Шар, извлеченный из первой урны, окажется черным.

 

Если из второй урны вынули белый шар (вероятность извлечения белого шара из второй урны =  ) и переложили в первую урну, то вероятность извлечения черного шара из первой урны будет равна: Р₁ = · =

 

Если из второй урны вынули черный шар (вероятность извлечения черного шара из второй урны =  ) и переложили в первую урну, то вероятность извлечения черного шара из первой урны будет равна: Р₂ = · =

 

Переложен либо белый шар, либо чёрный - события несовместные, поэтому вероятность извлечения черного шара из первой урны равна сумме вероятностей: Р = Р₁+Р₂

Р =  +  =  = 0,8

 

 

9) Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент

Знает 2 вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.

 

=  =  =  = 780

 

=  =  =  = 1

 

=  =  =  = 1225

 

P = =  =  = 0.63673

 

 

Две команды по 20 спортсменов производят жеребьевку для присвоения номеров

Участникам соревнований. Два брата входят в состав различных команд. Найти

Вероятность того, что братья будут участвовать в соревнованиях под одним и тем

Же номером 18.

 

n = 20
m = 1 (один из двадцати номеров)

P₁ =
P₂ =

P = P₁·P₂ =  = = 0,0025

 

Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность

Того, что первая перфораторщица допустит ошибку равна 0,1; для второй

Перфораторщицы эта вероятность равна 0,2. При сверке перфокарт была

Обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась вторая

Перфораторщица.

Обозначим через событие А – ошибку перфораторщицы. Тогда, В₁ – ошибка сделана первой перфораторщицей, В₂ – ошибка сделана второй перфораторщицей. Причем Р(В₁) = 0,5 и Р(В₂) = 0,5, т.к. обе работали одинаково.

Условная вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна Р_В1(А) = 0,1;

Условная вероятность того, что вторая перфораторщица допустит ошибку, равна Р_В2(А) = 0,2;

Вероятность того, что наудачу взятая перфокарта окажется с ошибкой, по формуле полной вероятности равна: Р(А) = Р(В₁) ∙ Р _В1(А) + Р(В₂) ∙ Р _В2(А) = 0,5 ∙ 0,1 + 0,5 ∙ 0,2 = 0,15

Искомая вероятность того, что взятая перфокарта произведена первой перфораторщицей, по формуле Бейеса равна:

Р_А(В₁) =  =  = 0,66666

 

Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым

Стрелком равна Р 1; для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно

равны Р 2 и Р 3. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков поразит

цель; б) только два стрелка поразят цель; в) все три стрелка поразят цель, если:

 

Р₁ = 0,6 Р₂ = 0,9 Р₃ = 0,8

а)

P₁ = 0,6*(1-0,9)*(1-0,8) =0,012

Р₂ = (1-0,6)*(1-0,9)*0,8 =0,032

Р₃ = (1-0,6)*0,9*(1-0,8) =0,072

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,116

 

б)

P₁₂ = 0,6*0,9*(1-0,8) =0,108 - вероятность того, что 1-й и 2-й попали, 3-й нет

Р₁₃ = 0,6*(1-0,9)*0,8 =0,048 - вероятность, что 1-й и 3-й попали

Р₂₃ = (1-0,6)*0,9*0,8 =0,288 - вероятность того, что попали 2-й и 3-й

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,444 - вероятность, что попали 2 стрелка, а один нет.

 

в)

P = 0,6*0,9*0,8 = 0,432

 

Р₁ = 0,7 Р₂ = 0,8 Р₃ = 0,9

 

а)

P₁ = 0,7*(1-0,8)*(1-0,9) =0,014

Р₂ = (1-0,7)*(1-0,8)*0,9 =0,054

Р₃ = (1-0,7)*0,8*(1-0,9) =0,024

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,092

 

б)

P₁₂ = 0,7*0,8*(1-0,9) =0,056

Р₁₃ = 0,7*(1-0,8)*0,9 =0,126

Р₂₃ = (1-0,7)*0,8*0,9 =0,216

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,398

 

в)

P = 0,7*0,8*0,9 = 0,504

 

Р₁ = 0,8 Р₂ = 0,9 Р₃ = 0,9

 

а)

P₁ = 0,8*(1-0,9)*(1-0,9) =0,008

Р₂ = (1-0,8)*(1-0,9)*0,9 =0,018

Р₃ = (1-0,8)*0,9*(1-0,9) =0,018

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,044

 

б)

P₁₂ = 0,8*0,9*(1-0,9) =0,072

Р₁₃ = 0,8*(1-0,9)*0,9 =0,072

Р₂₃ = (1-0,8)*0,9*0,9 =0,162

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,306

 

в)

P = 0,8*0,9*0,9 = 0,648

 

Р₁ = 0,3 Р₂ = 0,9 Р₃ = 0,7

 

а)

P₁ = 0,3*(1-0,9)*(1-0,7) =0,009

Р₂ = (1-0,3)*(1-0,9)*0,7 =0,049

Р₃ = (1-0,3)*0,9*(1-0,7) =0,189

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,247

 

 

б)

P₁₂ = 0,3*0,9*(1-0,7) =0,081

Р₁₃ = 0,3*(1-0,9)*0,7 =0,021

Р₂₃ = (1-0,3)*0,9*0,7 =0,441

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,543

 

в)

P = 0,3*0,9*0,7 = 0,189

 

Р₁ = 0,5 Р₂ = 0,5 Р₃ = 0,5

 

а)

P₁ = 0,5*(1-0,5)*(1-0,5) =0,125

Р₂ = (1-0,5)*(1-0,5)*0,5 =0,125

Р₃ = (1-0,5)*0,5*(1-0,5) =0,125

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,425

 

б)

P₁₂ = 0,5*0,5*(1-0,5) =0,125

Р₁₃ = 0,5*(1-0,5)*0,5 =0,125

Р₂₃ = (1-0,5)*0,5*0,5 =0,125

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,375

 

в)

P = 0,5*0,5*0,5 = 0,125

 

Р₁ = 0,8 Р₂ = 0,8 Р₃ = 0,9

 

а)

P₁ = 0,8*(1-0,8)*(1-0,9) =0,016

Р₂ = (1-0,8)*(1-0,8)*0,9 =0,036

Р₃ = (1-0,8)*0,8*(1-0,9) =0,016

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,068

 

б)

P₁₂ = 0,8*0,8*(1-0,9) =0,064

Р₁₃ = 0,8*(1-0,8)*0,9 =0,144

Р₂₃ = (1-0,8)*0,8*0,9 =0,144

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,352

 

в)

P = 0,8*0,8*0,9 = 0,576

 

Р₁ = 0,7 Р₂ = 0,5 Р₃ = 0,4

 

а)

P₁ = 0,7*(1-0,5)*(1-0,4) =0,21

Р₂ = (1-0,7)*(1-0,5)*0,4 =0,06

Р₃ = (1-0,7)*0,5*(1-0,4) =0,09

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,36

 

б)

P₁₂ = 0,7*0,5*(1-0,4) =0,21

Р₁₃ = 0,7*(1-0,5)*0,4 =0,14

Р₂₃ = (1-0,7)*0,5*0,4 =0,06

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,41

 

в)

P = 0,7*0,5*0,4 = 0,14

Р₁ = 0,4 Р₂ = 0,8 Р₃ = 0,9

 

а)

P₁ = 0,4*(1-0,8)*(1-0,9) =0,008

Р₂ = (1-0,4)*(1-0,8)*0,9 =0,108

Р₃ = (1-0,4)*0,8*(1-0,9) =0,048

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,164

 

б)

P₁₂ = 0,4*0,8*(1-0,9) =0,032

Р₁₃ = 0,4*(1-0,8)*0,9 =0,072

Р₂₃ = (1-0,4)*0,8*0,9 =0,216

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,432

 

в)

P = 0,4*0,8*0,9 = 0,288

 

 

Р₁ = 0,7 Р₂ = 0,7 Р₃ = 0,9

 

а)

P₁ = 0,7*(1-0,7)*(1-0,9) =0,021

Р₂ = (1-0,7)*(1-0,7)*0,9 =0,081

Р₃ = (1-0,7)*0,7*(1-0,9) =0,021

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,123

 

б)

P₁₂ = 0,7*0,7*(1-0,9) =0,049

Р₁₃ = 0,7*(1-0,7)*0,9 =0,189

Р₂₃ = (1-0,7)*0,7*0,9 =0,189

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,427

 

в)

P = 0,7*0,7*0,9 = 0,441

 

Р₁ = 0,9 Р₂ = 0,8 Р₃ = 0,9

 

а)

P₁ = 0,9*(1-0,8)*(1-0,9) =0,018

Р₂ = (1-0,9)*(1-0,8)*0,9 =0,018

Р₃ = (1-0,9)*0,8*(1-0,9) =0,002

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ = 0,038

б)

P₁₂ = 0,9*0,8*(1-0,9) =0,072

Р₁₃ = 0,9*(1-0,8)*0,9 =0,162

Р₂₃ = (1-0,9)*0,8*0,9 =0,072

Р = Р₁₂ + Р₁₃ + Р₂₃ = 0,306

 

в)

P = 0,9*0,8*0,9 = 0,648

 

 

Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при