Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2020-10-20 | 198 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
§1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1. Непрерывность интеграла от параметра
Рассмотрим интеграл
F (y) =
для области вида типа B, D ={(x, y): x 1 (y) £ x £ x 2 (y), y Î [ c, d ]}
Предполагается, что f определена в некоторой прямоугольной области R, содержащей D, как показано на рисунке (D - замкнутая ), x 1 (y), x 2 (y) непрерывные функции, определенные на [ c, d ].
Теорема. Если f непрерывна на R, x 1 (y), x 2 (y) непрерывны на [ c, d ], то F (y) непрерывна на [ c, d ].
Доказательство. Для заданного , используя равномерную непрерывность функции f можно подобрать D y так, что
= £ + + £ M|x1(y+ D y)-x1(y)|+(b - a) e + M| x2(y+ D y)-x2(y)|.
Здесь используется ограниченность функции f, | f | £ M. Отметим, что при доказательстве использовалось то, что функция определена на некотором объемлющем множестве R. Так, например, для интеграла функция f должна быть определена на отрезке [ A, B ], лежащем вне области D (см. рисунок)
Определение. Пусть функция f (x, y) определена на [ a, b ] для любого y Î Y. Говорят, что f (x, y) равномерно сходится к g (x) на [ a, b ] при y ® y 0 если
" e >0 $ d >0 " x Î [a,b] " y Î U d (y0): |f(x,y) - g(x)|< e.
Это понятие является обобщением понятия равномерной сходимости функциональной последовательности f (x, y) равномерно сходится на [ a, b ] к g (x) при n ® ¥, где вместо дискретного переменного n (индекса) выступает «непрерывный» параметр y.
Теорема. (Аналог теоремы о непрерывности предельной функции, равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f (x, y) непрерывна и равномерно сходится к g (x) на [ a, b ] при y ® y 0 , то функция g (x) непрерывна на [ a, b ].
Доказательство. Выпишем неравенства
| g (x)- g (x 0)|=| g (x)- f (x, y) + f (x, y)- f (x 0, y)- g (x 0)+ f (x 0, y)| £ | g (x)- f (x, y)|+ | f (x, y)- f (x 0, y)|+ | g (x 0)- f (x 0, y)|. Для заданного e сначала выбираем d окрестность точки x 0 так, чтобы в этой окрестности | f (x, y)- f (x 0, y)|< e для любых y из некоторой окрестности точки y 0. Это можно сделать в силу равномерной непрерывности функции f (x, y). Величины | g (x)- f (x, y)|, | g (x 0)- f (x 0, y)| можно сделать также < e выбором ещё меньшей окрестности точки y 0 для всех x в силу равномерной сходимости f (x, y) к g (x).
|
Теорема. (Аналог теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла или, что тоже, о почленном интегрировании равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций). Если f (x, y) непрерывна и равномерно сходится к g (x) на [ a, b ] при y ® y 0, то
.
Доказательство. | b - a | e.
2. Интегрирование интегралов зависящих от параметра
Предположим, что область является областью типа А и В. Из формул выражения двойного интеграла через повторные следуют следующие формулы
F (y) = G(x)= |
3. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра
Теорема (Лейбниц). Если f и непрерывны в [ a, b ] ´ [ c, d ], то F (y) =
дифференцируема на [ c, d ] и .
Доказательство.
= = , 0< q <1. Тогда
£ .
Из этого неравенства и равномерной непрерывности функции следует требуемое утверждение.
Рассмотрим область типа В, указанную на рисунке и функцию f, определенную на прямоугольнике R, содержащем область D.
Теорема. Если f и ее производная непрерывны на R, x 1 (y), x 2 (y) имеют непрерывные на [ c, d ] производные, то F (y) = также имеет производную
+ - .
Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(u, v, y) = , определенную на прямоугольном параллелепипеде , Для нее существуют непрерывные частные производные . Непрерывность функции = следует из равномерной непрерывности функции . Дифференцируя сложную функцию F (y) = = Ф(y, x 1 (y), x 2 (y)) получим требуемое равенство.
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
1. Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра
Рассмотрим интеграл
(1)
, y Î Y.
Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела
|
.
Если при заданном y интеграл сходится, то для любого h Î [ a, b) интеграл (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде . В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условие не выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде
.
Определение. Пусть интеграл с параметром для всех или для некоторых y Î Y имеет единственную особенность в b (если b конечное, интеграл 2-го рода) или в + ¥ (интеграл 2-го рода). Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если
" e >0 $ d >0 " h Î (b - d, b) " y Î Y: (для интеграла 2-го рода)
" e >0 $ M " h Î (M,+ µ) " y Î Y: (для интеграла 1-го рода)
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
Если существует функция g (x), определенная на [ a, b) (b – конечное или + ¥), интегрируемая на любом [ a, h), h Î (a, b) такая, что
1) |f(x,y)| £ g(x), a £ x < b, " y Î Y
2) сходится,
то интеграл сходится равномерно на Y.
Утверждение следует из неравенств .
Теорема. (Переход к пределу под знаком интеграла) Пусть и f (x, y) определена и непрерывна на [ a, b) по x для всех y Î Y. Если для любых h Î (a, b) функция f (x, y) равномерно сходится к g (x) на [ a, b - h ] при y ® y 0, интеграл равномерно сходится на Y, сходится. Тогда
.
Доказательство.
= .
Для e >0 выбираем h так, что , для всех y (равномерная сходимость и сходимость ). Для выбранного таким образом h можно найти окрестность точки y 0, в которой (равномерная сходимость f (x, y) к g (x) на [ a, b - h ]).
Критерий Коши равномерной сходимости (интеграла 2-го рода). Для равномерной сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы
" e >0 $ d >0 " y Î Y " h ¢, h ¢¢ Î (b- d,b): .
Достаточность. При выполнении условия для " y Î Y " h ¢, h ¢¢ Î (b - d, b) можно перейти к пределу при h ¢¢ ® b. Тогда для " y Î Y " h ¢ Î (b - d, b): , что означает равномерную сходимость интеграла .
Необходимость. Имеем " e >0 $ d >0 " y Î Y " h Î (b - d, b): . Тогда при h ¢, h ¢¢ Î (b - d, b) будет выполнено .
2. Непрерывность несобственного интеграла от параметра
Теорема 2. Если f (x, y) определена и непрерывна на [ a, b) ´ [ c, d ], интеграл F (y) = сходится равномерно на [ c, d ], то этот интеграл является непрерывной функцией.
|
Доказательство.
| F (y + D y) - F (y)| = £ + + .
Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного e выбором h в силу равномерной сходимости интеграла . После выбора h первый интеграл может быть сделан меньше заданного e выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции f (x, y) на прямоугольнике [ a, h ] [ c, d ].
3. Интегрирование интегралов зависящих от параметра
Теорема. Если функция f (x, y) определена и непрерывна на [ a, b) ´ [ c, d ], интеграл F (y) = сходится равномерно на [ c, d ], существует интеграл , то
= = .
Доказательство. Для любого h Î [ a, b)
= . Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что сходится равномерно на [ c, d ] к при h ® b. Действительно, .
Эту теорему можно обобщить
Теорема. Если функция f (x, y) определена и непрерывна на [ a, b) ´ [ c, d), интеграл сходится равномерно на любом [ c, h ], интеграл сходится равномерно на любом [ a, x ] и существует один из повторных интегралов
, , то существует и другой и выполняется равенство
= .
Без доказательства.
4. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра
Лемма. Если функция f (x, y) непрерывна на [ a, b) ´ [ c, d ], то сходимость интеграла эквивалентна условию: для любой последовательности h k ® b, h 0 = a, h k Î [ a, b) сходится ряд . Аналогично для равномерной сходимости: для равномерная сходимость интеграла на множестве Y эквивалентна условию: для любой последовательности h k ® b, h 0 = a, h k Î [ a, b) равномерно на Y сходится функциональный ряд .
Это утверждение следует из определения предела по Гейне и выражения для частичных сумм ряда .
Теорема. Пусть функции f (x, y) и непрерывны на [ a, b) ´ [ c, d ]. Если сходится для всех y а сходится равномерно на [ c, d ], то функция F (y) = дифференцируема на этом отрезке и
.
Доказательство. Пусть h n ® b, h n Î [ a, b), h 0 = a. Согласно лемме
F (y) = = . Таким образом, функциональный ряд сходится для всех y. Далее, . Таким образом, ряд из производных сходится равномерно на [ c, d ]. По теореме о почленном дифференцировании функционального ряда = .
|
Пример. Гамма функция Эйлера Г(p) = , p > 0.
Г(p) непрерывна на (0, µ). Г(p) = + .
Докажем непрерывность функций , на (0, µ).
1) £ , p Î [ e, A ]. сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [ e, A ] и, следовательно, является непрерывной функцией на этом множестве [ e, A ].
2) £ , p Î [ e, A ]. сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [ e, A ] и, следовательно, является непрерывной функцией на множестве [ e, A ].
Для гамма функции Эйлера справедлива формула
(1)
Это равенгство получается после замены x ® xy.
G (p) = = = .
2. Бэта функция Эйлера В(p, q) = , p > 0, q >0.
Сделаем замену , dx = .
В(p, q) = = .
В(p, q) = (2)
3. Другие свойства функций Эйлера
Из формулы (1) следует, что
, . Интегрируя, получим . Откуда, используя (2)
.
В(p,1- p) = Г Г = = ,0< p <1.
Г(1) = 1, Г(p +1) = p Г(p).
Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).
Интеграл сходится для p >0 и сходится равномерно на любом отрезке [ e, A ], для 0 < e < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Докажем равномерную сходимость интегралов .
В окрестности нуля | ln x | £ для d > 0 существует C 1 (d).
В окрестности бесконечности | ln x | £ для d > 0 существует C 2 (d).
Равномерная сходимость интеграла Г( k ) (p)= на любом отрезке [ e, A ] следует из оценок £ + £ + , для всех p Î [ e, A ]. Здесь для e >0 следует выбрать d так, чтобы e - k d оставалось больше нуля.
4. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра
Формула Фруллани. Функция f (x) непрерывна и интеграл существует для любого A > 0.
= , = = = = =- f (0) .
= f(0) , (a>0,b>0).
Интегрированием по частям вычисляются интегралы
, a ³ 0, , a ³ 0.
Другой способ: Положим g = - a + i b, , откуда и следуют указанные формулы.
Вычислить
.
, = ,
Интеграл Пуассона
I = .
I 2 = = = = = = .
Интеграл I = .
Интегрирование по частям I = = = .
= I, , I = C , I(0) = = = , I = .
Вычислить интеграл F (a, b) = , a >0, b >0 (1)
(2),
из (2) F (a, b) = +С(b).
= = =
F(a,b) = +C(b)= +C(b).
p ln b = F(b,b)= p ln 2 + C(b), C(b) = p .
Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты
§1. Преобразования базисов и координат
1.Отображение областей. Криволинейные координаты
Рассмотрим область V в системе координат (x, y, z) и область D в системе координат (x 1, x 2, x 3).
Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями, осуществляемое регулярным отображением (регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямое и обратное непрерывно дифференцируемы)
(1)
Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D. Наборы координат (x, y, z) и (x 1, x 2, x 3) можно интерпретировать следующим образом: каждая точка M из области V определяется, как ее исходными координатами (в дальнейшем это будут декартовы координаты), так и координатами (x 1, x 2, x 3), которые в отличии от исходных координат называются криволинейными координатами. В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так, если в (1) фиксировать две из трех координат x 1, x 2, x 3, то получим линию, которая называется координатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй и третьей координат обозначим S 1 (параметром линии служит первая координата x 1). Аналогично определяются еще два семейства линий S 2, S 3. При сделанных предположениях через каждую точку будет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом, задание точки однозначно определяется заданием трех линий l 1 Î S 1, l 2 Î S 2, l 3 Î S 3. Наряду с координатными линиями можно рассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну из координат, а остальные две рассматривать, как параметры.
|
Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области V
Касательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим через
(2)
Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны
.
Для данного базиса единственным образом можно определить базис 1, 2, 3 такой, что (, j)= . Подробнее об этом речь пойдет в одном из следующих пунктах. Такой базис называется взаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формулам
1= , 2= , 3= . (3)
Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в каждой точке области V базис (2) является ортогональным.
В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, что тройка правая. Положим H 1 = , H 2 = , H 3 = , величины H 1, H 2, H 3 называются коэффициентами Ламэ. В силу ортогональности (тройка правая)
= H1 H2 H3, = H2 H3 , = H3 H1 , = H1 H2 .
Откуда следует, что
= , = , = .
2. Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве
Цилиндрические координаты
|
| ||
x1=r | x2= j | x3=h | |
1 =(cos j, sin j, 0) | 2 =r (- sin j, cos j, 0) | 3 =(0, 0, 1) | |
H1=1 | H2=r | H3=1 | |
Система цилиндрических координат ортогональна и = = r,
= , = = , = .
Сферические координаты
|
| ||
x1= r | x2= j | x3= q, q Î [- p /2, p /2] | |
1 = (cos q cos j, cos q sin j, sin q) | 2 = r cos q (-sin j,cos j,0) | 3 = r (-sin q cos j, - sin q sin j, cos q) | |
H1=1 | H2= r sin q, | H3= r. | |
Система сферических координат ортогональна и = = r 2 cos q,
3. Взаимные, сопряженные базисы
В дальнейшем речь пойдет о базисах в трехмерном пространстве.
Определение. Базисы r i, r k называются взаимными или сопряженными, если выполнено условие
( r i, r k) = .
Теорема. Для любого базиса r i существует единственный взаимный базис.
Из условия r 1 r 2, r 1 r 3, поэтому этот вектор надо искать в виде c [ r 2 , r 3 ], из условия ( r 1, r 1) = 1 находится множитель c. Таким образом,
r 1 = [ r 2 , r 3 ]/( r 1, r 2, r 3), r 2 = [ r 3 , r 1 ]/( r 1, r 2, r 3), r 3 = [ r 1 , r 2 ]/( r 1, r 2, r 3).
Любой вектор пространства можно разложить по базисам
x = xk r k = r k xk.
Координаты xk называются ковариантными координатами, а xk – контравариантными координатами.
Соглашение 1. В любом выражении, состоящем из некоторого числа сомножителей, наличие индекса у двух сомножителей на разных уровнях будет означать суммирование по этому индексу от 1 до 3. Следует придерживать единого порядка написания индексов суммирования. Договоримся при написании этих индексов следовать правилу: «левый внизу, правый вверху».
Соглашение 2. Иногда, если не возникает путаницы, стрелка над вектором будет опускаться. То же самое касается жирности шрифта для обозначения вектора ( r = r, если не возникает путаницы).
Например, формулы разложений по базисам будут выглядеть следующим образом
x = xk rk = rk xk.
Еще один пример: ai cj = ai cj.
Найдем выражение для ко и контравариантных координат
x = xi ri = ri xi Þ
xi = (x, ri), xi = (x, ri) (1).
Подставляя выражения для координат в разложения вектора, получим формулы Гиббса
x = (x, ri) ri = ri (x, ri) (2)
Подставим выражения x из формул Гиббса (2) в (1)
xi = (x, rj)(rj, ri) = xj gji (3)
xi = (rj, ri) (x, rj) = gji xj (4)
Матрицы gji = (rj, ri), gji = (rj, ri) симметричны и называются метрическими тензорами. Беря в качестве x в формуле (2) вектора rj, rj получим формулы, связывающие векторы взаимных базисов с помощью метрических тензоров
rj = gji ri
rj = ri gji.
Подобные операции носят название операций поднимания и опускания индекса с помощью метрического тензора. Умножим первое равенство на rk второе на rk, получим
= gji gik
= gik gji.
Эти равенства показывают, что матрицы метрических тензоров взаимно обратные.
4. Преобразование координат
Даны базисы ei, и ei, i. Обозначим матрицы, связывающие эти базисы , , , .
i = ej , ei = j Þ = (5)
Равенство = в развернутом виде выглядит следующим образом
= ,
Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номер столбца.
j = ei, ej = i Þ = (6)
Последнее равенство в матричном виде:
= .
Умножая первое равенство из (5) на ek , а второе равенство из (6) на k получим выражения для матриц перехода между базисами
( i, ek) = (ej , ek)= = ,
(ek, i)= ( j, i)= = .
Таким образом, = . Аналогично показывается, что
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!