Свойства усеченной пирамиды:

• Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.
• Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
• Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
• Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
• Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.

 

Усеченную пирамиду полученную из правильно пирамиды называют правильной.

Высоту боковой грани правильной усеченной пирамиды называют ее апофемой.

 

У правильной усеченной пирамиды:

• Боковые грани равны;
• Боковые ребра равны;
• Апофемы равны;
• Двугранные углы при каждом основании равны;
• Боковые углы при боковых ребрах равны.

Решение задач на тему «Пирамида. Усеченная пирамида».

Задача № 1. Основание пирамиды- параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды- 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра.

Решение:

1) АО- высота. АС=АВ=АЕ=AD, то DO=OВ=ОС=ОЕ, поэтому точка О- центр окружности описанной около параллелограмма BCDE. Но тогда параллелограмм является параллелограммом, диагонали которого пересекаются в точке О и равны друг другу.   BCDE- прямоугольник.

2) Из ∆BDC по теореме Пифагора , DB= =10 см., следовательно АО= 5 см

АО DBC. ∆АОD- прямоугольный, по теореме Пифагора , АD= =13 см.

 

Ответ: 13 см

 

Задача №2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 6 см, а боковое ребро 4 см. Найдите высоту пирамиды и апофему.

Решение:

1) Апофема- высота боковой грани правильной пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны друг другу, поэтому высота ED ∆АDВ является ее медианой, т.е. АЕ=ВЕ.

В прямоугольном треугольнике АDЕ DЕ=  см.

2) Проведем высоту пирамиды ОD.

Рассмотрим ∆DОЕ- прямоугольный, т.к. DО АBC.

По теореме Пифагора найдем DО, , т.к ∆АBC- правильный, ОЕ- радиус вписанной окружности, ОЕ=  =  см, следовательно DО = =2 см.

Ответ: 2 см

Задача № 3. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 2 м и 8 м. Боковое ребро равно 5 м. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

АА₁С₁ С- равнобокая трапеция. А₁С₁ и АС- диагонали соответственно верхнего и нижнего основания пирамиды. А₁С₁=2  см, АС= 8  см (как диагонали квадрата).

  Проведем высоты А₁Е и С₁К. АЕ=КС=(АС- А₁С₁)/2=(8 )/2=3  см.

∆А А₁Е- прямоугольный, по теореме Пифагора найдем А₁Е.

А₁Е=  см.

Ответ:  см

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. ЦИЛИНДР.

Тела вращения: цилиндр, конус, усеченный конус, шар, сфера.

Определение. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

прямая OO` - ось цилиндра

отрезок OO`- высота,

отрезок АА`= ВВ` - образующая

круг (О,ОВ) =кругу (O`, O`В`) – основание цилиндра

 

 

Если секущая плоскость цилиндра проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого образующие, а две другие- диаметры оснований цилиндра. Такое сечениеназывается осевым.

 

Определение. Цилиндр называется равносторонним, если осевое сечение является квадратом.

 

 Е сли секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом.

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Задача №1. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если рассто­яние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Решение:

А₁В₁ВА- прямоугольник. Из ∆АСО по теореме Пифагора АС=

AС= , AB=2

S=AB∙H= =2 ∙8=16∙4=64 см²

 

 

Ответ: 64 см²

 

Задача №2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Решение:

AA ₁ B ₁ B – квадрат, AB ₁ = 20 см, AB = H;  

                     (см²).

Ответ:   (см²).

КОНУС.

 

Определение. Конусом (круговым конусом), называется тело, которое состоит из круга- основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания- образующие конуса.

 

Определение Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

 

 

т. S – вершина конуса

круг (О,ОА) – основание конуса

SA=SB – образующие конуса

Отрезок SO – высота конуса

Прямая SO – ось конуса

 

 

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

 

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса

 

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

Определение. Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между его основанием и сечением, параллельным основанию. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры- высотой усеченного конуса.

h — высота усеченного конуса,

r₁  и r₂   — радиусы основания усеченного конуса, l — образующая усеченного конуса.

               

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

 

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция.

Задача №1. Высота конуса равна 15 см², а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Решение:

Из ∆РОВ по теореме Пифагора

 

Ответ:

Задача № 2. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите площадь основания конуса, если = 30 .

Решение:

SOB – прямоугольный, в нем катеты – SO, OB, гипотенуза – SB, = cos30  , ОВ = R (радиус основания) ОВ= SB∙  = 6   см.

В основании конуса лежит круг: S = R ,    S  =  (см )

Ответ:  (см )

Задача № 3. В усеченном конусе диагональ осевого сечения равна 10 см, радиус меньшего основания 3 см, высота 6 см. Найдите радиус большего основания.

Решение:

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция. ВД- диагональ данной трапеции. Из вершины В опустим высоту. ВК=ОО₁=6см. По теорема Пифагора, из ∆ДВК- прямоугольный, найдем ДК.  см. ДК=8 см. ДК=ДО₁+О₁К, О₁К=ОВ= 3 см.

Следовательно ДО₁= ДК- О₁К=8-3=5 см.

Ответ: 5 см.

ШАР.

Определение .  Шар - тело, которое состоит из всех точек пространства, находящих на расстоянии, не больше данного, от данной точки. Точка называется центром шара, а расстояние- радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

 

О – центр шара

ОА=ОВ – радиус шара

АВ – диаметр

 

 

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Плоскость, проходящая через центр шара называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы-  большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

 

Определение. Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

 

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку- точку касания.

 

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку- точку касания.

Теорема. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Задача № 1. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36 (м ). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Решение:

1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. S = r  , где r- радиус сечения.

   36  = r     r = 36 (м ), r = 6 см.

2. ОО^’ Х – прямоугольный

     (ОО^’ ) = OX - O^’X  - по  т. Пифагора

      (ОО^’ ) =100 – 36 =64, ОО^’ = 8 м

Ответ: 8 м

Задача № 2. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой А касательной плоскости, равен 17 см. Радиус шара 8 см. Найдите расстояние от точки А до точки касания шара с плоскостью и от точки А до ближайшей к ней точки шара.

 

Решение.

АК ОК. По теореме Пифагора из треугольника ОАК: АК² = АО² – ОК²,                      АК = = 15. AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы,   

AM = АО-ОМ = 17 – 8 = 9 см.

Ответ: 9. см