Паспорт научно-исследовательской работы

Пружинный маятник

Пружинный маятник – это модель колебательной системы, в которой все упругие свойства сосредоточены в пружине, жёсткостью k, груз массы M рассматривается как материальная точка, возникающая при колебаниях силы упругости подчиняется закону Гука, потери на трение отсутствуют. При этом по пружина может рассматриваться

1) невесомой;

2) весомой, т.е. обладающей массой m.

Первый вариант модели, хорошо известный из школьного курса, предполагает, что период колебаний определяется формулой:

Рис. 4 К выводу периода колебаний пружинного маятника с весомой пружиной

 (1)                         

Второй вариант модели см, например, [4], учитывающий массу пружины, полагая массу равномерно распределённой по длине пружины (рис. 4), даёт уточнённый период колебаний:

(2)                             

При этом в [4] указывается, что выводы, сделанные для горизонтального пружинного маятника справедливы и для вертикального пружинного маятника, авторы комментария к статье [4] предлагали исследовать экспериментально применимость формул (1) и (2) к колебаниям реального пружинного маятника.

Постановка первоначальной цели и задач исследования

Согласно приведённым выше описаниям вариантов модели пружинного маятника была первоначально поставлена цель исследования: экспериментально определить применимость формулы (1) и (2) к описанию зависимости периодов колебаний вертикального пружинного маятника с пружинами данной жёсткости от массы груза. При этом были поставлены к решению следующие задачи:

● Выбрать пружины разной жёсткости;

● Определить экспериментально жёсткость пружин и их массы

● Измерить периоды колебаний для пружин разной жёсткости при привешивании грузов разной массы

При решении второй задачи нами были учтены особенности определения жёсткости цилиндрических пружин закрытой навивки [5]. При малых деформациях растяжения и сжатия возникающая сила упругости прямо пропорциональна удлинению тела: | F _упр|= k |Δx|, где k – коэффициент жесткости, зависящий от материала тела и его геометрии и не зависящий от величины деформации. При нагружении пружина, можно сказать, в целом претерпевает деформацию растяжения-сжатия, однако при этом её отдельные витки испытывают сложную деформацию кручения. В ненагруженном состоянии витки цилиндрической пружины могут быть поджаты друг к другу с некоторой силой. Когда мы подвешиваем пружину вертикально, то частично это поджатие снимается за счёт действия силы тяжести на каждый виток. В результате получается линейное уравнение: | F _упр| = F * + k |∆ x |. Определить k можно графически.

 

Таблица 1

Пружина I

M, кг Δ x, м                

Растяжение под “собственным весом”

Жёсткость пружины: tgα

 

Таблица 2.

Пружина II

M, кг Δ x, м 0,050355 0,273 0,100315 0,403 0,149735 0,615 0,198965 0,830

Растяжение под “собственным весом” 20 мм

Жёсткость пружины: tgα k _II = 2,7 Н/м

 

 

Таблица 3.

Пружина III

M, кг Δ x, м 0,100 0,065 0,200 0,202 0,300 0,35 0,400 0,474 0,500 0,641 0,600 0,803

Растяжение под “собственным весом” 4 мм

Жёсткость пружины: tgα k _III = 7,5 Н/м

 

Таблица 4.

Таблица 5.

Таблица 6.

Крутильные колебания

Рис. 7 Крутильный маятник

Уравнение крутильных колебаний аналогично уравнению возвратно-поступательных колебаний, однако координатой является угловое смещение β, аналогом силы – момент силы относительно оси вращения Μ, аналогом массы момент инерции I, а χ – крутильная жёсткость. Тогда согласно [6] Μ , а для малых углов поворота закон Гука будет иметь вид Μ = – χβ. В итоге имеем уравнение крутильных колебаний:  +  β = 0, период которых определяется формулой

(3)…………………………………

Возникновение крутильных колебаний пружинного маятника, что модели колебаний, приводящие к формулам периода 1-2, полагают груз материальной точкой, однако в случае исследуемых колебательных систем, грузы не могут рассматриваться как материальные точки. Для проверки этого предположения нами были поставлены опыты с грузами одинаковой массы, но разного диаметра, поскольку момент инерции грузов в виде дисков определяется формулой.

(4)……………………………..

Результаты измерений приведены в таблице 7.

Таблица 7.

Пружина ….

M, кг	d, м	T, с

 

Кроме этого в ходе опытов было отмечено, что при массе груза близкой к критической для возникновения крутильных колебаний в опытах с грузами большего диаметра срыв во вращательное колебание происходил чаще, более того, пружина проворачивалась на больший угол и эти колебания медленнее затухали, чем с грузами меньшего диаметра. Не оправдалось предположение, что крутильные колебания происходят с той же частотой, что и вертикальные. Нами был проведён литературный поиск более полной теории колебаний пружинного маятника.

 

Крутильные и возвратно-поступательные колебания вертикального
пружинного маятника, по А. Зоммерфельду

 

В [7] А. Зоммерфельд указывает, что колебания спиральной пружины модно рассматривать, как колебания двух “симпатических” маятника, совмещённых в одном. Более подробная теория изложена Зоммерфельдом в работе [8], в которой он определял коэффициент Пуассона в условиях резонанса двух колебательных мод цилиндрической пружины.

Рис. 8. К модели колебания пружины, по Зоммерфельду

По Зоммерфельду, если на пружину действует осевая сила Q (см. рис. 8) то, пружина будет не только растягиваться в осевом направлении, но и в то же время слегка сжиматься в периферийном направлении. Если пружина напряжена тангенциальной силой P (см. рис.8), то она не будет следовать исключительно в периферийном направлении, но она будет в то же время сокращаться или удлиняться незначительно в осевом направлении, в зависимости от направления P и порядка навивки витков пружины (по часовой или против часовой стрелки). То насколько возбуждается дополнительный тип колебания к основному зависит от шага витков спирали, то есть от угла α, которым центральная винтовая линия наклонена к горизонтали. Момент силы Q не перпендикулярен к отдельным поперечным сечениям пружины с учётом угла наклона витков, а образует угол α с его нормалью. Следовательно, дополнительно к явлению кручения, Qr cosα, также возникает изгибающий момент величины Qr sinα. Аналогично, плоскость пары сил Pr не является точно перпендикулярной к отдельному сечению пружины и, следовательно, обеспечивает помимо изгибающих моментов Pr cosα также крутильный момент величины - Pr sinα. Зоммерфельдом получены как выражения для сил P и Q, так и уравнения связанных колебаний.

 

Список литературы

1. Егоров В.В., П. Н. Григорьев Колебания шпренгельных систем с составной балкой жёсткости // Известия ПГУПС №4, 2008, с. 17 – 24.

2. Келдыш М.В., Гроссман Е.П., Марин Н.И. Вибрации на самолёте. / М.: Бюро новой техники НКАП при ЦАГИ, - 1942, - 56 с.

3. Рогонский В.А., Воронин В.М., Строительные катастрофы./ Спб:Стройиздат.-2001, 160 с.

4 Дроздов В.Б. Не так уж легка пружина.// Физика ПС.-2011.-№5(941).-с.37-38

5. Бражников М.А., Определение жесткости пружины. // Физика ПС.- 2003.-№16.-с.2-3

6. Хайкин С.Э., Физические основы механики: общий курс физики. /М.:Наука.-1971.-с.587-589

7. Зоммерфельд А. Механика / М.: Иностранная литература, -1947, - 392 с.

8. Sommerfeld A. Lissajous-Figuren und Resonanzwirkungen bei schwingenden Schraubenfedern; ihre Verwertung zur Hestimmung des Poissonschen Verhältnisses (Фигуры Лиссажу и резонансные эффекты с осциллирующими цилиндрическими пружинами; их использование для определения коэффициента Пуассона) in der "Festschrift Adolph Wülner gewidmet zum siebzigsten geburstage" / Leipzig.: Druck und Verlag von B. G. Teubner, - 1905, - s. 162-192

[1] Лонжерон – продольный элемент каркаса крыла

Паспорт научно-исследовательской работы

 

Название работы:
«Сложные колебания простого пружинного маятника»

Авторы исследования: Максимова Е.Ю, Великанов В.А
Состав исследовательской группы: Максимова Е.Ю, Великанов В.А
Руководитель: к.п.н. Бражников М.А.
Цель исследования: определить условия возбуждения колебательных мод вертикального пружинного маятника.

Колебания в природе и технике. Модели колебательных систем
Роль непредвиденных колебаний

Рис. 1. Пешеходный мостик в ГУМ’е

Рис. 2 Модель крыла при изгибе, по М.В. Келдышу (упругое действие лонжеронов[1] моделируется пружинами)

 Колебательные движения (механические колебания) довольно широко распространены в природе и технике: маятниковые часы и детские качели, деревья и мачты городского освещения, люстры, Останкинская башня и подвесной Крымский мост, на рис. 1 показан пешеходный мостик в ГУМ’е. Он представляет собой шпренгельную конструкцию с составной балкой жёсткости, колебания которой не только ощущаются при ходьбе по нему (динамической нагрузке), но и являются предметом сложных современных инженерных исследований [1]. В каждом из приведённых примеров колебания, если они возникают, происходят в некоторой колебательной системе, простейшими моделями которых являются маятники: пружинный, математический, крутильный. Например, при рассмотрении возникновения специфических колебаний самолёта (флаттер) М.В. Келдышем [2] использовалась модель пружинного маятника для качественного описания процессов возникновения и развития колебаний крыла, см. рис. 2, 3.

В современном технике уже на стадии проектирования производят расчёты мостов, высотных домов башен на возможность возникновения в них механических колебаний. Ранее инженеры не всегда это предвидели, так создатели первых паровозов не учитывали возникающих колебаний локомо тива вследствие попеременной работы паровых цилиндров, не предвидели строители Египетского моста через Фонтанку возможности возникновения механического резонанса.

Рис. 3 Последовательные положения крыла и элерона при колебаниях в рамках модели пружинного маятника, по М.В. Келдышу

Иногда, правда, непредвидимые колебания производят красивый эффект, например, поющие бокалы.

Однако опасность вызывает не только сама возможность колебаний, например, мосты рассчитывают на воздействие вертикальной периодической нагрузки, но и проявление моды (режима) колебаний, возникновение которого полагали либо маловероятным, либо даже непредвиденным, например, плохо просчитываемые ветровые нагрузки на мосты: танцующий мост в Волгограде, мост Такома-Нэрроуз [3].

Чтобы лучше понимать возможные источники «непредвиденных» колебательных мод, представляется интересным исследовать поведение стандартных колебательных систем, в которых возбуждаются механические колебания. В данной работе будет исследована колебательная система – пружинный маятник, и возникающие при этом колебательные моды.

Пружинный маятник

Пружинный маятник – это модель колебательной системы, в которой все упругие свойства сосредоточены в пружине, жёсткостью k, груз массы M рассматривается как материальная точка, возникающая при колебаниях силы упругости подчиняется закону Гука, потери на трение отсутствуют. При этом по пружина может рассматриваться

1) невесомой;

2) весомой, т.е. обладающей массой m.

Первый вариант модели, хорошо известный из школьного курса, предполагает, что период колебаний определяется формулой:

Рис. 4 К выводу периода колебаний пружинного маятника с весомой пружиной

 (1)                         

Второй вариант модели см, например, [4], учитывающий массу пружины, полагая массу равномерно распределённой по длине пружины (рис. 4), даёт уточнённый период колебаний:

(2)                             

При этом в [4] указывается, что выводы, сделанные для горизонтального пружинного маятника справедливы и для вертикального пружинного маятника, авторы комментария к статье [4] предлагали исследовать экспериментально применимость формул (1) и (2) к колебаниям реального пружинного маятника.