Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2020-10-20 | 72 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Тема. Вычисление производных. Задачи на исследование функций. Повторение
ЗАДАНИЕ. Изучить материал теоретической части, законспектировать
Вычисление производных проводится по формулам и правилам. Повторяем формулы и правила
Основные правила дифференцирования
Непосредственное вычисление производной функции с помощью предела в большинстве случаев представляет собой громоздкие вычисления. Значительно проще вычислять производные, применяя правила дифференцирования.
Обозначения: С−постоянная; х−аргумент; u, v, w−функции от х, имеющие производные.
Правило 1. Производная постоянной
Правило 2. Производная произведения постоянной на функцию
Правило 3. Производная алгебраической суммы
Правило 4. Производная произведения
Правило 5. Производная частного (дроби)
Частные случаи
Таблица основных формул дифференцирования
Формулы
Элементарные:
1. С΄ = 0, где С-любое число
2. х΄ = 1
3. ()΄ = n
4. (аx+ b)΄ = а
5. ( )΄ =
Сложные:
6. ()΄ = n·(ах+b)ʹ
7. ()΄ =
Тригонометрические
8. (sin x)΄ = cos x
9. (cos x)΄ = - sin x
10. (tg x)΄ =
11. (ctg x)΄ = -
Сложные тригонометрические
12. (sin (kx+b))΄ = k cos (kx+b)
13. (cos (kx+b))΄ = - k sin (kx+b)
14. (tg (kx+b))΄ =
15. (ctg (kx+b))΄ = -
Обратные тригонометрические
16. (arcsin x)΄ =
17. (arccos x)΄ = -
18. (arctg x)΄ =
19. (arcctg x)΄ = -
Дополнительные тригонометрические
20. (sin² x)΄ = sin 2x
21. (cos² x)΄ = - sin 2x
Показательные
22. )΄ =
23. )΄ =
24. ()ʹ = (kx+b)ʹ
25. ()ʹ = (kx+b)ʹ ln a
Логарифмические
26. ln΄x =
27. )΄ =
28. (ln(kx+b))ʹ = 29. ()ʹ =
Пример 1. Найти производную функции .
Решение. Запишем формулу в виде
=
Пример 2. Найти производную функции .
|
Решение. Применяя правило производная произведения и формулы (2) и (15) получим
.
Пример 3. Найти производную функции .
Решение. Применяя правило производная частного и формулы (1) и (5) получим
Пример 4. Найти производную
Решение.
y’= .
Пример 5. Найти производную функции y=sin(3x-5).
Решение. .
Пример 6. Найти производную функции у= .
Решение.
.
Пример 7. Найти производную функции у= .
Решение. Эта функция также является сложной степенной функцией, а именно у= , где u= . Поэтому
.
Пример 8. Найти производную функции у= .
Решение.
= .
Пример 9. Дана функция f(x)= . Найти .
Решение.
.
Вычислим значение производной при х=1
,
. [1]
Применение производной
Применение производной при исследовании функции
На монотонность
Схема исследования ф-и на монотонность:
1) Найти область определения ф-и
2) Найти производную ф-и
3) Решить уравнение f ′(x) = 0
4) Нанести найденные точки (если таковые имеются) на числовой луч (точки
закрашены)
5) Просчитать знаки промежутков (подставляя числа из промежутков в
производную)
6) если «+» - ф-я возрастает
«-» - убывает
7) Если переход знака с «+» на «-» - точка максимума
с «-» на «+» - минимума
Примеры. Исследовать функцию на монотонность:
а) f (x) = 3 – x
x
D (f) = (- ∞; 0) U (0; + ∞)
f ′(x) = (3-x)′ x – (3-x) x′ = - x – 3 + x = - 3
x² x² x²
f ′ (x) = 0 => - 3 ≠ 0
x²
- - x
- ∞ 0 + ∞
Ответ: ф-я убывает (- ∞; 0) и (0; + ∞)
б) f (x) = x - x³
D (f) = R
f ′(x) = 1 – 3 x²
|
f ′(x) = 0 => 1 – 3x² = 0
- 3x² = - 1
x² = ⅓
x = ± 1/√3
- + - x
- ∞ - 1/√3 1/√3 + ∞
Ответ: ф-я возрастает [- 1/√3; 1/√3], убывает (- ∞; - 1/√3] и [1/√3; + ∞)
На экстремумы.
Схема исследования ф-и на экстремумы:
1) Найти область определения ф-и
2) Найти производную ф-и
3) Решить уравнение f ′(x) = 0
4) Нанести найденные точки (если таковые имеются) на числовой луч (точки закрашены)
5) Просчитать знаки промежутков (подставляя числа из промежутков в производную)
6) Если переход знака с «+» на «-» - точка максимума
с «-» на «+» - минимума
Пример. 1. Найти точки экстремума функции f (x) = 3x - x³
D (f) = R
f ′(x) = 3 – 3 x²
f ′(x) = 0 => 3 – 3x² = 0
- 3x² = - 3
x² = 1
x = ± 1
- + - x
- ∞ - 1 1 + ∞
Ответ: хmax = 1; xmin = - 1.
2.Исследовать функцию на экстремумы f (x) = х² - 6х + 9
х - 1
D (f) = (- ∞; 1) U (1; + ∞)
f ′(x) = (x ² - 6 x + 9)′ (x – 1) - (x ² - 6 x + 9) (x – 1)′ =
(x – 1)²
= (2 x - 6) (x - 1) – (x ² - 6 x + 9) = 2 x ² - 2 x – 6 x + 6 - x ² + 6 x – 9 =
(x - 1)² (x - 1)²
= x² - 2x – 3
(x - 1)²
f ′ (x) = 0 => x² - 2x - 3 = 0
(x – 1)²
|
x² - 2x – 3 = 0 (x - 1)² ≠ 0
D = 16, X1 = - 1, X2 = 3 x ≠ 1
+ - - + x
- ∞ - 1 1 3 + ∞
xmax = - 1, уmax = (1+6+9)/ (-2) = - 8;
xmin = 3, уmin = (9-18+9)/2 = 0
Ответ: хmax = - 1, уmax = - 8; хmin = 3, уmin = 0
Тема. Вычисление производных. Задачи на исследование функций. Повторение
ЗАДАНИЕ. Изучить материал теоретической части, законспектировать
Вычисление производных проводится по формулам и правилам. Повторяем формулы и правила
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!