Аполлоний и конические сечения

Аполлоний Пергский (ок. 262 – ок. 190 до н.э.) систематизировал изучение кривых, называемых коническими сечениями, которым он дал их сегодняшнее название. Конические сечения определяются пересечением плоскостью конуса под разными углами. Можно доказать, что, кроме случаев вырожденных сечений, все виды конических сечений можно свести к следующим случаям. Если пересечь конус параллельно образующей, результатом сечения будет парабола; если угол между плоскостью и осью конуса больше, чем угол при образующей, получается эллипс; когда секущая плоскость перпендикулярна оси – окружность; наконец, если плоскость пересекает обе полости конуса, мы видим гиперболу. Свойства, сформулированные математиком из Перге, позволили каждой из них иметь определяющую характеристику, которая отличает ее от всех остальных конических сечений и выражена в виде пропорции. Именно на основе этих характеристик Декарт и Ферма строили свое изучение соответствующих уравнений.  

Окружность

Эллипс

Парабола

Гипербола

В сравнении с трудоемким начертательным методом греческих геометров аналитическая геометрия была чрезвычайно мощным методом решения задач. Это как раз доказал Ферма, взявшись за некоторые теоремы Паппа, которые до этого никто не мог доказать, а также занявшись задачей Галилея и поправив самого тосканского ученого. В то время как Галилей думал, что пушечное ядро, падающее к центру Земли, движется по круговой траектории, Ферма выяснил, что данная траектория является спиралью. Галилей в переписке с Ферма согласился с его поправкой.

Между тем работа Декарта в этой области хотя и привела к крайне богатым результатам, была им заброшена. Он хотел показать новый образ мысли, а не находить новые математические результаты. Парадоксально, что в 1637 году, когда математическая карьера Ферма едва только начиналась, Декарт по собственной воле заканчивал свою. Опубликованная им "Геометрия" была частью книги, содержащей три научных трактата, которым предшествовало знаменитое "Рассуждение о методе". Она в глазах самого Декарта была только иллюстрацией того метода, что он открыл, неоспоримым доказательством силы его философии. Эта работа, опубликованная в 1637 году, стала лебединой песней математики Декарта, а именно в то время Ферма начал работать с наибольшим пылом. Эти два гения имели между собой мало общего. Декарт внес огромный вклад в науку, однако просто как факт следует отметить, что его математический гений блистал лишь в течение нескольких чудесных лет. Декарт был прежде всего философом, а Ферма – математиком в чистом виде. Они использовали разные подходы к решению задач. Для Декарта было достаточно разработать метод, а Ферма было необходимо применять его к решению математических задач.

Иллюстрация метода координат Фарма и того, как определяется геометрическое место точек.

Как уже упоминалось, интерес Ферма к аналитической геометрии возник из его попыток восстановить сочинение Аполлония. В процессе этой работы он пришел к мыслям, которые отразил в своем Isagoge, где можно прочитать следующее:

"Каждый раз, когда две величины [две неизвестные) находятся в равенстве..., существует такое геометрическое место..., что конечная точка [этих величин] описывает прямую или кривую линию".

Согласно историку Карлу Бойеру, данное утверждение составляет одну из самых больших революций в истории математики. Его нельзя доказать напрямую; это постулат. Но Ферма посвящает остаток своего маленького трактата иллюстрации его пользы, анализируя частный случай кривых: конические сечения, прямую линию и окружность (которую в древности не считали коническим сечением).

Ферма не создавал прямоугольную систему координат, которая так хорошо знакома нам сегодня. Его аналитическая геометрия одноосная: определяется только ось абсцисс. Однако очевидно, что он скрыто использует ось ординат при определении расстояний.

На рисунке показаны элементы аналитической геометрии Ферма. У нас есть уравнение с двумя неизвестными x и y и константой c, ƒ(x, y) = c. Расстояние х₀ – это явно значение абсциссы, в то время как ордината задана значением длины отрезка у₀. Заметьте, что угол α необязательно прямой, как это было бы в современной системе декартовых координат. На самом деле угол произволен (более поздние авторы поняли, что намного проще сделать угол α прямым). Точка, которая движется по геометрическому месту точек, – А. Мы можем видеть, как она движется к положению А' которое соответствует абсциссе х₁ и ординате у₁. Следует заметить, что ƒ(x₀, у₀) ‑ ƒ(x₁, у₁) = c, то есть уравнение выполняется для всех точек А геометрического места точек, и наоборот, точки А полностью определяются уравнением. Это ключевое соответствие между геометрией и алгеброй, предоставляемое аналитической геометрией (запись современная – Ферма не использовал запись функции ƒ(x, у)).

В этом изложении есть скрытое понятие, которое было основополагающим для развития анализа: непрерывное изменение. Используя единственную ось, Ферма сосредоточился на том, как движется точка по кривой, определяющей геометрическое место. Это концептуально отличается от процесса графического представления точек на плоскости с двумя координатными осями и помещения между ними кривой, как большинство из нас научилось делать при составлении графика. Видение Ферма динамично: оно соответствует точке, двигающейся по некоей траектории, и, следовательно, почти случайно Ферма придал физическую реальность аналитической геометрии, которая оказалась основополагающей в последующих работах Ньютона, Лейбница и семьи Бернулли. Другая отличительная характеристика системы Ферма в том, что она включает в себя только положительные величины в области и абсцисс, и ординат, поэтому его кривые всегда находятся в первой четверти плоскости и, следовательно, иногда теряется от половины до трех четвертей их протяженности. Парабола с вершиной в начале координат и фокусом на оси х, например, была бы только половиной параболы.