почленно интегрировать на [a1, x] Ì <a,b>
S(x)-S(a1)=
(S(x)-S(a1))’x=
S’(x)=F(x)
S’(x)=F(x)=
23)Степенные ряды, обобщенные степенные ряды: осн. понятия и определения. Обл. сходимости степенного ряда. Доказать теор. Абеля для степ. ряда. Свойства рядов: а)непрерывность суммы степ. ряда; б)о почленном интегрировании; в)о почленном интегрировании.
О Степенным рядом наз-ся функциональный ряд вида
Областью сходимости степ. Ряда явл. некоторый интервал, который, в частности, может выражаться в точку
Т Абеля Пусть дан (1)
А)Если (1) сх-ся при , то он сх-ся абсолютно
Б)Если (1) расх-ся при , то он расх-ся
Д-во: А) Дано: - сх-ся, т.е. – сх-ся, т.е. ограничена, т.е.
Тогда: - сх-ся – сх-ся и притом абсолютно
Б) Дано – расх-ся. Пусть . Предположим, что – сх-ся (, тогда по части (А) должен сходиться,что противоречит условию. Теор. док.
Свойства рядов:
Т Сумма степ. Ряда – непрер-я ф-я в ОС, т.е. если , то S(x)-непрер. в
Т Степ. ряд в ОС моно почленно интегрировать и при этом
Т Степ. ряд можно дифференцировать в ОС и при этом: 1) ; 2) OC:
Вопрос
PU y(x)= y(0)n/n!*xn xϵ<-R,R> (1)
PT y(x)= y(0)n/n!*(x-x0) xϵ<-R,R> (2)
1. Вычисление значений функций y(x) x=x1. Раскладываем функцию в ряд Тейлора и Маклорена и вычисляем значение функции
2. Вычисление интегралов. fn(x0)/n!(x-x0)n= fn(x0)/n! (x-x0)ndx= fn(x0)/n! (x-x0)ndx=
f(x0)(x-x0)n+1/n!(n+1) [a,b] <-R,R>
3. ДУ. a) Линейные ДУ. y’’+p(x)y’+g(x)y=0 Пусть p(x)=
q(x)= ; y(x)= (3) Подставим (3) в и находим коэффициенты Сn и находим из обращения в нуль коэффициентов при любой степени х в полученном выражении
|
б) Если p(x)= ; q(x)= Пусть a0,b0,b1 не равны, о оновр тогда решение уравнения (1) можно искать в виде обобщённого степенного ряда y(x)=xs ; ρ(ρ-1)+a0ρ+b0=0 (6)
a0= ,b0=
a) Если ρ1-ρ2- не целое. y1(x)=xρ1 ; y2(x)=xρ2
y00=c1y1(x)+c2xy2(x) (!!!)
б) Если ρ1-ρ2- целое
2.1 Ряд Фурье. Пространство функции L 2 [- ]. Определение, св-ва.
Рассмотрим множество f(x): = непрерывные на [- ]
Кусочные непрерывные [- ], имеющие кон число точек разрыва 1го рода
Свойства функции:
1) Если f(x) L2, то С*f(x) L2
Доказательство: =С2* <
2) Если f1(x);f2(x) L2 то f1(x)+f2(x) L2
Д-во: ( f1(x)+f2(x))2 0
f12 f1f2+f22 => f12+f22> f1f2
= < <2
Благодаря этим свойствам образуется линейное векторное пространство, которым можно показать, что L2 не имеет конечного базиса. Базис содержит бесконечное множество векторов
Можно ввести скалярное произведение:
{f(x),g(x)} =
1) (g(x), f(x)) =
(f(x),g(x)) =(g(x),f(x))
2) {f1(x)+f2(x),g(x)} = =
( + )* = * + *
3) { f(x), f(x)} = 0
4) (|f(x)|) =
5) {|f(x)-g(x)|}=
2(Ряды Фурье). Показать ортогональность функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx,… на [- π, π ].
{1, sinx, cosx, sin 2x, cos 2x,..., sin nx, cos nx,...}
1. Поэтому
2.
3.
4.
Если n=m, то
5.
при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3,... Если n = m, то
Значит,
6.
при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3,... Если n = m, то
То есть
Таким образом, доказано, что система на отрезке [ - π, + π] ортогональная.
Вопрос 3 фурье
5)Ряд Фурье для периодических функций с периодом T=2l
Пусть f(x) есть период. ф-я с T=2l,отличным от 2π. Разложим ее в ряд Фурье. Замена переменной: /
Тогда ф-я будет переод-й ф-й от t c T=2π. Ее можно разложить на
,где ,
Возвратимся к старой переменной:
Имеем:
Ряд Фурье будет иметь вид:
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!