Тема: « Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей »

Тема: «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»

План

1. Определение двугранного угла.

2. Виды двугранных углов.

3. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

4. Прямоугольный параллелепипед.

5. Решение задач.

 

Определение двугранного угла.

Углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. В стереометрии наряду с такими углами рассматривается ещё один вид углов - двугранные углы.

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей в виде прямой а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. Прямая а, которая является общей границей полуплоскостей, называется ребром двугранного угла (рис. 1а, 1б).

 

 

Рис. 1а Прямая а разделяет        Рис.1б Двугранный угол.          Рис 1в. Угол АОВ -линейный.

плоскость на две

полуплоскости

 

 

Двугранный угол с ребром CD, на разных гранях которого отмечены точки A и B называют двугранным углом CABD.

Перпендикуляры к ребру AO и BO образуют линейный угол двугранного угла AOB (рис.1в). Так как луч ОА перпендикулярен прямой CD и луч OB перпендикулярен прямой CD, то плоскость АОВ перпендикулярна к прямой CD. Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и А₁О₁В₁ (рис. 1г).

Лучи ОА и О₁А₁, лежат в одной грани и перпендикулярны

 к прямой ОО₁, поэтому они сонаправлены. Точно так же

сонаправлены лучи OB и O₁B₁. Поэтому углы АОВ и А₁О₁В₁

 равны как углы с сонаправленными сторонами.

Виды двугранных углов.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов:

- острый, если его линейный угол острый, т.е. ) (рис.2а);

- прямой, когда его линейный угол равен 90°, т.е.  (рис. 2б);

- тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. ) (рис. 2в).

 

Рис.2а Острый угол. Рис. 2б Прямой угол.               Рис. 2в Тупой угол.

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис.3а). Если один из этих двугранных углов равен , то другие три угла равны соответственно ,   и . В частности, если один из углов прямой ( ), то и остальные три угла прямые. Если тот из четырёх углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен   .

Рис. 3а                  Рис. 3б

Рис. 3а                              Рис.3б

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), е сли угол между ними равен φ = 90°.

Пример взаимно перпендикулярных плоскостей - плоскости стены и пола комнаты.

Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β,

АВ ∩ α = А (рис. 3).

Доказать: α ⊥ β.

Доказательство: α ∩ β= АС, АВ⊥АС, так как АВ⊥β

по условию. Проведем в плоскости β AD⊥AC.

∠BAD - линейный угол двугранного угла.

Но ∠BAD=90°, так как ВА⊥ β. Значит, α⊥β. Ч.т.д.

Перпендикулярны основанию.

Его основаниями служат прямоугольники ABCD и А₁В₁С₁ D ₁, а

боковые ребра А А₁, B В₁, C С₁ и D D ₁ перпендикулярны к основаниям. Отсюда следует, что ребро А А₁ перпендикулярно к ребру АВ, т. е. боковая грань А А₁В₁ В является прямоугольником. То же самое можно сказать и об остальных боковых гранях.

Таким образом, прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами:

1) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - прямоугольники;

2) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые;

Задача 1.

АВСD – тетраэдр.

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС.

Построение:

1. Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ

и гранями АВD и АВС. Проведем прямую DН перпендикулярно

 плоскости АВС, Н – основание перпендикуляра. Проведем

наклонную DМ перпендикулярно прямой АВ, М – основание

 наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ. То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВD и АВС. Мы получили линейный угол DМН.

Заметим, что АВ, ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости DМН. Задача решена.

Замечание. Двугранный угол можно обозначить следующим образом: DАВС, где

АВ – ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.

2. Проведем перпендикуляр DН к плоскости АВС и наклонную DN перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN – проекция наклонной DN на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС.DNН – линейный угол двугранного угла с ребром АС.

Задача 2.

В тетраэдре DАВС все ребра равны. Точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD, т. е. двугранного угла с ребром АС. Одна его грань – АСD, вторая – АСВ.

Решение:

Треугольник ADC – равносторонний, DM – медиана, а значит и

высота. Значит, DМ ⊥ АС. Аналогично, AВC – равносторонний,

ВM – медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.

Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла

 восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в

гранях двугранного угла.

Значит, ∠ DMВ – линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 боковая грань DD1C1C – квадрат, DC = 4 см, BD1 = 6 см. Найдите BC и докажите, что плоскости BCD1 и DC1B1 взаимно перпендикулярны.

Решение. Найдем BC. Воспользуемся тем свойством

Решение.

Отрезки AA₁ и AB₁ перпендикулярны граням двугранного угла, поэтому AA₁BB₁ – прямоугольник. Искомое расстояние – диагональ этого прямоугольника, которую найдем с помощью теоремы Пифагора: 10 см.

Контрольные вопросы

1. Что такое двугранный угол?

2. Дайте определение граней и рёбер двугранного угла.

3. Что такое линейный угол двугранного угла?

4. Сколько линейных углов имеет двугранный угол?

5. Сформулируйте свойство линейных углов двугранного угла.

6. Перечислите виды двугранных углов.

7. Дайте определение перпендикулярных (взаимно перпендикулярных) плоскостей.

8. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.

9. Что такое прямоугольный параллелепипед?

10. Перечислите основные свойства прямоугольного параллелепипеда.

Литература

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2016.- 255с.

Дополнительная литература

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.

Тема: «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»

План

1. Определение двугранного угла.

2. Виды двугранных углов.

3. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

4. Прямоугольный параллелепипед.

5. Решение задач.