Естественный отбор или промысел Господень?

Возможно, нам следует-таки всерьез рассмотреть возможность того, что за нашим интеллектом и в самом деле стоит некий божественный промысел — по каковой причине этот самый интеллект никак нельзя объяснить с позиций той науки, которая достигла столь значительных успехов в описании мира неодушевленных предметов. Разумеется, мы по-прежнему будем сохранять широту мышления, однако я хочу сразу прояснить один момент: в последующих рассуждениях я намерен придерживаться научной точки зрения. Я намерен рассмотреть возможность того, что наше математическое понимание является результатом работы некоего непостижимого алгоритма, — а также вопрос о возможном происхождении подобного алгоритма, — никоим образом не выходя за рамки научного подхода. Возможно, кто-то из читателей этой книги склонен верить в то, что этот алгоритм и в самом деле мог быть просто вложен в наши головы по воле божьей. Убедительного опровержения такого предположения у меня, признаться, нет; хотя я никак не могу взять в толк, — если уж мы решаем отказаться на каком-то этапе от научного подхода — почему считается как нельзя более благоразумным бросаться именно в эту крайность. Если научное объяснение ничего, в сущности, не объясняет, то не уместнее ли будет вообще позабыть о каких бы то ни было алгоритмических процедурах, нежели прятать свою предполагаемую свободу воли за сложностью и непостижимостью какого-то алгоритма, который, как нам хочется думать, контролирует каждое наше движение? Возможно, разумнее будет просто счесть (как, похоже, считал сам Гёдель), что деятельность разума совершенно не связана с процессами, протекающими в физическом мозге. — что замечательно согласуется с точкой зрения D. С другой стороны, в настоящее время, как мне представляется, даже те, кто верит в то, что мышление и впрямь является в каком-то смысле божественным даром, склонны все же полагать, что поведение человека можно объяснить, не выходя за пределы возможностей науки. Несомненно, приведенные варианты являются весьма спорными, однако на данном этапе я вовсе не предполагал спорить с убеждениями сторонников точки зрения D. Надеюсь, что те читатели, которых можно отнести к приверженцам той или иной формы D, все же потерпят меня еще некоторое время, а я пока попробую выяснить, к чему нас может привести в данном случае научный подход.

Какие же научные последствия может иметь допущение, что математические суждения мы получаем в результате выполнения некоей необходимой и непостижимой алгоритмической процедуры? Вырисовывается приблизительно такая картина: исключительно сложные алгоритмические процедуры, необходимые для моделирования подлинного математического понимания, являются результатом многих сотен тысяч лет (по меньшей мере) естественного отбора вкупе с несколькими тысячами лет воздействия обучения и внешних факторов, обусловленных физическим окружением. Можно допустить, что наследуемые аспекты этих процедур формировались постепенно из более простых (ранних) алгоритмических компонентов в результате того же давления естественного отбора, которое ответственно за возникновение всех остальных в высшей степени эффективных механизмов, из которых составлены как наши тела, так и наши мозги. Врожденные потенциально математические алгоритмы (т.е. все те унаследованные аспекты, которые могли бы относиться к математическому мышлению, предположительно алгоритмическому) до поры пребывали в закодированном состоянии (в виде неких особых последовательностей нуклеотидов) внутри молекул ДНК, а затем проявились посредством той же процедуры, какая задействуется при всяком постепенном (либо скачкообразном) усовершенствовании живого организма, реагирующего на давление отбора. Помимо прочего, свой вклад в эти процессы вносят и всевозможные внешние факторы — такие как непосредственное математическое образование, опыт взаимодействия с физическим окружением, прочие факторы, оказывающие дополнительно самые разные чисто случайные воздействия. Думаю, мы должны попытаться выяснить, можно ли полагать описанную картину хоть сколько-нибудь правдоподобной?

Алгоритм или алгоритмы?

Прежде всего, необходимо рассмотреть следующий весьма важный вопрос: может ли оказаться, что за различные виды математического понимания, свойственные разным людям, отвечает множество весьма различных, возможно, неэквивалентных алгоритмов? В самом деле, уж в чем мы можем быть с самого начала уверены, так это в том, что даже профессиональные математики часто воспринимают математические «реалии» совершенно по-разному. Для одних в высшей степени важны зрительные образы, тогда как другим удобнее иметь дело с четкими логическими структурами, изящными абстрактными доказательствами, подробными аналитическими обоснованиями или, возможно, чисто алгебраическими манипуляциями. В этой связи следует отметить, что, по некоторым предположениям, геометрическое, например, и аналитическое мышление осуществляются разными полушариями мозга (соответственно, правым и левым)44. Однако часто бывает так, что всеми этими способами воспринимается одна и та же математическая истина. С алгоритмической точки зрения первое впечатление таково: алгоритмы, отвечающие за математическое мышление различных людей, должны быть как минимум абсолютно неэквивалентными. Однако, несмотря на существенное различие между образами, которые формируют в сознании отдельные математики (или прочие смертные) для собственного понимания или для сообщения другим математических идей, математическое восприятие обладает одним поразительным свойством: когда математики наконец решают для себя, что именно следует считать неопровержимо истинным, никаких разногласий по этому поводу больше не возникает, разве что поводом для такого разногласия послужит какая-либо действительная, опознаваемая (а следовательно, и исправимая) ошибка в рассуждениях того или иного математика (еще один возможный повод для разногласий предоставляет принципиальное расхождение во мнениях по некоторым — весьма немногочисленным — фундаментальным вопросам; см. комментарий к Q11, в особенности утверждение G ***). В целях упрощения изложения я позволю себе в дальнейшем последнее соображение проигнорировать. Хотя это соображение и имеет некоторое отношение к предмету нашего разговора, на выводы оно заметного влияния не оказывает. (Придерживаемся ли мы нескольких возможных неэквивалентных точек зрения на какой-то вопрос или все соглашаемся на одной — существенного различия между этими двумя ситуациями в данном случае нет.)

Восприятие математической истины может осуществляться самыми различными способами. Вряд ли можно усомниться в том, что вне зависимости от конкретной природы физических процессов, обусловливающих осознание человеком истинности какого-либо математического утверждения, эти процессы должны весьма и весьма разниться от индивидуума к индивидууму, даже если речь идет об одном и том же утверждении. Иначе говоря, если математики при составлении суждений о неопровержимой истинности того или иного утверждения просто-напросто применяют какие-то вычислительные алгоритмы, то у разных математиков эти самые алгоритмы должны весьма значительно различаться по своей структуре. При этом упомянутые алгоритмы должны быть еще и эквивалентны друг другу в некотором очевидном смысле.

Это условие, возможно, не так уж и абсурдно, как может показаться на первый взгляд — по крайней мере, с точки зрения математически возможного. Весьма разные на вид машины Тьюринга могут давать на выходе идентичные результаты. (Рассмотрим, например, машину Тьюринга, построенную следующим образом: при выполнении действия над натуральным числом n мы получаем в результате 0 всякий раз, когда n выразимо в виде суммы четырех квадратов, и 1, когда n таким образом выразить нельзя. Результат вычисления такой машины полностью совпадает с результатом другой машины, построенной таким образом, чтобы давать на выходе 0 при подаче на вход любого натурального числа n — ибо известно, что в виде суммы четырех квадратов можно представить любое натуральное число; см. §2.3.) Из идентичности внешних конечных результатов двух алгоритмов вовсе не обязательно следует, что эти алгоритмы окажутся подобными по внутренней структуре. Однако, в определенном смысле, рассматриваемое допущение еще более запутывает вопрос о происхождении нашего гипотетического непостижимого алгоритма(-ов) для установления математической истины, поскольку теперь нам предстоит иметь дело уже с несколькими такими алгоритмами, достаточно отличными друг от друга по внутренней структуре, но при этом существенно эквивалентными в отношении получаемого на выходе результата.