Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2020-07-07 | 75 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть
d x + n = a 1d x+n- 1+…+ an+ 1d n +1 + an d n; (1)
f (l) = l n - a 1l n - 1 - …+ an Î Fp [l] –
Пусть Vn – n -мерное векторное пространство над полем Fp; 0 – нулевой вектор пространства, a·b - скалярное произведение векторов a и b Î Vn; c - характер аддитивной группы поля ; c0 – главный характер аддитивной группы поля .
Для каждого j Î {0, 1,…, n -1} - решение уравнения (1) с начальными значениями:
,
где A – матрица рекурсивного уравнения (1); B – матрица, транспонированная к матрице A. Имеем
.
Пусть d( j ) , 0 £ j £ k – все различные решения уравнения (1), такие что ни одно из них не может быть получено сдвигом из другого; их множество условимся обозначать символом L (f), таким образом, L (f) = {d( j ) | 0 £ j £ k }. Пусть
tj = t(d( j ));
. (2)
Теорема 1. Множество векторов
(3)
совпадает с множеством всех векторов пространства Vn.
Доказательство. Так как (3) Í Vn, то достаточно показать, что любой вектор a = (a0, a1, …, a n - 1) Î Vn принадлежит (3). Вектор a можно взять в качестве начального значения решения уравнения (1) и по нему построить решение уравнения (1). Так как среди начальных значений (2) содержаться все возможные, отличные друг от друга с точностью до сдвига, то вектор a содержится среди векторов (3).
Теорема 2. Справедливы равенства
a) " x Î Z A ·D x = D x + 1;
b) " x Î Z Ax ·D0 = D x .
Доказательство. a)
.
b) Из a) последовательно получаем
Ax ·D0 = Ax- 1·(A ·D0) = Ax- 1·D1 = …= A ·D x- 1 = D x.
Теорема 3. " x Î Z," y Î Z
. (4)
Доказательство. При фиксированном y равенство (4) верно при x = 0, x = 1, …, x = n -1:
Далее
.
Таким образом, решения d x + y и b x ·D y равны при n последовательных значениях переменного x. Следовательно, они равны при любых x Î Z.
|
Теорема 4. Справедливы равенства
c) " x Î Z B ·b x = b x + 1;
d) " x Î Z Bx ·b0 = b x .
Доказательство. a) В равенстве (4) полагаем y = 1, заменяем d x на r x ( k ) и получим
. (5)
В равенстве (5) полагаем последовательно k = 0, k = 1, …, k = n -1:
Таким образом, получаем
b x + 1 = B ·b x
и равенство a) доказано.
b) Из a) последовательно получаем
Bx ·b0 = Bx- 1·(B ·b0) = Bx- 1·b1 = …= B ·b x- 1 = b x.
Теорема 5. " x Î Z
. (6)
Доказательство. Из равенства (1) имеем
Теорема 6. Справедливы утверждения:
a) Если d - главное решение уравнения (1), то для любого x Î Z векторы D x, D x + 1, …, D x + n - 1 линейно независимы над полем Fp.
b) для любого x Î Z векторы b x, b x + 1, …, b x + n - 1 линейно независимы над полем Fp.
Доказательство. a) Докажем, что векторы D x, D x + 1, …, D x + n - 1линейно независимы над полем Fp. Допустим противное, что существуют не все равные нулю элементы c 1, c 2, …, cn поля Fp, что
c 1D x + c 2D x + 1 + …+ cn D x + n - 1 = 0. (7)
Умножая обе части этого равенства на A - x, по теореме 2 получим
c 1D0 + c 2D1 + …+ cn D n - 1 = 0.
Последнее невозможно, так как при изоморфном отображении t пространства S (f) на Vn базису (d, T ·d, …, Tn - 1·d) отвечает набор (D0, D1, …,D n - 1). При изоморфизме линейно независимая система векторов переходит в линейно независимую систему.
b) Допустим противное, что существуют не все равные нулю элементы c 1, c 2, …, cn поля Fp, что
c 1b x + c 2b x + 1 + …+ cn b x + n - 1 = 0. (7)
Умножая обе части этого равенства на B - x, по теореме 5 получим
c 1b0 + c 2b1 + …+ cn b n - 1 = 0.
Последнее невозможно, так как векторы (b0, b1, …,b n - 1) линейно независимы над полем Fp.
Теорема 7. t(b) = t.
Доказательство. Так как примитивный период главного решения уравнения (1) равен t, а главное решение базис пространства S (f), то
" x Î Z [d x + t = d x ]
для любого решения d уравнения (1). Следовательно,
" x Î Z [b x + t = b x ].
С другой стороны, если
" x Î Z [b x + m = b x ],
|
то
" x Î Z [r x + m ( j ) = r x ( j )]
для каждого j = 0,…, n - 1 и в частности для j = n – 1. А так как r( n - 1) – главное решение уравнения (1), то m ³ t.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!