К. Ерунда. Погодите, вы еще доберетесь до бесконеч- ных множеств.

А. Что это было? Ты слышал? Похоже на гром. Б. Боюсь, скоро начнется сезон дождей.

 

39

Глава 7

ОТКРЫТИЕ

А. Ну хорошо, вот мы решили все задачи этого Камня, только меня никак не покидает ощущение, что мы много чего пропустили.

Б. Что ты имеешь в виду?

А. Разные вещи. Скажем, мы знаем, что произошло в День Третий: были созданы четыре числа. Но мы же не знаем, как называл их Конвей.

2

Б. Ну, одно число было больше 1, так что он, скорее всего, назвал его 2. А еще одно число было между 0 и 1, так что он мог называть его 1  .

А. Дело не в этом. Меня беспокоит вот что: разве они вправду числа? Ведь чтобы они были числами, мы должны уметь их складывать, вычитать и все такое.

Б (хмурясь). Понимаю. Ты думаешь, на отвалившемся кус- ке камня Конвей дал еще несколько правил, которые и делали числа числами. У нас есть только куча объектов, аккуратно расставленных в ряд, но мы ничего не можем с ними делать.

А. Ну я не настолько ясновидящая, чтобы угадать, что он придумал. Если он вообще что-то придумывал.

Б. Мы застряли — если только не сможем отыскать недоста- ющую часть камня. А я не помню даже, где мы нашли первую.

А. Это-то я помню, я даже записала точное местоположение на случай, если нам вздумается вернуться.

Б. Что бы я без тебя делал? Пошли скорее.

А. Стой, разве мы не должны вначале пообедать?

Б. Правильно, я настолько погряз во всем этом, что позабыл о пище. Ладно, пойдем чего-нибудь куснем, а потом зай- мемся раскопками.

..................................................

А (копая). Билл, боюсь, у нас ничего не получится. Почва под песком такая твердая, здесь нужны специальные инс- трументы.

Б. Да, скрести ее ножом — не лучший метод. О-о, дождь пошел. Вернемся в лагерь?

А. Смотри, там в скале пещера. Давай переждем грозу там.

Льет всерьез!

..................................................

42

Б. Как здесь темно. Ох! Я сбил себе палец обо что-то. Чтоб ему...

А. Билл! Ты нашел! Ты споткнулся об обломок Камня Конвея!

Б. Ого, похоже, ты права. Помоги мне вытащить его под дождь, вода смоет пыль и мы сможем...

Ух ты, у меня получилось разобрать слова «Конвей» и «число», это должно быть то, что мы ищем.

А. У нас теперь есть чем заняться! Мы спасены!

Б. То, что нам нужно, действительно здесь. Но я хочу вер- нуться обратно в пещеру, эта гроза не может продолжаться долго.

А (следуя за ним). Да уж, мы вымокли до нитки.

 

..................................................

 

Б. Интересно, почему математика, такая нудная в школе, кажется такой интересной здесь? Ты помнишь Ландау, нашего учителя? Я всерьез ненавидел его уроки: теорема, доказательство, лемма, замечание, теорема, доказатель- ство,... полный отстой.

А. Да, я помню: было очень трудно бороться со сном. Инте- ресно, не произойдет ли с нашими прекрасными открыти- ями то же самое?

Б. Точно. У меня возникло безумное желание выступить перед товарищами и рассказать о наших результатах: теорема, доказательство, лемма, замечание. Я бы сделал это так гладенько, никто бы и не догадался, как мы дошли до этого, все бы так поразились.

А. Или заскучали.

Б. Да, в этом-то все и дело. Я думаю, что радость и красота приходят, когда ты сам делаешь открытия, а не когда слушаешь.

 

43

А. Но это же действительно прекрасно! Мне нравилось слу- шать о твоих открытиях почти так же сильно, как делать их самой. В чем же разница?

Б. Да, тут ты права. Я действительно был готов понять то, что сделала ты, потому что сам пытался справиться с той же задачей.

А. Раньше было скучно, потому что мы были непричастны; нам просто велели усвоить то, что сделал кто-то другой, и мы ничего интересного про это не знали.

Б. С этого дня, читая книгу по математике, я буду пытаться сам вывести все результаты, не подсматривая в решения. Если даже у меня не получится, после я смогу понять всю красоту доказательства.

А. А я думаю, в первую очередь надо еще пытаться по- нять, откуда взялась теорема; или по крайней мере, как и почему кому-то пришло в голову ее доказывать. Стоит представить себя на месте первооткрывателя. Творческая часть гораздо интереснее дедуктивной. Вместо того, чтобы концентрироваться на поиске правильных ответов на во- просы, гораздо интереснее узнать, откуда берутся хорошие вопросы.

Б. Что-то есть в твоих словах. Хотел бы я, чтобы наши учи- теля давали нам задачи вроде «узнай что-то интересное про x», а не просто «докажи x».

А. Точно. Но учителя такие консервативные, они побоятся отпугнуть зубрил, которые послушно и механично вы- полняют всю домашнюю работу. Кроме того, им не по- нравится лишняя работа — проверять ответы на открытые вопросы. Традиционный путь — отложить все творческие вопросы до выпуска из школы. Семнадцать лет или боль- ше учеников натаскивают на экзамены, а потом, после всех экзаменов заявляют — а теперь пойдите и сделайте что-нибудь оригинальное.

Б. Правильно. Сомневаюсь, чтобы по-настоящему оригиналь- ные ученики могли бы выдержать такое учение долгое время.

44

А. Ну не знаю. Может быть, они достаточно оригинальны, чтобы найти способ полюбить эту систему. Погружение в предмет — так мы это называли. Так традиционные кур- сы можно сделать не такими невыносимыми, они могут даже понравится.

Б. Ты, как всегда, оптимистка. Боюсь, что ты рисуешь кар- тину слишком розовыми красками. Смотри-ка, дождь за- кончился. Давай затащим этот камень в лагерь и прочтем, что здесь сказано.

 

 

 

45

Глава 8

СЛОЖЕНИЕ

А. Эти два куска подходят друг другу, похоже, что мы полу- чили послание почти полностью. Что здесь говорится?

Б. Эта часть сложнее — есть несколько туманных слов. Ду- маю, что-то вроде этого:

День. И сказал Конвей: «Да складываются числа друг с другом так: левое множество суммы двух чи- сел будет суммой всех левых частей каждого числа с другим; и точно так же правое множество да будет из правых частей каждого соответственно его виду.»

     Конвей доказал,что каждое число, сложенное с нулем , не изменяется. И увидел он, что сложение хорошо. И был вечер, и было утро — День Третий.

И сказал Конвей: «Да имеют множества отрицательного числа своими членами числа, противоположные членам множеств положительного числа; да будет вычитание сложением с отрицательным числом.» И было так. Кон- вей доказал, что вычитание противоположно сложению и это было хорошо. И был вечер, и было утро — День Четвертый.

И сказал Конвей числам: «Плодитесь и умножайтесь. Да будет часть одного числа умножена на другое и до- бавлена к произведению первого числа на часть другого и да вычтутся произведения частей. Да будет сделано это всеми возможными способами, давая число в ле- вом множестве произведения, когда части одного ви- да, и в правом — когда разного.» Конвей доказал, что каждое число, умноженное на единицу, не изменяется. И был вечер, и было утро — День Пятый.

Се, когда числа были созданы в череде бесконечно многих дней, возникла Вселенная. И был вечер, и было утро — День ℵ.