Энергия, переносимая звуковой волной.

Волны в жидкостях и газах.

В жидкостях и газах возможны лишь деформации сжатия и растяжения, поэтому в них могут распространятся только продольные волны. Хотя мы ранее и рассчитывали скорость распространения возмущений в газе, тем не менее вычислим скорость распространения продольных волн с использованием волнового уравнения. Последнее может быть получено из (4.74), в котором следует заменить величиной где - давление в волне, - равновесное давление в среде, - возмущение давления. Тогда мы можем записать

 (5.5)

Чтобы из (5.5) получить волновое уравнение, необходимо знать материальное уравнение среды

 (5.6)

Качественно эта зависимость изображена на рис. 5.6. При очень малых возмущениях плотности и давления из (5.6) получаем:

 (5.7)

где введено обозначение

(5.8)

Рис. 5.6.

С учетом (4.69) и (4.72) возмущения плотности в (5.7) связаны со смещением s соотношением:

 (5.9)

Следовательно, (5.7) примет вид:

(5.10)

Подставляя (5.10) в (5.5), записывая и переходя к пределу при получим волновое уравнение

 (5.11)

из которого сразу видно, что скорость волны задается выражением (5.8) и не зависит от частоты (дисперсия отсутствует). Естественно, что с такой скоростью распространяются волны с длиной волны превосходящей длину свободного пробега молекул в газе или межатомные расстояния в жидкостях В этом случае жидкость и газ могут рассматриваться как сплошные среды. Для волн высоких частот, когда возникает дисперсия, а волны с длиной распространяться вообще не могут.

Упругие волны в жидкостях и газах, как, впрочем, и в твердых телах, называются акустическими, а раздел физики, который их изучает - акустикой. Частоты этих волн лежат в диапазоне от долей герца (инфразвук) до 10¹³ Гц (гиперзвук). Этим частотам соответствуют длины волн от десятков километров до нескольких ангстрем. Значения скоростей (фазовых и групповых) для разных сред лежат в диапазоне от долей до десятков км/с.

Для воздуха материальное уравнение (5.6) является уравнением адиабаты и в акустике обычно записывается в виде (см. также предыдущие лекции):

 (5.12)

где - показатель адиабаты.

Тогда из (5.8) скорость волны (в акустике употребляют термин "скорость звука") в газе получается равной

 (5.13)

где  – молярная масса газа.

Скорость звука зависит, таким образом, от рода газа и по порядку величины совпадает со средней скоростью теплового движения молекул.

Для жидкости материальным уравнением является полуэмпирическое уравнение Тета:

(5.14)

где  – характерное внутреннее давление, обусловленное межмолекулярным взаимодействием (оно составляет для большинства жидкостей без пузырьков и различных включений несколько тысяч атмосфер). Параметр имеет порядок нескольких единиц (например, для воды ).

В таблице приведены значения скорости звука, измеренные в некоторых газах (при температуре ) и жидкостях.

Газы	Скорость звука, м/с	Жидкости	Скорость звука, м/с
Водород	1265	Вода	1490
Гелий	965	Этил. спирт	1180
Азот	334	Водород	1127
Воздух	331	Кислород	911
Кислород	316	Азот	867
Углекислота	216	Гелий	180

Эффект Доплера.

Наблюдая за проходящим мимо поездом или движущимся автомобилем, мы замечаем, что высота тона подаваемого ими звукового сигнала постоянно изменяется. Это и есть одно из проявлений эффекта Доплера, состоящего в изменении частоты звука при относительном движении источника и приемника. Рассмотрим это явление несколько подробнее.

Пусть источник И (рис. 5.19а) излучает монохроматическую (т.е. гармоническую) акустическую волну частоты Тогда длина этой волны, распространяющейся в воздухе со скоростью с, будет равна:

(5.37)

 

Рис. 5.19.

Если теперь источник будет двигаться со скоростью в направлении распространения волны, то волна будет "отрываться" от источника со скоростью и её длина уменьшится (рис. 5.19б):

 (5.38)

Достигнув неподвижного приемника П, эта волна будет воздействовать на него с частотой

(5.39)

которая будет больше исходной частоты При движении источника в противоположном направлении эта частота уменьшится. Именно это изменение частоты тона сигнала мы фиксируем при приближении и последующем удалении поезда или автомобиля.

Изменение частоты будет также и при движении приемника П, однако физическая причина этого изменения состоит в том, что волна с длиной будет поступать в приемник со скоростью (если приемник движется навстречу волне). Следовательно, частота воздействия на приемник будет равна

(5.40)

и превысит исходную частоту.

В силу различия физических причин, приводящих к изменению частоты при движении источника и приемника, разнятся и формулы (5.39) и (5.40). Однако при как нетрудно убедиться, с точностью до членов порядка формула (5.39) может быть записана в виде (5.40).

При одновременном движении навстречу друг другу источника со скоростью и приемника со скоростью обе формулы можно объединить в одну

(5.41)

При удалении источника или приемника в формуле (5.41) следует изменить знак при соответствующей скорости.

При скоростях  формируются ударные волны, и формулы, описывающие изменение частоты, становятся несправедливыми.

Бинауральный эффект.

Этот эффект представляет собой психофизиологическое явление, заключающееся в слитном восприятии звуков, принимаемых правым и левым ухом. Он дает возможность определить направление на источник звука и играет существенную роль в музыкальной акустике (стереофония).

Рисунок 5.20 иллюстрирует этот эффект. Если волна падает под углом к линии, соединяющей оба уха (пунктиром изображен контур радиуса имитирующий голову человека), то волна достигнет левого уха позднее правого, а время задержки составит величину

(5.42)

где  – криволинейный путь, проходимый звуковой волной при огибании ею головы человека за счет дифракции (см. ниже).

 Рис. 5.20.

Кроме того, поскольку голова частично экранирует звук, то амплитуда волны, достигающей левого уха, несколько уменьшается. Совместное действие этих двух факторов дает человеку возможность определить направление на источник звука. Если период колебаний звуковой волны сравним со временем задержки:

 (5.43)

то волны, падающие под углом, вызывают колебания барабанных перепонок левого и правого уха со сдвигом фаз  по которому человек и определяет направление прихода волны.

Если положить  то для волн с периодом  условие (5.43) не выполняется, и определить направление по сдвигу фазы становится затруднительно. Однако остается возможность сравнить амплитуды волн, достигающих обоих ушей, и тем самым определить угол

Интерференция волн.

В предыдущей лекции мы получили уравнение стоячей волны (4.34), описывающее колебания шнура (или иной среды), по которому навстречу друг другу распространяются две гармонические волны одинаковой частоты и амплитуды В результате наложения волн происходит перераспределение в пространстве объемной плотности энергии колебаний. В узлах, где волны встречаются в противофазе, эта энергия равна нулю. В пучностях, напротив, волны складываются в фазе, и энергия максимальна. Явление наложения волн, приводящее к перераспределению в пространстве объемной плотности энергии колебаний, носит название интерференции.

Интерференция является одним из фундаментальных явлений, присущих волнам различной природы (акустическим, электромагнитным, волнам на поверхности жидкости, плазменным волнам и др.). Она была хорошо известна еще во времена Ньютона, который осуществил замечательный опыт, приведший к открытию закономерностей интерференционной картины и получивший название "кольца Ньютона". Эти закономерности легко прослеживаются в опытах по интерференции капиллярных волн на поверхности жидкости. В следующей лекции дается описание характера движения частиц жидкости в таких волнах и устанавливается связь между частотой, длиной волны и скоростью ее распространения.

Один из таких опытов выглядит следующим образом (рис. 5.21). В неглубокую кювету К с большой площадью основания наливают воду. Волны на ее поверхности возбуждают с помощью вибратора В, приводящего в периодическое движение два маленьких шарика О₁ и О₂, которые являются точечными источниками волн. Эти шарики слегка погружены в воду и совершают синхронные колебания с частотой в направлении, перпендикулярном поверхности воды. От каждого из точечных источников распространяется волна с длиной и скоростью Гребни этих волн в фиксированный момент времени изображены на рисунке пунктиром. В результате наложения волн образуется интерференционная картина, которую удобно наблюдать в стробоскопическом освещении (освещая ее вспышками света, следующими также с частотой ). При таком освещении волны будут казаться практически неподвижными.

 Рис. 5.21.

Наиболее сильные возмущения поверхности будут наблюдаться в тех местах, где волны складываются в фазе. Говорят, что здесь располагаются интерференционные максимумы. В местах, куда волны приходят в противофазе, поверхность будет практически не возмущена: здесь располагаются интерференционные минимумы. Возмущение поверхности в произвольной точке M зависит от разности хода где и - расстояния от точки M до соответствующего точечного источника. Действительно, смещение s поверхности жидкости в точке M можно рассматривать как результат наложения двух синусоидальных (т.е. монохроматических) волн, прошедших расстояния и :

 (5.44)

Здесь предполагается, что обе волны в точке M имеют одинаковые амплитуды (хотя это и не совсем верно), и постоянные фазовые добавки и так что их разность не зависит от времени.

Выполняя в (5.44) суммирование, получаем:

(5.45)

Если положить для простоты то положение интерференционных максимумов определяется из условия

(5.46)

Поскольку то последнему условию соответствует разность хода

(5.47)

где

Каждому максимуму принято присваивать порядковый номер, определяемый соответствующим числом (максимум нулевого, первого, минус первого и т.д. порядка). Интерференционные минимумы располагаются в тех местах, где

(5.48)

и так же нумеруются

Рассмотренная интерференционная картина соответствует идеализированной ситуации. Реальные волны даже в лучшем случае являются квазимонохроматическими. Для таких волн амплитуды и фазы и являются медленно меняющимися функциями времени (заметные изменения этих функций происходят за время ). Однако, если оба шарика приводятся в колебательное движение одним вибратором, разность фаз в (5.45) остается постоянной, положение интерференционных максимумов задается формулой (5.47) и не зависит от времени.

В практически важных случаях источники интерферирующих волн могут быть независимы. В нашем опыте это можно осуществить, если использовать два вибратора, к каждому из которых присоединен маленький шарик. Тогда разность фаз будет также изменяться на масштабе времени и ее можно записать в виде

(5.49)

где  – среднее по времени значение разности фаз, - знакопеременная функция. Считая для простоты в (5.45)  приходим к выводу, что интерференционная картина, как целое, будет достаточно хаотично смещаться в разные стороны. Если такую картину снимать на кинопленку со временем экспозиции кадра  то на каждом кадре будет отпечатана усредненная за время "размазанная" картина. Она может стать совсем неразличимой, если интерференционные максимумы будут смещаться на величины, равные или превышающие расстояния между соседними максимумами. Такая ситуация достаточно часто встречается при интерференции световых волн. Чтобы полного "смазывания" картины не произошло, очевидно, необходимо выполнение следующего условия:

(5.50)

Чем лучше выполняется это неравенство, тем выше качество картины. Так, например, для световых волн  и при визуальном наблюдении (для органов зрения ) мы всегда регистрируем "размазанную" интерференционную картину.

С качеством картины напрямую связано понятие когерентности интерферирующих волн. Когерентность характеризуется безразмерным коэффициентом (степенью когерентности), который может меняться в интервале  Чем выше качество картины, тем больше степень когерентности. Для монохроматических волн, конечно,

Этим замечанием о когерентности волн мы здесь и ограничимся, а детальное описание этого понятия будет дано в курсе "Оптика".

Дифракция волн.

В упрощенном смысле под дифракцией понимают круг явлений, в которых проявляется отступление от прямолинейного распространения волн. Такое понимание дифракции, вообще говоря, неверно, поскольку прямолинейное распространение волн является лишь определенным приближением. Действительно, специфика любого волнового движения проявляется в том, что это движение, возникнув вначале в ограниченной области, стремится распространиться в равной степени во все стороны. Выбором специальной формы этой области можно добиться того, что волна побежит преимущественно в некоторых направлениях. Вдоль одного из таких направлений побежит фрагмент волны, который с определенной точностью можно считать движущимся прямолинейно.

Для наблюдения основных закономерностей дифракции видоизменим характер возбуждения волн на поверхности воды в описанном ранее опыте. В качестве источника волны вместо шариков будем использовать пластину O₁O₂, длина которой т.е. заметно превышает длину волны (рис. 5.22). В результате по поверхности воды побежит "плоская" волна в направлении, перпендикулярном пластине. Отчетливо наблюдаются две прямолинейные границы Г₁ и Г₂, отделяющие возмущенную волной и гладкую части поверхности воды. Для этой последней части можно употребить заимствованный из оптики термин: "область геометрической тени". Саму волну часто называют волновым пучком, или лучом. В этом эксперименте можно считать, что волна распространяется прямолинейно и не заходит в область тени. Это связано с тем, что размер ее волнового фронта

 Рис. 5.22.

Уменьшим теперь этот размер. Это наиболее просто осуществить, если параллельно пластине O₁O₂ установить две вертикальные стенки С₁ и С₂, расстояние между которыми можно изменять (рис. 5.23).

 Рис. 5.23.

Если сделать то волна начнет постепенно заходить в область тени, а ее фронт будет искривляться. На некотором характерном расстоянии волновой пучок приобретет заметную угловую расходимость и далее будет распространяться по части поверхности, ограниченной углом При уменьшении зазора между стенками угол возрастает, а расстояние уменьшается. Это отступление от прямолинейного распространения является результатом дифракции, существенно тогда, когда

Не составляет труда оценить величины и используя подход, предложенный французским ученым О. Френелем в XIX столетии для объяснения дифракции световых волн. Следуя Френелю, участок фронта падающей волны в зазоре между стенками можно рассматривать как цепочку из близко расположенных одинаковых точечных источников (рис. 5.24).

 Рис. 5.24.

Возмущение в любой точке M поверхности воды есть результат интерференции волн от этих, так называемых "вторичных" источников, и зависит от разности хода всех интерферирующих волн. В практически важных случаях расстояния поэтому отрезки можно считать параллельными. Понятно, что в точку P, лежащую на оси волнового пучка, интерферирующие волны приходят в фазе и возмущение поверхности в ней будет максимальным. Напротив, в точке M волны могут погасить друг друга, если разность хода между волнами от крайнего источника O₁ и среднего источника будет равна Поскольку эта разность, как видно из рис. 5.24, равна то

(5.51)

Аналогично, в противофазе будут приходить волны и от других пар источников  Говорят, что в точке M будет наблюдаться первый минимум дифракционной картины. Не составляет труда написать условие, подобное (5.51), и для других минимумов. Однако, как показывает строгий анализ, более 90% всей энергии переносится волной в пределах угла  Поэтому на рисунке (5.23) границы Г₁ и Г₂ весьма условны и очерчивают лишь основную, наиболее энергоемкую часть пучка.

Для оценки дифракционной расходимости волновых пучков используется угол который при оценивается согласно (5.51) по формуле

(5.52)

Такую расходимость пучок приобретает на некотором характерном расстоянии Его можно легко оценить из рисунка 5.25, на котором пунктиром изображены асимптоты к границам Г₁ и Г₂. Будем условно считать, что на расстоянии поперечный размер пучка удвоился и стал равным Тогда с учетом (5.52) мы можем записать:

(5.53)

Отсюда

(5.54)

Величина называется дифракционной длиной пучка с длиной волны и поперечным размером Она определяет масштаб расстояний, на которых развивается заметная дифракция пучка.

 

Рис. 5.25.

Сделаем некоторые оценки. В опыте, изображенном на рисунке (5.22), и Это означает, что в кювете дифракция просто не успевает заметно развиться. При уменьшении (рис. 5.23) до величины дифракционная длина пучка и дифракция становится отчетливо видна.

Если на пути волнового пучка поставить препятствие - стенку С (рис. 5.26), то сразу за стенкой будет тень, однако волна, пройдя расстояние обогнет препятствие. Иллюстрацией к сказанному является, например, возможность услышать звуковой сигнал автомобиля, находясь позади небольшого строения. Однако за многоэтажный дом звук практически не проникает.

 

Рис. 5.26.

 

Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны. Капиллярные волны. Цунами. Внутренние волны. Акустические волны большой амплитуды. Линейный и нелинейный режимы распространения. Уединенные волны (солитоны).

Волны в жидкостях и газах.

В жидкостях и газах возможны лишь деформации сжатия и растяжения, поэтому в них могут распространятся только продольные волны. Хотя мы ранее и рассчитывали скорость распространения возмущений в газе, тем не менее вычислим скорость распространения продольных волн с использованием волнового уравнения. Последнее может быть получено из (4.74), в котором следует заменить величиной где - давление в волне, - равновесное давление в среде, - возмущение давления. Тогда мы можем записать

 (5.5)

Чтобы из (5.5) получить волновое уравнение, необходимо знать материальное уравнение среды

 (5.6)

Качественно эта зависимость изображена на рис. 5.6. При очень малых возмущениях плотности и давления из (5.6) получаем:

 (5.7)

где введено обозначение

(5.8)

Рис. 5.6.

С учетом (4.69) и (4.72) возмущения плотности в (5.7) связаны со смещением s соотношением:

 (5.9)

Следовательно, (5.7) примет вид:

(5.10)

Подставляя (5.10) в (5.5), записывая и переходя к пределу при получим волновое уравнение

 (5.11)

из которого сразу видно, что скорость волны задается выражением (5.8) и не зависит от частоты (дисперсия отсутствует). Естественно, что с такой скоростью распространяются волны с длиной волны превосходящей длину свободного пробега молекул в газе или межатомные расстояния в жидкостях В этом случае жидкость и газ могут рассматриваться как сплошные среды. Для волн высоких частот, когда возникает дисперсия, а волны с длиной распространяться вообще не могут.

Упругие волны в жидкостях и газах, как, впрочем, и в твердых телах, называются акустическими, а раздел физики, который их изучает - акустикой. Частоты этих волн лежат в диапазоне от долей герца (инфразвук) до 10¹³ Гц (гиперзвук). Этим частотам соответствуют длины волн от десятков километров до нескольких ангстрем. Значения скоростей (фазовых и групповых) для разных сред лежат в диапазоне от долей до десятков км/с.

Для воздуха материальное уравнение (5.6) является уравнением адиабаты и в акустике обычно записывается в виде (см. также предыдущие лекции):

 (5.12)

где - показатель адиабаты.

Тогда из (5.8) скорость волны (в акустике употребляют термин "скорость звука") в газе получается равной

 (5.13)

где  – молярная масса газа.

Скорость звука зависит, таким образом, от рода газа и по порядку величины совпадает со средней скоростью теплового движения молекул.

Для жидкости материальным уравнением является полуэмпирическое уравнение Тета:

(5.14)

где  – характерное внутреннее давление, обусловленное межмолекулярным взаимодействием (оно составляет для большинства жидкостей без пузырьков и различных включений несколько тысяч атмосфер). Параметр имеет порядок нескольких единиц (например, для воды ).

В таблице приведены значения скорости звука, измеренные в некоторых газах (при температуре ) и жидкостях.

Газы	Скорость звука, м/с	Жидкости	Скорость звука, м/с
Водород	1265	Вода	1490
Гелий	965	Этил. спирт	1180
Азот	334	Водород	1127
Воздух	331	Кислород	911
Кислород	316	Азот	867
Углекислота	216	Гелий	180

Энергия, переносимая звуковой волной.

Интенсивность звука задается формулой (4.65)

 (5.15)

и пропорциональна квадрату частоты. Поэтому при переходе в область высоких частот облегчается задача получения больших интенсивностей, необходимых, например, для наблюдения нелинейных эффектов (см. следующую лекцию). В зависимости от решаемой задачи в акустике используются волны с интенсивностью от 10^-8 Вт/см² до 10⁶ Вт/см².

Для практических целей интенсивность выражают через возмущение давления которое называют также "звуковым давлением". Наиболее просто такую зависимость можно получить из (5.15) при учете, что амплитуда скорости колебаний частиц С другой стороны, в соответствии с акустическим законом Ома (формула (3.53) в лекции по механике сплошных сред) эта скорость равна

 (5.16)

где  – амплитуда колебаний возмущений давления  Поэтому

 (5.17)

Выполним некоторые простые оценки.

1. Вблизи струи газа, вытекающей из сопла реактивного двигателя самолета, амплитуда колебаний звукового давления (вспомним, что и Такое давление находится на пороге болевого ощущения (см. далее). Поскольку акустическое волновое сопротивление воздуха то Если принять, что частота (хотя из турбины исходит многочастотный шум), то амплитуда смещения Таким образом, смещение частиц воздуха даже при таком сильном звуке оказывается малым.

2. Звуки на пределе слышимости на частоте (ухо человека весьма чувствительно к этой частоте) имеют амплитуду звукового давления а смещение частиц воздуха Уместно заметить, что современные методы измерения смещений в принципе дают возможность зарегистрировать колебания с амплитудой

3. В ультразвуковых волнах с частотами порядка нескольких мегагерц интенсивности могут достигать нескольких сотен Вт/см², а с использованием фокусирующих устройств - даже более десятка кВт/см². Это приводит к появлению огромных ускорений частиц среды, в которой распространяется ультразвуковая волна. Например, при распространении в воде волны с частотой и интенсивностью амплитуда ускорения согласно (5.15), получается равной

 (5.18)

что на пять порядков превосходит ускорение свободного падения Учет появления таких громадных ускорений особенно важен в биологических исследованиях с применением ультразвука.

Поглощение звука.

Наличие вязкости и теплопроводности среды приводит к потере энергии звуковой волны, и эта энергия расходуется на нагревание среды. Волна давления а также волны смещения и скорости по мере распространения затухают. Здесь - радиус-вектор, задающий положение точки в трехмерном пространстве, в которой фиксируются возмущения давления, смещение частиц и их скорость. В случае гармонической волны, распространяющейся по одному направлению (вдоль оси Ox), возмущения давления записываются в виде

 (5.19)

где - коэффициент затухания. Это уравнение характеризует плоскую волну (возмущение в плоскости x = const одинаково). В этом случае отсутствует геометрическое расхождение волны. Амплитуда этой волны экспоненциально убывает с пройденным расстоянием. В соответствии с (5.17) интенсивность волны равна

(5.20)

где - начальная интенсивность волны. Если пренебречь потерями, связанными с теплопроводностью, то коэффициент согласно гидродинамике, оказывается равным

 (5.21)

где  – вязкость жидкости или газа. Важно отметить, что  Этим объясняется тот факт, что резкий звук выстрела или щелчка кнута, в спектре которого присутствует широкий набор частот, по мер<