Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2020-07-07 | 77 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 1. Пусть X = X q – группа характеров аддитивной группы поля F = = Fq; c - характер группы X; c0 – главный характер группы X. Если c¹c0, c – элемент поля F, то
Доказательство. Рассмотрим два случая.
1. Пусть с = 0. Тогда c(ca) = c(0) = 1 и
.
2. Пусть с ¹ 0. Тогда, если элемент a пробегает все элементы поля Fq, то элемент ca также пробегает все элементы поля Fq. Поэтому
.
Так как c¹c0 , то существует такой элемент d Î Fq, что c(d)¹ 1. Применяя свойства характеров последовательно получим:
.
Так как c(d)¹ 1, то c(d)- 1 ¹ 0 и поэтому
.
Теорема 2. Пусть X = X q – группа характеров аддитивной группы поля F = = Fq; c - характер группы X; c0 – главный характер группы X. Если c¹c0, c – элемент поля F, то
Другими словами
Доказательство. Применяя свойства характеров, получаем
.
Отсюда применяя теорему 1, получаем утверждение этой теоремы.
Теорема 3. Пусть X = X q – группа характеров аддитивной группы поля F = = Fq; c - характер группы X; c0 – главный характер группы X. Если c¹c0, gÎ Vn и V * n – множество ненулевых векторов пространства Vn, то
Доказательство. Следует из теоремы 2, так как
Пример 1. Пусть . Для любых a, x, y Î Z выполняются свойства:
1)
2)
3) если x º y (mod t), то .
Таким образом, - характер на аддитивной группе классов ычетов по модулю t.
Теорема 4. Пусть a Î Z. Тогда
Доказательство. Следует из того, что функция - характер аддитивной группы гласов вычетов по модулю t.
Обозначения. Пусть
d x + n = a 1d x+n- 1+…+ an+ 1d n +1 + an d n; (1)
f (l) = l n - a 1l n - 1 - …+ an Î Fq [l]
– характеристический многочлен уравнения (1), t = ord f; d - какое-нибудь решение этого уравнения; d(0), d(1),…, d( k ) – все с точностью до сдвига решения уравнения (1); L (f) = {d(0), d(1),…, d( k )} – множество всех этих решений; c – неглавный характер аддитивной группы поля F = Fq; gÎ Vn; a – целое число; N – натуральное число;
|
Теорема 5. Пусть t = ord f; d - какое-нибудь решение этого уравнения. Тогда
Доказательство. Пусть t = per d - примитивный период последовательности d. По теореме 1 параграфа 6 t(d) = ord m d(l). По свойству минимального многочлена m d(l)| f (l). По определению порядка многочлена, ord f (l) – такое наименьшее натуральное число t, что f (l)| (l t – 1). Тогда m d(l)| (l t – 1). Далее t(d) равно такому наименьшему натуральному числу t, что m d(l)| (lt – 1). Отсюда t £ t. Докажем, что t | t. Допустим противноe, что t = t q + r, где 0< r < t. Тогда применяя деление с остатком для многочленов получим
l t – 1 = (lt – 1)(l t - t + l t - 2t + …+ l t - q t) + l r – 1.
В силу сказанного выше отсюда получаем
m d(l)| (l r – 1).
Последнее равенство, противоречит определению порядка. Следовательно, t = t q и последовательности длины t, ее период укладывается t / t раз. Следовательно,
Теорема 6. Справедливы формулы
1) (2)
2) (3)
Доказательство. В силу того, что период последовательности целое число раз укладывается на ее отрезке длины t, получаем
.
Отсюда
В силу теоремы 3 параграфа 9
.
Отсюда, используя теорему 1 параграфа 9, получаем
Заметим, что per b = t. По теореме 2 параграфа 10
Поэтому в сумме выше не равны нулю только такие внутренние суммы, где b x = b y, т.е. x = y, когда внутренняя сумма равна pn. Последних случаев t. Следовательно,
.
Полагаем в последней сумме a = 0 и получаем
.
Применяем теорему 5
.
Так как per d( j ) = tj, n = deg f, t = ord f, то отсюда находим
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!