Эксперимент по вычислению приближенного значения

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ ВО «ВХМК»

 

 

 

 

Реферат на тему:

«СЕКРЕТЫ ЧИСЛА π»

                                                               

                                                                             Выполнил студент группы МО-11:

Архипушкин С.А.

Приняла:

Николаева О.С.

 

2017

 

Реферат выполнен в рамках индивидуального проекта по дисциплине:

«математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

под руководством Николаевой О.С.

Содержание:

Введение

1.1 Обоснование выбранной темы _____________________________________________________ 4

1.2 Цель работы __________________________________________________________________________ 4

История числа

2.1 Древний период ______________________________________________________________________ 5

2.2 Классический период ________________________________________________________________ 7

3. Современное состояние константы____________________________________9

Эксперимент по вычислению приближенного значения

отношения длины окружности к диаметру _____________________________11

5.Красивая загадка цифр числа пи _____________________________________12

6. Мнемонические правила ___________________________________________15 7. Математические задачи с практическим содержанием_________________18

8. Вывод ____________________________________________________________19

8. Литература_______________________________________________________20

Секреты числа

Введение

Обоснование выбранной темы.

Я выбрал эту тему, потому что в мире нет загадочней и интересней чисел, чем число «Пи» с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Число считают даже мистическим, не поддающимся рациональному объяснению. Это особенно удивительно потому, что математика – самая точная из всех наук. Но она имеет лишь предположения насчет закономерностей в хаотической последовательности математической константы. Это число не давало покоя всем ученым и, не только математикам. Хотя именно в этой области разделы науки не могут обойтись без законов великолепного числа «Пи». Число «Пи» — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.

Кто разгадал загадку этого числа, к сожалению, не знает никто. Но многие математики пытались приоткрыть завесу тайны…

 

Цель работы

Целью моего исследования является знакомство с загадочной и удивительной математической константой, чье существование значительно влияет на решение многих математических задач, на историческом материале показать важность проблемы вычисления числа π, раскрыть необходимость точных вычислений значения π  на современном этапе.

 

История числа

 

В 1794 году ученые доказали, что ПИ – бесконечное иррациональное число. Общепризнанным обозначением его является греческая буква "π". Загадка ПИ выходит далеко за пределы чистой математики, это число можно найти в формулах и явлениях, присущих другим наукам – астрономии, физике, теории относительности, генетике, статистике. Вездесущее число ПИ с его завораживающей последовательностью цифр, уходящей в бесконечность, для людей, неравнодушных к математике, является чем-то вроде произведения искусства. Так с чего же началась его история?

 

Древний период

Любой школьник вычисляет теперь длину окружности по диаметру гораздо точнее, чем мудрейший жрец древней страны пирамид или самый искусный архитектор великого Рима. В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего междуречья. Такое же значение можно увидеть в тексте библии: «И сделал литое из меди море, - от края его до края десять локтей, - совсем круглое … и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом». Однако уже во II тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. В папирусе Райнда, который датируется примерно 1650 г. до н.э. для числа р приводится значение (16/9) 2, это приблизительно 3,16. Древние римляне считали, что окружность длиннее диаметра в 3,12, между тем правильное отношение - 3, 14159… Египетские и римские математики установили отношение длины окружности к диаметру не строгим геометрическим расчетом, как позднейшие математики, а нашли его просто из опыта. Но почему получались у них такие ошибки? Разве не могли они обтянуть какую-нибудь круглую вещь ниткой и затем, выпрямив нитку, просто измерить её?

Возьмем, например, вазу с круглым дном диаметром в 100 мм. Длина окружности должна равняться 314 мм. Однако на практике, измеряя ниткой, мы едва ли получим эту длину: легко ошибиться на один миллиметр, и тогда р окажется равным 3,13 или 3,15. А если учесть, что и диаметр вазы нельзя измерить вполне точно, что и здесь ошибка в 1 мм весьма вероятна, то для р получаются довольно широкие пределы между 3,09 и 3,18.

С 4 в до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древнегреческие геометры строго доказали, что длина окружности пропорциональна ее диаметру, а площадь круга равна половине произведения длины окружности и радиуса S = Ѕ С R = р R2. Это доказательство приписывают Евклиду Книдскому и Архимеду.

Архимед в сочинении «Об измерении круга» вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников - от 6 - до 96-угольника. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку

Таким образом, он установил, что число р заключено в пределах

3,1408 < р < 3,1428. Значение 22/7 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа р для прикладных задач.

В «Алгебре» древнего арабского математика Магомета-бен-Муза о вычислении длины окружности читаем такие строки: «Лучший способ-это умножить диаметр на 3 1/7. Это самый скорый и самый легкий способ. Богу известно лучшее».

Чжан Хэн во 2 веке уточнил значение числа р, предложив два его эквивалента: 1) 92/29? 3,1724…, 2) v10.

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416.

Брахмагупта в 7 веке предложил в качестве приближения v10.

Около 265 года н.э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный алгоритм для вычисления р с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для р, р?3,14159.

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления р и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что р?355/113, и показал, что 3,1415926 < р < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа р в течение последующих 900 лет.

До II тысячелетия было известно не более 10 цифр р.

Классический период

Дальнейшие крупные достижения в изучении р связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить р с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of Sangamagrama) нашёл первый из таких рядов

Этот результат известен как ряд Мадхавы - Лейбница, или ряд Грегори - Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к р очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике - необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда.

Мадхава смог вычислить р как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа р, из которых 16 верные.

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа р с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа р. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число р иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета найденная Франсуа Виетом в 1593 году.

Другим известным результатом стала формула Валлиса: выведенная Джоном Валлисом в 1655 году. Ряд Лейбница, первым найден Мадхавой из Сангамаграма в 1400 году В новое время для вычисления р используются аналитические методы, основанные на тождествах. Эйлер, автор обозначения р, получил 153 верных знака. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом, у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные.

Мнемонические правила

Стихотворения для запоминания 8-11 знаков числа π:

***

Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

***

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:

«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».

 

Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:

***

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

 

Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах:

***

Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

***

Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!

— Георгий Александров

 

Подобные стихи существовали и в дореформенной орфографии. В следующем стихотворении, чтобы узнать соответствующую цифру числа π, надо считать и букву «еръ»:

Кто и шутя и скоро пожелаетъ
Пи узнать, число ужъ знаетъ.

7. Математические задачи с практическим содержанием

1. Какова должна быть длина этикетки для консервной банки, диаметр которой равен 16 см?

2. Спутник вращается по круговой орбите на высоте 100 км от поверхности Земли. Какова длина пути, проходимого спутником за 8 оборотов вокруг Земли?

3. Окружность арены во всех цирках мира имеет длину 40,8 м. Найдите диаметр и площадь арены.

4. Какова длина пути, пройденного туристом в результате кругосветного путешествия?

5. Диаметр циферблата Кремлевских курантов 6,12 м, длина минутной стрелки 2,54 м. Какова площадь циферблата? Какой путь проходит конец минутной стрелки курантов за час?

6. Длина экватора Луны приближенна равна 10,9 тыс. км. Чему равен диаметр Луны?

7. Диаметр CD равен 12 см. Найдите длину окружности.

8. Диаметр колеса тепловоза равен 180 см. За 2,5 мин колесо сделало 500 оборотов. С какой скоростью идет тепловоз?

 

Вывод

Я познакомился с загадочным числом, а так же узнал, что оно является универсумом в цифровом виде.

В ходе увиденных в исследовании цифр, пришел к небольшому выводу: полученное на практике отношение длины окружности к её диаметру приближается к 3,14. Точность вычисления числа «Пи» таким способом невелика: только в одном случае из 5 найденное значение константы содержит верную цифру в разряде сотых, в остальных случаях достигнута точность только в разряде десятых.

Точное значение числа Пи в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.

И, после проделанной мной работы, остался вопрос – как отыскать зашифрованные в числе правильные тексты, (ведь в нем есть все варианты, например, кроме текста «Анны Карениной», в котором Анну переезжает паровоз, там содержится и вариант, в котором Анна сама его переезжает) То есть, вместо точных данных, я получу их «зеркала». Как же тогда различить правду и ложь, спрятанную в константе?

Литература

 

Жуков А.В. Вездесущее число Пи. – Едиториал УРСС, 2004.

Жуков А. В. О числе π. – Едиториал УРСС, 2004.

Перельман  Я.И. «Занимательная геометрия». – М.: АСТ.Астрель, 2003.

Число Пи – магический геометрический символ. // Математика – 1993 - № 27 – 28.

 

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ ВО «ВХМК»

 

 

 

 

Реферат на тему:

«СЕКРЕТЫ ЧИСЛА π»

                                                               

                                                                             Выполнил студент группы МО-11:

Архипушкин С.А.

Приняла:

Николаева О.С.

 

2017

 

Реферат выполнен в рамках индивидуального проекта по дисциплине:

«математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

под руководством Николаевой О.С.

Содержание:

Введение

1.1 Обоснование выбранной темы _____________________________________________________ 4

1.2 Цель работы __________________________________________________________________________ 4

История числа

2.1 Древний период ______________________________________________________________________ 5

2.2 Классический период ________________________________________________________________ 7

3. Современное состояние константы____________________________________9

Эксперимент по вычислению приближенного значения

отношения длины окружности к диаметру _____________________________11

5.Красивая загадка цифр числа пи _____________________________________12

6. Мнемонические правила ___________________________________________15 7. Математические задачи с практическим содержанием_________________18

8. Вывод ____________________________________________________________19

8. Литература_______________________________________________________20

Секреты числа

Введение

Обоснование выбранной темы.

Я выбрал эту тему, потому что в мире нет загадочней и интересней чисел, чем число «Пи» с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Число считают даже мистическим, не поддающимся рациональному объяснению. Это особенно удивительно потому, что математика – самая точная из всех наук. Но она имеет лишь предположения насчет закономерностей в хаотической последовательности математической константы. Это число не давало покоя всем ученым и, не только математикам. Хотя именно в этой области разделы науки не могут обойтись без законов великолепного числа «Пи». Число «Пи» — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.

Кто разгадал загадку этого числа, к сожалению, не знает никто. Но многие математики пытались приоткрыть завесу тайны…

 

Цель работы

Целью моего исследования является знакомство с загадочной и удивительной математической константой, чье существование значительно влияет на решение многих математических задач, на историческом материале показать важность проблемы вычисления числа π, раскрыть необходимость точных вычислений значения π  на современном этапе.

 

История числа

 

В 1794 году ученые доказали, что ПИ – бесконечное иррациональное число. Общепризнанным обозначением его является греческая буква "π". Загадка ПИ выходит далеко за пределы чистой математики, это число можно найти в формулах и явлениях, присущих другим наукам – астрономии, физике, теории относительности, генетике, статистике. Вездесущее число ПИ с его завораживающей последовательностью цифр, уходящей в бесконечность, для людей, неравнодушных к математике, является чем-то вроде произведения искусства. Так с чего же началась его история?

 

Древний период

Любой школьник вычисляет теперь длину окружности по диаметру гораздо точнее, чем мудрейший жрец древней страны пирамид или самый искусный архитектор великого Рима. В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего междуречья. Такое же значение можно увидеть в тексте библии: «И сделал литое из меди море, - от края его до края десять локтей, - совсем круглое … и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом». Однако уже во II тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. В папирусе Райнда, который датируется примерно 1650 г. до н.э. для числа р приводится значение (16/9) 2, это приблизительно 3,16. Древние римляне считали, что окружность длиннее диаметра в 3,12, между тем правильное отношение - 3, 14159… Египетские и римские математики установили отношение длины окружности к диаметру не строгим геометрическим расчетом, как позднейшие математики, а нашли его просто из опыта. Но почему получались у них такие ошибки? Разве не могли они обтянуть какую-нибудь круглую вещь ниткой и затем, выпрямив нитку, просто измерить её?

Возьмем, например, вазу с круглым дном диаметром в 100 мм. Длина окружности должна равняться 314 мм. Однако на практике, измеряя ниткой, мы едва ли получим эту длину: легко ошибиться на один миллиметр, и тогда р окажется равным 3,13 или 3,15. А если учесть, что и диаметр вазы нельзя измерить вполне точно, что и здесь ошибка в 1 мм весьма вероятна, то для р получаются довольно широкие пределы между 3,09 и 3,18.

С 4 в до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древнегреческие геометры строго доказали, что длина окружности пропорциональна ее диаметру, а площадь круга равна половине произведения длины окружности и радиуса S = Ѕ С R = р R2. Это доказательство приписывают Евклиду Книдскому и Архимеду.

Архимед в сочинении «Об измерении круга» вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников - от 6 - до 96-угольника. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку

Таким образом, он установил, что число р заключено в пределах

3,1408 < р < 3,1428. Значение 22/7 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа р для прикладных задач.

В «Алгебре» древнего арабского математика Магомета-бен-Муза о вычислении длины окружности читаем такие строки: «Лучший способ-это умножить диаметр на 3 1/7. Это самый скорый и самый легкий способ. Богу известно лучшее».

Чжан Хэн во 2 веке уточнил значение числа р, предложив два его эквивалента: 1) 92/29? 3,1724…, 2) v10.

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416.

Брахмагупта в 7 веке предложил в качестве приближения v10.

Около 265 года н.э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный алгоритм для вычисления р с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для р, р?3,14159.

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления р и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что р?355/113, и показал, что 3,1415926 < р < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа р в течение последующих 900 лет.

До II тысячелетия было известно не более 10 цифр р.

Классический период

Дальнейшие крупные достижения в изучении р связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить р с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of Sangamagrama) нашёл первый из таких рядов

Этот результат известен как ряд Мадхавы - Лейбница, или ряд Грегори - Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к р очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике - необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда.

Мадхава смог вычислить р как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа р, из которых 16 верные.

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа р с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа р. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число р иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета найденная Франсуа Виетом в 1593 году.

Другим известным результатом стала формула Валлиса: выведенная Джоном Валлисом в 1655 году. Ряд Лейбница, первым найден Мадхавой из Сангамаграма в 1400 году В новое время для вычисления р используются аналитические методы, основанные на тождествах. Эйлер, автор обозначения р, получил 153 верных знака. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом, у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные.