Матрицы плотности для ЭПР-пар

 

Перейдем к ситуациям, описание которых в терминах матриц плотности представляется особенно уместным — и в то же время выявляет один почти парадоксальный аспект интерпретации такой матрицы. Речь идет об ЭПР-эффектах и квантовой сцепленности. Рассмотрим физическую ситуацию, описанную в §5.17: частица со спином 0 (в состоянии | Ω 〉) расщепляется на две частицы (каждая со спином 1/2), которые разлетаются вправо и влево, удаляясь на значительное расстояние друг от друга, в результате чего выражение для их совокупного (сцепленного) состояния принимает вид:

 

| Ω 〉 = | L ↑〉| R ↓〉 - | L ↓〉| R ↑〉.

 

Предположим, что некий наблюдатель[45] имеет намерение измерить спин правой частицы с помощью некоего измерительного устройства, левая же частица успела уже удалиться на такое огромное расстояние, что добраться до нее наблюдатель не может. Как наш наблюдатель опишет состояние спина правой частицы?

Скорее всего, он весьма благоразумно воспользуется матрицей плотности

 

D = 1/2 | R ↑〉〈 R ↑ | + 1/2 | R ↓〉〈 R ↓ |,

 

поскольку ничто не мешает ему вообразить, что некий другой наблюдатель — скажем, коллега, по случаю оказавшийся неподалеку от левой частицы, — решил измерить спин этой левой частицы в направлении «вверх/вниз». Узнать, какой именно результат получил упомянутый воображаемый коллега, нашему наблюдателю неоткуда. Однако он знает, что если коллега получил результат | L ↑〉, то его собственная (правая) частица должна находиться в состоянии | R ↓〉, если же коллега получил при измерении состояние | L ↓〉, то правая частица должна находиться в состоянии | R ↑〉. Нашему наблюдателю также известно (из стандартных правил квантовой теории, касающихся вероятностей, какие можно ожидать в данной ситуации), что воображаемый коллега может получить с равной вероятностью как результат | L ↑〉, так и результат | L ↓〉. Из всего этого наблюдатель заключает, что состояние его собственной частицы описывается комбинацией равных вероятностей (1/2 и 1/2 соответственно) двух альтернатив, | R ↑〉 и | R ↓〉, так что матрица плотности D   с его стороны действительно должна быть такой, какую мы только что записали.

Он, впрочем, может предположить, что его коллега производил измерение левой частицы в направлении «влево/вправо». В этом случае совершенно аналогичное вышеизложенному рассуждение (на сей раз опирающееся на альтернативное описание | Ω 〉 = | L ←〉| R →〉 - | L →〉| R ←〉, см. §5.17) приведет нашего наблюдателя к заключению, что спиновое состояние его собственной (правой) частицы описывается комбинацией равных вероятностей направлений оси спина «влево» и «вправо», а соответствующая матрица плотности имеет вид

 

D = 1/2 | →〉〈→ | + 1/2 | ←〉〈← |.

 

Как мы уже видели, эти матрицы плотности в точности одинаковы, однако их интерпретации — как комбинаций вероятностей альтернативных состояний — существенно различаются. Совершенно не важно, какую именно интерпретацию выберет наблюдатель. Из своей матрицы плотности он получит всю возможную информацию, требуемую для вычисления вероятностей результатов измерений спина правой (и только правой) частицы. Более того, поскольку коллега является воображаемым, нашего наблюдателя вообще не должно волновать, выполнялось ли хоть какое-то измерение спина левой частицы. Все та же матрица плотности D   скажет ему все, что можно узнать о состоянии спина правой частицы до того, как он действительно выполнит измерение. В самом деле, уж наверное матрица плотности D   определит «действительное состояние» правой частицы с гораздо большей точностью, нежели какой бы то ни было отдельный вектор состояния.

Руководствуясь подобными общими соображениями, люди порой приходят к выводу, что в определенных ситуациях матрицы плотности дают более адекватное описание квантовой «реальности», чем векторы состояния. Однако в ситуациях, подобных рассматриваемой, это не так. Ничто в принципе не мешает воображаемому коллеге превратиться в коллегу реального, а двум наблюдателям — передать друг другу результаты своих наблюдений. Корреляции между измерениями, выполненными одним наблюдателем, и измерениями, выполненными другим, невозможно объяснить отдельными матрицами плотности, описывающими каждая свою частицу. Для такого объяснения необходимо все сцепленное состояние целиком, в том виде, в каком оно представлено выше выражением для действительного вектора состояния | Ω 〉.

Например, если оба наблюдателя решат измерять спины своих частиц в направлении «вверх/вниз», то они неизбежно должны получить диаметрально противоположные результаты. Индивидуальные матрицы плотности такой информации не содержат. Еще более серьезное возражение: как недвусмысленно показывает теорема Белла (§5.4), моделировать сцепленное состояние связанной пары частиц какими бы то ни было локальными классическими методами (вроде «носков Бертлмана») до измерения невозможно. (Простая демонстрация этого факта приводится в НРК, примечание 14 после шестой главы, с. 301 — идея этой демонстрации, вообще говоря, принадлежит Стаппу [359], см. также [360]. Описан случай, когда один из наблюдателей измеряет спин своей частицы в вертикальном, «вверх/вниз», или горизонтальном, «вправо/влево», направлении, тогда как другой выбирает для измерения одно из направлений под углом в 45° к тем двум. Если заменить частицы со спином 1/2 частицами со спином 3/2, то такую демонстрацию можно сделать еще более убедительной, воспользовавшись магическими додекаэдрами из §5.3, так как при этом нам не понадобятся вероятности.)

Таким образом, в данной ситуации «матричное» описание может быть признано адекватным «реальности», только если имеется какая-либо причина, в принципе не позволяющая выполнить (и сравнить) измерения на обоих концах системы. В обычных условиях таких причин, как правило, не существует. В условиях необычных — например, в ситуации, предложенной Стивеном Хокингом [191], где одна из частиц ЭПР-пары оказывается заключенной внутрь черной дыры, — могут появиться и более серьезные доводы в пользу матричного описания на фундаментальном уровне (что, собственно, и доказывает Хокинг). Однако такие доводы сами по себе предполагают некий серьезный пересмотр самих основ квантовой теории. Пока такого пересмотра не произошло, существенная роль матрицы плотности остается скорее практической (FAPP), нежели фундаментальной — что, впрочем, отнюдь не уменьшает ее важности.

 

FAPP-объяснение процедуры R

 

Теперь давайте посмотрим, какую же, в самом деле, роль играют матрицы плотности в рамках стандартного (FAPP-) подхода к объяснению «наблюдаемой» природы процедуры R. Идея заключается в том, что квантовая система и измерительное устройство (вместе с занимаемым ими окружением) — все три, предполагается, эволюционируют вместе в соответствии с процедурой U — ведут себя так, будто всякий раз, когда эффекты измерения оказываются нерасторжимо сцеплены с этим самым окружением, происходит процедура R.

Изначально квантовая система считается изолированной от окружения, однако в момент «измерения» в измерительном устройстве инициируются макроскопические эффекты, которые вскоре приводят к возникновению сцепленностей с элементами окружения, причем количество этих сцепленностей непрерывно возрастает. На этом этапе картина во многом напоминает описанную в предыдущем параграфе ЭПР-ситуацию. Квантовая система (вместе с только что сработавшим измерительным устройством) выступает в роли правой частицы, тогда как возмущенное окружение аналогично отдаленной левой частице. Физик, намеревающийся осмотреть измерительное устройство, играет роль, схожую с ролью наблюдателя, предполагающего исследовать правую частицу. Наблюдатель не имеет доступа к каким бы то ни было измерениям, которые могли быть выполнены на левой частице; аналогично, нашему физику недоступна подробная картина возмущений, предположительно произведенных в окружении измерительным устройством. Окружение состоит из огромного количества случайным образом движущихся частиц, и можно смело утверждать, что детальная и точная информация относительно того, какому именно возмущению подверглись частицы окружения, будет безвозвратно потеряна для физика. Аналогичным образом, наблюдателю у правой частицы из предыдущего примера недоступны какие бы то ни было сведения о спине левой частицы. Как и в случае с правой частицей, состояние измерительного устройства адекватно описывается не отдельным вектором состояния, но матрицей плотности; соответственно, измерительное устройство рассматривается не как чистое, отдельно взятое квантовое состояние, но как комбинация вероятностей состояний. Согласно стандартной интерпретации, эта комбинация вероятностей дает те же вероятностно-взвешенные альтернативы, что мы получили бы в результате процедуры R — по крайней мере, с практической точки зрения.

Рассмотрим пример. Допустим, некий источник испускает фотон в направлении детектора. Между источником и детектором помещено полусеребрёное зеркало, после столкновения с которым фотон переходит в суперпозицию состояний

 

w|α 〉 + z|β 〉;

 

при этом состояние |α 〉 (пропущенный фотон) активирует детектор (ДА), а состояние |β 〉 (отраженный фотон) никак детектора не затрагивает (НЕТ). Полагая все состояния нормированными, получим, в соответствии с процедурой R, следующие вероятности:

 

вероятность ответа ДА = | w |2,

вероятность ответа НЕТ = | z |2.

 

Поскольку зеркало полупрозрачно (как в исходном примере, рассмотренном в §5.7, где теперешним |α 〉 и |β 〉 соответствовали состояния | B 〉 и i| C 〉), каждая из этих вероятностей равна 1/2, т.е. | w | = | z | = 1/√2.

Детектор находится первоначально в состоянии | Ψ 〉, которое по поглощении фотона (в состоянии |α 〉) эволюционирует в состояние | ΨД 〉 (ДА), а в отсутствие поглощения фотона (в состоянии |β 〉) — в состояние | ΨН 〉 (НЕТ). Если игнорировать окружение, то состояние системы на данном этапе имеет вид

 

w| ΨД 〉 + z| ΨН 〉 |β 〉

 

(все состояния мы полагаем нормированными). Предположим, однако, что детектор, будучи макроскопическим объектом, сразу же вступает во взаимодействие с окружением, — частью такого окружения можно считать и «сбежавший» фотон (первоначально в состоянии |β 〉), поглощенный стеной лаборатории. Как и прежде, детектор, в зависимости от того, зарегистрировал он фотон или нет, переходит в одно из своих новых состояний (| ΨД 〉 или | ΨН 〉. соответственно), однако в процессе перехода он по-разному возмущает окружение. Состояние окружения, сопутствующее состоянию детектора | ΨД 〉, обозначим через | ΦД 〉, а состояние окружения, сопутствующее состоянию детектора | ΨН 〉 — через | ΦН 〉 (эти состояния мы также полагаем нормированными, но не обязательно ортогональными). Полное состояние сцепленной системы можно записать так:

 

w| ΦД 〉 | ΨД 〉 + z| ΦД 〉 | ΨН 〉.

 

До сих пор физик в процессе не участвовал, однако теперь он собирается осмотреть детектор, чтобы узнать, какой результат тот зафиксировал (ДА или НЕТ). Каким образом физик может оценить квантовое состояние детектора в момент, непосредственно предшествующий осмотру? Как и наблюдатель, измерявший в предыдущем параграфе спин правой частицы, наш физик резонно воспользуется матрицей плотности. Можно предположить, что никакого измерения окружения с целью выяснить, находится оно в состоянии | ΦД 〉 или | ΦН 〉, в действительности не проводилось — точно так же, как никто не измерял спин левой частицы в описанной выше ЭПР-паре. Соответственно, матрица плотности и в самом деле даст адекватное квантовое описание детектора.

Какова эта матрица плотности? Рассуждая стандартным образом78 (который основывается на некоем частном способе моделирования упомянутого окружения —• исходя при этом из неких не вполне обоснованных допущений, таких, например, как допущение о несущественности корреляций ЭПР-типа), приходим к заключению, что матрица плотности в данном случае должна очень быстро принять вид, очень хорошее приближение к которому дает следующее выражение:

 

D = a| ΨД 〉〈 ΨД | + b| ΨН 〉〈 ΨН |,

 

где

 

a = | w |2 и b = | z |2.

 

Эту матрицу плотности можно интерпретировать, как представление комбинации вероятностей двух альтернатив: регистрация детектором фотона (результат ДА) с вероятностью | w |2 и отсутствие регистрации детектором фотона (результат НЕТ) с вероятностью | z |2. Если бы имела место процедура R, то именно к такому результату и должен был бы прийти физик по завершении своего эксперимента — или нет?

Думаю, здесь следует проявить некоторую осторожность. Матрица плотности D   и в самом деле позволяет физику вычислить необходимые ему значения вероятностей, если предположить, что альтернатив всего две: либо | ΨД 〉, либо | ΨН 〉. Но из наших рассуждений такое предположение никоим образом не следует. Вспомним из предыдущего параграфа, что матрицы плотности, как комбинации вероятностей состояний, допускают множество альтернативных интерпретаций. В частности, поскольку зеркало полупрозрачно, мы имеем здесь в точности такую же матрицу плотности, как и та, какую мы получили выше для частицы со спином 1/2:

 

D = 1/2 | ΨД 〉〈 ΨД | + 1/2 | ΨН 〉〈 ΨН |.

 

Можно записать ее иначе; скажем, так:

 

D = 1/2 | ΨP 〉〈 ΨP | + 1/2 | ΨQ 〉〈 ΨQ |,

 

где | ΨP 〉 и | ΨQ 〉 — два других возможных ортогональных состояния детектора (что представляет собой, надо сказать, совершенную нелепость с точки зрения классической физики), причем

 

| ΨP 〉 = (| ΨД 〉 + | ΨН 〉)/√2 и | ΨQ 〉 = (| ΨД 〉 - | ΨН 〉)/√2.

 

Тот факт, что наш физик полагает, будто состояние его детектора описывается матрицей плотности D  , никак не объясняет, почему он всегда обнаруживает детектор либо в состоянии ДА (что соответствует | ΨД 〉), либо в состоянии НЕТ (| ΨН 〉). Потому что совершенно такую матрицу плотности он получил бы, если состояние системы представляло собой равновесную вероятностную комбинацию, по классическим меркам, нелепостей | ΨP 〉 и | ΨQ 〉 (описывающих, соответственно, квантовые линейные суперпозиции «ДА плюс НЕТ» и «ДА минус НЕТ»)!

Для того, чтобы подчеркнуть физическую абсурдность состояний, подобных | ΨP 〉 и | ΨQ 〉, в случае макроскопического детектора, рассмотрим «измерительное устройство», состоящее из ящика и помещенной внутрь него кошки, причем ящик снабжен неким устройством, убивающим кошку, если детектор регистрирует фотон (в состоянии |α 〉), если же детектор ничего не регистрирует (фотон в состоянии |β 〉), то кошка остается жива — это измерительное устройство широко известно под названием шрёдингерова кошка (см. §5.1 и рис. 6.3). Результат ДА представляется здесь как «кошка мертва», а результат НЕТ — как «кошка жива». Однако из одного лишь того, что нам известно, что матрица плотности имеет вид равновесной комбинации этих двух состояний, вовсе не следует, что кошка либо мертва, либо жива (с равной вероятностью), так как эта же кошка может также быть (с равной вероятностью) либо «мертва плюс жива», либо «мертва минус жива»! Сама по себе матрица плотности ничего не говорит о том, что эти последние классически абсурдные возможности в известном нам реальном мире никогда не реализуются. Как и во «множественно мировом» подходе к объяснению R, нам, похоже, вновь предлагается поразмыслить над тем, какого рода состояния мы намерены позволить воспринимать обладающему сознанием наблюдателю (в данном случае, нашему «физику»). С чего мы, собственно говоря, взяли, что состояния вроде «кошка мертва плюс кошка жива» совершенно и абсолютно недоступны восприятию некоего сознательного внешнего[46] наблюдателя?

Мне могут возразить, что «измерение» детектора, которое наш физик намерен произвести, состоит всего лишь в том, чтобы узнать, какой результат из двух (ДА или НЕТ) этот самый детектор зафиксировал — или, как в примере с кошкой, выяснить, мертва она или жива. (Вспомним и о наблюдателе из предыдущего параграфа, который собирался всего лишь определить, вверх направлена ось спина правой частицы или вниз.) Для такого измерения матрица плотности и в самом деле дает верные значения вероятностей, в каком бы виде мы ее ни представили. А вот тут начинаются проблемы. Почему мы должны считать таким измерением простой взгляд на кошку? В U -эволюции квантовой системы нет ни единого правила, запрещающего нашему сознанию в процессе «разглядывания» и, как следствие, восприятия квантовой системы осознавать комбинации вроде «кошка мертва плюс кошка жива». Так! Здесь мы, кажется, уже проходили. Что такое сознание? Как на самом деле устроен наш мозг? Ведь первой и самой очевидной причиной поисков FAPP-объяснения процедуры R как раз и было желание избежать необходимости связываться с такого рода вопросами!

Кто-то скажет: все дело в том, что мы выбрали для нашего примера нехарактерный особый случай с двумя равными вероятностями 1/2 и 1/2 (случай «вырожденных собственных значений»). Только в таких ситуациях матрица плотности допускает более одного представления в виде взвешенной вероятностной комбинации взаимно ортогональных альтернатив. Это ограничение не существенно, поскольку для интерпретации матрицы плотности как комбинации вероятностей ортогональность альтернатив непременным требованием не является. Более того, как показали в своей недавней работе Хьюстон, Йожа и Вуттерс [210], в ситуациях, подобных вышеописанным (т.е. там, где матрица плотности вводится потому, что рассматриваемая система сцеплена с какой-то другой изолированной системой), для любой комбинации вероятностей альтернативных состояний, выбранной вами для составления матрицы плотности, всегда найдется измерение, выполнимое в той самой изолированной системе, которое даст в точности такое же представление матрицы плотности. Как бы то ни было, одно то, что неоднозначность возникает уже в случае равных вероятностей, ясно показывает, что для описания действительных альтернативных состояний нашего детектора матричного представления недостаточно.

Итак, одно лишь знание матрицы плотности D   не дает никаких оснований полагать, что система представляет собой вероятностную комбинацию тех самых состояний, которые эту конкретную матрицу D   составляют. Точно такую же матрицу D   можно получить и из множества других самых различных комбинаций состояний, большая часть которых окажутся совершенно «абсурдными» с точки зрения здравого смысла. Более того, такая неоднозначность свойственна любой матрице плотности, какую ни возьми.

Стандартные рассуждения не часто заходят дальше требования «диагональности» матрицы плотности. «Диагональной», по сути, является такая матрица плотности, которую можно выразить в виде взвешенной вероятностной комбинации взаимно ортогональных альтернатив — точнее, не всяких альтернатив, а тех классических альтернатив, которые нас в данном случае интересуют. (Если убрать это последнее условие, то диагональными окажутся все матрицы плотности!) Однако мы уже убедились, что один лишь факт «выразимости» матрицы плотности в таком виде сам по себе отнюдь не является гарантией того, что детекторы не предстанут перед нами в какой-нибудь «абсурдной» квантовой суперпозиции состояний ДА и НЕТ.

Таким образом, вопреки всем и всяческим уверениям, стандартное рассуждение не объясняет, как то или иное приближенное описание U -эволюции в условиях неустранимого воздействия окружения порождает «иллюзию» процедуры R. Оно демонстрирует всего лишь, что в такой ситуации процедура R и U -эволюция могут мирно сосуществовать. Нам все еще нужно в квантовой теории место для процедуры R, отличное от того, что занимает U -эволюция (по крайней мере, пока не появится теория, жестко предписывающая, какого рода состояния способны воспринимать существа, обладающие сознанием).

Отыскание такого места само по себе важно для общей непротиворечивости квантовой теории. Однако не менее важно понять, что это сосуществование и эта непротиворечивость имеют статус скорее практического приближения (FAPP), нежели строго научный. В конце предыдущего параграфа мы говорили о том, что описание правой частицы посредством матрицы плотности является адекватным лишь в отсутствие возможности сравнения измерений, выполненных на обоих частицах. Если же такая возможность есть, то необходимо рассматривать полное состояние системы с ее квантовыми, а не просто взвешенно-вероятностными суперпозициями. Аналогичным образом, матричное описание детектора в настоящем параграфе адекватно лишь в том случае, если отсутствует возможность детально измерить состояние окружения и сравнить результаты измерения с результатами наблюдения детектора экспериментатором. Редукция R может сосуществовать с эволюцией U исключительно при условии, что мельчайшие элементы окружения останутся недоступными измерению, а тонкие эффекты квантовой интерференции, надежно укрытые (согласно стандартной квантовой теории) невообразимой сложностью точного описания окружения, избегнут наблюдения.

Очевидно, что какая-то (и даже немалая) доля правды в стандартном объяснении есть, однако полным оно быть никак не может. Разве можем мы быть уверены в том, что в ближайшем будущем не появится какая-нибудь новая технология, с помощью которой все эти интерференционные феномены будут детально описаны? Необходимо ввести некое строгое физическое правило, определяющее, какие из экспериментов, невозможных сегодня практически, являются невозможными в принципе. Согласно такому правилу, должен существовать некий уровень физических процессов, получение каких бы то ни было данных об эффектах интерференции на котором невозможно в принципе. Придется, по всей видимости, постулировать некий новый физический феномен, благодаря которому комплексно-взвешенные суперпозиции физики квантового уровня действительно станут классическими альтернативами, а не просто будут считаться таковыми в FAPP-приближении. В существующем же виде FAPP-подход не дает картины действительной физической реальности. Он не может быть ничем иным, как временной полумерой в отсутствие настоящей физической теории — хотя и весьма полезной, надо сказать, полумерой, — и важно иметь это в виду, когда мы будем рассматривать выдвигаемые мною в §6.12 предположения.