Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2020-11-03 | 144 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим гомотетию с центром М и коэффициентом -1/2. Точка А переходит при этой гомотетии в . Пусть В переходит в В' (рис. 2). Тогда = - АВ. С другой стороны, средняя линия получается из стороны ВА при гомотетии с центром С и коэффициентом 1/2; таким образом:
=
Итак, , следовательно, В'= . Таким образом, треугольники ABC и гомотетичны, причем центр гомотетии лежит в точке М. По определению гомотетии, точки В, М и В' = лежат на одной прямой.
Третье доказательство(9 класс).
Рассмотрим треугольники MAC и М С (рис. 3). Их высоты, опущенные из вершины С, совпадают, а длины противолежащих этой вершине сторон относятся как 2:1, поэтому , где S обозначает площадь. Аналогично, . Но . Следовательно,
. Таким образом, треугольники МАВ, МВС и МСА равновелики. Пусть В' - точка пересечения прямых ВМ и АС. Докажем, что АВ' = В'С. С одной стороны,
С другой стороны,
.
Пользуясь теоремой
,
отсюда получаем
.
Четвертое доказательство (9 класс).
ВМ= ВС + СА+АМ=ВС + СА+
Следовательно, точка М лежит на медиане .
Пятое доказательство (9 класс).
Опять рассмотрим точку В' пересечения прямых ВМ и АС (рис. 3). Применяя теорему синусов сначала к треугольникам АВ'В и СВ'В, а затем - к треугольникам АВМ и ВМ и учитывая, что sin AB ' B = sin CB ' B, sin AMB = = sin MB, BC=2 B и МА = 2M , получим
.
Шестое доказательство(10 класс).
Проведем через точки А и В плоскость а, не содержащую С, и построим в этой плоскости правильный треугольник ABC (рис. 5). Из общих свойств параллельной проекции следует, что параллельная проекция вдоль прямой С переводит треугольник АВС в треугольник АВ , причем медианы треугольника ABC проектируются в медианы треугольника AB . Но в правильном треугольнике медианы являются и биссектрисами, а следовательно, пересекаются в одной точке. Легко доказать также (докажите!), что для треугольника AB справедливы равенства (1).
|
Отсюда вытекает, что наша теорема верна и для треугольника АВС.
Упомянем еще одно, быть может, самое простое и естественное доказательство теоремы о медианах: если поместить в вершины треугольника равные массы и поочередно группировать их парами, мы получим, что центр всех трех масс лежит на каждой из медиан. Центр системы равных масс, помещенных в некоторые точки, называется центроидом этого набора точек, поэтому и точку пересечения медиан треугольника часто называют его центроидом.
Заключение
Исходя из проделанной работы можно сделать следующие выводы:
1. Одну теорему можно доказать разными способами. Это гораздо полезнее. Ведь ее можно изучить с разных сторон, используя различные методы и темы курса 8-10 классов.
2. Медиана была изучена многими учеными, но особый вклад в ее развитие внес немецкий ученый Г. Лейбниц. Он обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки.
Из этой теоремы следует, что точка на плоскости для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной, - это точка пересечения медиан этого треугольника.
3. Медианы используются не только в геометрии, но и в физике, и в статической математике. Для вычисления среднего арифметического и др.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!