Задачи на нахождение биномиальных коэффициентов.

Задача 1.

Найти разложение (х+3)³

Решение.

Воспользуемся треугольником Паскаля.

Поскольку треугольник Паскаля строится с помощью биноминальных коэффициентов, то каждый ряд будет соответствовать (a+b) в степени равной номеру строки.

Из этого следует, что ³ 1х³+3х² 3+3х 3²+3³=х³+9х²+27х+27

Пример. Написать разложение вида:

(x + y)⁷.

Решение. Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером 6 и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером 7:

6	1 6 15 20 15 6 1
7	1 7 21 35 35 21 7 1

Следовательно,

(x + y)⁷ = x ⁷ + 7 x ⁶ y + 21 x ⁵ y ² + 35 x ⁴ y ² + 35 x ³ y ⁴ + 21 x ² y ⁵ + 7 xy ⁶ + y ⁷.

Задача 2.

Найдите разложение (4+2х)⁵

Решение.

(4+2х)⁵=4⁵+

Нахождение степеней числа 11 с помощью треугольника Паскаля.

Задача 1.

Найдите 11³.

Решение.

Для вычисления этой задачи нам необходимо найти ряд в треугольнике, номер которого будет соответствовать степени, в которую нам необходимо возвести 11.

Если степень меньше пяти, то необходимо просто переписать числа в ряду по порядку.

Третий ряд записывается так: 1 3 3 1.

Поэтому 11³=1331

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56.

 

З адача 2. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Р ешение:

 

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.

Задача3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Р ешение. Сначала найдём общее число возможных исходов, т.е. сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради из 12 тетрадей

А сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради в клетку из имеющихся 5 тетрадей?

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

По формуле нахождения вероятности получим

 

 

1. Заключение

Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования, а именно: объект и предмет исследования, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема.

В данной работе была дана общая характеристика треугольника как геометрической фигуры, был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства.

Я пришла к выводу, что одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Используя треугольник Паскаля, можно решить задачи из теории вероятности.