Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
 2020-06-05 |
 236 |
из
5.00
|
Заказать работу |
Примеры решения задач
Задача 1. Два точечных заряда 
= 
Кл и 
= 
Кл расположены на расстоянии 
= 10 см друг от друга. Найти силу, действующую на точечный заряд 
= 10-9 Кл, помещённый на продолжении прямой на расстоянии 
= 2 см от заряда (рис. 7.3).
Дано: Решение
= Кл
= Кл
= 10 см = 0,1 м
= 10-9 Кл
= 2 см = 2 
м
e = 1; k = 9 . 
Рис. 7.3
-?
Сила, действующая на заряд , будет складываться из сил, действующих на него со стороны полей первого и второго зарядов (см. рис. 7.3). Следовательно,
Учёт знаков зарядов и их расположения указывают, что силы F 12и F 23 коллинеарные и направлены в разные стороны. Считать ось x направленной вправо, можно векторное уравнение заменить скалярным, тогда
(1)
Силы 
и 
определяются из закона Кулона, так как все заряды – точечные по условию.
На основании закона Кулона
,
где 
– расстояние между первым и третьим зарядами, равное 
Подставив эти выражения в формулу (1), получим
= 3,3 
Н.
Ответ: = 3,3 Н (направлена вправо).
Задача 2. Тонкий стержень длиной L = 10 см равномерно заряжен. Линейная плотность заряда t = 1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд q = 10-7 Кл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда (рис. 7.4).
Дано:
L = 10 см = 0,1 м
t = 1 мкКл/м = 10-6 Кл/м
а = 20 см = 0,2 м
q = 10-7 Кл
-? Рис. 7.4
Решение
Заряженный стержень является неточечным зарядом. Непосредственно применить закон Кулона к такому заряду нельзя. Можно выделить на стержне элемент длиной dl, имеющий заряд dq = t dl, где t – линейная плотность заряда стержня. Тогда
где dF – сила взаимодействия элементарного заряда с зарядом q. Все элементы заряда стержня действуют на заряд q в одном и том же направлении, вдоль оси стержня.
Тогда векторная сумма всех сил 
будет равна алгебраической. Она может быть найдена как интеграл:
Подставив численные значения величин, получим
Н.
Ответ: F = 1,5 
Н.
Задача 3. Найти силу, действующую на точечный заряд 
= 2 . 10-9 Кл, расположенный в центре полукольца радиусом 
= 5 см, со стороны этого полукольца, по которому равномерно распределён заряд q = 3 
Кл (рис. 7.5).
Дано:
= 2 . 10-9 Кл
q = 3 . 10-7 Кл
см = 5 . 10-2 м
-?
Рис. 7.5
Решение
Определить силу здесь можно как результирующую элементарных сил , действующих на заряд со стороны бесконечно малых элементов dl полукольца (см. рис. 7.5).
Произвольно взятый элемент создаёт силу , направленную под углом a к оси y. Элемент имеет заряд 
; t – линейная плотность заряда, равная t = 
, где q – равномерно распределённый по полукольцу заряд, а 
- длина полукольца; 
(из чертежа).
Тогда
.
Направление сил будет меняться при переходе от одного элемента к другому, поэтому нужно найти проекции силы на ось x и на ось y:
по полукольцу
по полукольцу
Интеграл берётся по полукольцу, следовательно, угол a изменяется от 0 до p:
Следовательно, 
Н.
Ответ: F = 1,4 Н.
Задача 4. Расстояние между двумя точечными зарядами 
Кл и 
Кл равно 0,05 м. Найти напряжённость электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 0,03 м от положительного заряда и 0,04 м от отрицательного заряда (рис. 7.6).
Дано:
Кл
Кл
м
м
м
Рис. 7.6
Решение
Используем для решения принцип суперпозиции электрических полей. Каждый из зарядов, независимо от других, создаёт своё поле. Эти поля накладываются. Результирующая напряжённость равна векторной сумме напряжённостей каждого заряда (см. рис.7.6):
.
Треугольник АВС – прямоугольный (²египетский²) треугольник, со сторонами, кратными 3, 4 и 5.
Тогда
,
так как заряды находятся в воздухе,
Ответ: ЕА = 1,12 . 105 
Задача 5. Какой угол с вертикалью составит нить, на которой висит шарик массой m = 25 мг, если поместить шарик в однородное горизонтальное электрическое поле с напряжённостью E = 35 , сообщив ему заряд
q = 7 мкКл (рис. 7.7)?
Дано: Решение
m = 25 мг = 2,5 .10-5 кг
E = 35 В/м
q = 7 мкКл = 7 . 10-6 Кл
a -?
Рис. 7.7
На шарик, подвешенный на нити, отклонившейся в электрическом поле на угол a, действуют силы:
а) сила тяжести 
б) сила натяжения нити 
;
в) кулоновская сила 
Шарик находится в равновесии. Запишем уравнение II закона Ньютона для этих условий:
Найдём проекции сил на оси x и y:
Разделив первое уравнение на второе, получим
Ответ: a = 
.
Задача 6. Диполь с электрическим моментом р = 1,2.10-10 Кл.м образован двумя точечными зарядами q = 
10-3 мкКл. Какова напряжённость электрического поля в точках А и В, находящихся на расстоянии r = 8 см от центра диполя.
Дано
р = 1,2 .10-10 Кл.м
q = 10-9 Кл
r = 8 см = 0,08 м
ЕА -? ЕВ -?
Рис. 7.8
Решение
Точка А. Диполь не является точечным, т.к. расстояние до зарядов соизмеримо с плечом диполя l (рис. 7.8).
Тогда вместо расстояния до середины диполя нужно брать расстояние от точки А до одного из зарядов, т.е. 
:
м.
Точка В. Используем принцип суперпозиции (рис. 7.9).
Рис.7.9
Ответ: EA = 1,1 .103 
; EB = 2,2 .104 .
Задача 7. Эбонитовый шар радиусом R = 5 см несёт заряд, равномерно распределённый с объёмной плотностью заряда r = 10-8 Кл/м3. Определить напряжённость и индукцию электрического поля в следующих точках: а) на расстоянии 
= 3 см от центра шара; б) на поверхности шара 
в) на расстоянии 
= 10 см от центра шара. Построить графики зависимости 
и 
от r.
Дано: Решение
r = 10-8 
e = 3
R = 5 см = 5 .10-2 м
= 3 см = 3 .10-2 м
= 5 .10-2 м
= 10 см = 10-1 м
Е -? D -?
Рис. 7.10
Метод решения задач:
1. Изобразить на рисунке линии индукции электрического поля, созданного данным заряженным телом.
2. Выбрать форму и размер замкнутой вспомогательной поверхности, охватывающей заряд, и проходящей через точку, в которой определяется индукция.
Форма поверхности должна быть такой, чтобы линии индукции были параллельны или перпендикулярны к ней.
3. Определить величину потока Fе через выбранную поверхность
4. Определить величину заряда, охваченного выбранной вспомогательной поверхностью.
5. Приравнять поток линий индукции к величине заряда, охваченного поверхностью
.
6. Определить индукцию и напряжённость электрического поля.
Рассмотрим применение теоремы на примере сплошного объёмно заряженного шара (рис. 7.10).
1. Линии индукции заряженного шара начинаются в его центре и являются прямыми линиями, направленными по радиусам.
2. Поле шара является сферически симметричным, вектор будет перпендикулярен любой сферической поверхности с центром в центре шара.
Следовательно, вспомогательная поверхность представляет собой сферу, проведённую через заданную точку.
3. Поток вектора индукции через выбранную сферическую поверхность
т.к. перпендикулярен сфере и совпадает с направлением нормали к ней, т. е. a = 0.
Тогда
Для точки 1 (r < R) поверхностью является сфера, проходящая через точку 1 внутри шара.
4. Заряд, охваченный этой сферой, равен 
= r V 1, где 
– объёмная плотность заряда, т.е. заряд, приходящийся на единицу объёма.
Объём шара 
заряд 
5. Приравняем поток к заряду 
6. Находим и :
~ 4 
.
Повторим рассуждения для точек 2 и 3. Выбранные вспомогательные поверхности будут сферическими.
Точка 2. Радиус вспомогательной поверхности равен радиусу шара, т.к. точка лежит на поверхности шара (
).
; 
.
На поверхности напряжённость имеет два значения Е 2 и 
, отличающиеся в e раз.
Точка 3.
или 
.
Построим графики зависимостей 
и 
от r (рис. 7.11, 7.12).
Рис. 7.11 Рис. 7.12
Из решения и графиков видно, что линии индукции электрического поля непрерывны, от среды не зависят, а линии напряжённости электрического поля терпят разрыв на границе двух сред. В эбоните напряжённость меньше, чем в воздухе, следовательно, плотность линий (число линий, пронизывающих единицу площади) в воздухе больше, чем в эбоните.
Ответ: а) D 1 = 10-10 
; Е 1 = 4 ; б) D 2 = 1,67 .10-10 
; Е 2 = 6 
;
= 18 ; в) D 3 = 4 .10-11 ; E 3 = 4,5 .
Задача 8. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка радиусом R = 2 см равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда s = 10-3 
. Определить напряжённость электрического поля в точках, отстоящих от оси на расстояниях: а) 
= 1 см; б) 
= R = 2 см;
в) 
= 3 см. Построить графики зависимостей D и E от r.
Дано:
R = 2 см = 2 .10-2 м
s = 10-9 Кл/м2
= 10-2 м
2 .10-2 м
= 3 .10-2 м
e = 1
Е 1 -? Е 2 -? Е 3 -?
D 1 -? D 2 -? D 3 -?
Решение
1. Изобразим на рисунке силовые линии поля цилиндра. Линии начинаются на поверхности трубки и идут по радиусам перпендикулярно поверхности (боковой) цилиндра (рис. 7.13).
2. Исходя из этих соображений, охватывающая заряд поверхность должна быть цилиндрической, тогда перпендикулярен боковой поверхности, cos a = 1, так как a = (
) = 0.
Поток через основания трубки равен нулю, т.к. a = (
) = 900,
cos a = 0.
Для точки 1 поверхность, проходящая через точку, тоже цилиндрическая, радиус основания цилиндра равен . Заряда же внутри металлической трубки быть не может. Поэтому
Следовательно,
D S 1 = 0; D = 0 и E = 0.
Точка 2. Охватывающая поверхность – цилиндра радиусом R; охваченный поверхностью заряд q = s S 2, где s – поверхностная плотность заряда.
где h – высота цилиндра.
D S 2 = q; D S 2 = s S 2; D = s; 
Точка 3. Поток 
через поверхность, проходящую через точку 3,
Заряд, охваченный поверхностью,
Приравниваем 
по теореме Остроградского – Гаусса:
Построим графики зависимостей D и E от r (рис. 7.14, 7.15).
Рис. 7.14 Рис. 7.15
Примеры решения задач
Задача 1. Определить работу электрического поля, созданного точечным зарядом q = 5 .10-6 Кл, по перемещению заряда 
= 3 .10-9 Кл из точки А в точку В. 
= 3 .10-2 м, 
= 5 .10-2 м (рис. 8.1).
Дано:
q = 5 .10-6 Кл
= 3 .10-9 Кл
= 3 .10-2 м
= 5 .10-2 м
e = 1
А -?
Рис. 8.1
Решение
Элементарная работа по перемещению заряда 
равна
Переместить заряд вдоль силовой линии мешает заряд q, он стоит на пути перемещения.
Возьмём точку С и переместим заряд в два этапа: 1 – из точки А в С и 2 – из точки С в В, чтобы обойти заряд q:
Из формулы работы видно, что она не зависит от формы пути, а зависит только от начального и конечного положения перемещающегося заряда:
Дж.
Ответ: А = 1,75 .10-3 Дж.
Задача 2. Около бесконечной заряженной плоскости находится точечный заряд = 10-9 Кл. Под действием сил электростатического поля плоскости заряд перемещается по силовой линии на расстояние 
= 2 .10-2 м. При этом совершается работа А = 5 
Дж. Определить поверхностную плотность заряда плоскости (рис. 8.2).
Дано:
= 10-9 Кл
= 2 .10-2 м
А = 5 
Дж
s -?
Рис.8.2
Решение
Решение
Для определения потенциала шара используем связь напряжённости поля с потенциалом
- d j = E dr; 
.
Напряжённость электрического поля вне шара равна 
Проинтегрируем правую и левую части уравнения:
Полученное выражение является разностью потенциалов двух точек поля, созданного шаром. Если вторую точку взять в бесконечности, т.е. 
, то 
= 0 (в бесконечности отсутствует взаимодействие зарядов и потенциальная энергия равна 0).
Тогда 
- потенциал точки, находящейся на расстоянии 
от центра шара 
а) Потенциал на поверхности шара:
В.
б) Если окружить шар заземлённой оболочкой, то потенциал оболочки 
(потенциал Земли равен 0).
- разность потенциалов оболочки и шара. 
= 0, значит
= 75 В.
Ответ: а) 
= 300 В; б) 
= 75 В.
Задача 4. Две концентрические металлические сферы радиусом R 1 = 4 см и R 2 = 10 см имеют соответственно заряды 
= - 2 нКл и 
= 3 нКл. Пространство между сферами заполнено эбонитом (e = 3). Определить потенциал электрического поля на расстояниях 
= 2 см, 
= 6 см и 
= 20 см от центра сфер (рис. 8.4).
Дано:
R 1 = 4 см = 0,04 м
R 2 = 10 см = 0,1 м
= -2 нКл = - 2 .10-9 Кл
= 3 нКл = 3 .10-9 Кл
= 2 см = 0,02 м
= 6 см = 0,06 м
= 20 см = 0,2 м
-? 
-? 
-?
Рис. 8.4
Решение
По теореме Остроградского – Гаусса найдём напряжённость в точках 1, 2, 3:
Е 1 = 0 (внутри сферы заряд отсутствует);
(поверхность охватывает заряд 
и 
, проходя через точку 3).
Для определения потенциала в точках 1, 2, 3 воспользуемся связью напряжённости с потенциалом
С помощью этого отношения можно определить разность потенциалов двух точек. Воспользуемся тем, что потенциал в бесконечности принимается равным нулю. Тогда можно определить потенциал внешней сферы:
e = 1 (внешняя сфера).
Найдём теперь потенциал 
между сферами (точка 2):
В.
Е 1 = 0, следовательно, 
= const, т.е. потенциал внутри сферы одинаков во всех её точках и равен потенциалу на поверхности сферы 
Тогда потенциал сферы радиусом R 1 равен
В = 280 В.
Ответ: 
= 280 В; 
= 130 В.
Задача 5. Коаксиальный электрический кабель состоит из центральной жилы и концентрической по отношению к ней цилиндрической оболочки, между которыми находится изоляция. Найти электроёмкость единицы длины такого кабеля, если радиус жилы 1,3 см, радиус оболочки 3 см и диэлектрическая проницаемость изоляции 3,2 (рис. 8.5).
Дано:
R 1 = 1,3 см = 0,013 м
R 2 = 3 см = 0,03 м
e = 3,2
-?
Рис.8.5
Решение
Электроёмкость
где q – заряд на обкладке; 
– разность потенциалов на обкладках конденсатора.
Для вывода формулы электроёмкости воспользуемся связью напряжённости электрического поля с потенциалом:
Напряжённость электрического поля между жилой и оболочкой вычисляется с помощью теоремы Остроградского – Гаусса:
Тогда
Ёмкость единицы длины кабеля
Ответ: 
Задача 6. 1) Площадь пластин плоского воздушного конденсатора
100 см2, расстояние между ними 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов 300 В. После отключения конденсатора от источника напряжения, пространство между пластинами заполняется эбонитом. а) какова будет разность потенциалов между пластинами до и после заполнения?
б) какова ёмкость конденсатора до и после заполнения? в) какова поверхностная плотность заряда на пластинах до и после заполнения? г) как изменится энергия поля конденсатора до и после заполнения?
2) Решить эту задачу для случая, когда заполнение эбонитом конденсатора производится при включённом источнике напряжения.
Дано:
U 1 = 300 В
S = 100 см2 = 10-2 м 2
d = 5 мм = 5 
10-3 м
= 3
U 2 -? С 1 -? С 2 -?
-? 
-?
1) Рассмотрим, как изменяются все эти величины при отключённом источнике при заполнении эбонитом 
, т.к. при отключении источника заряд на пластине не меняется.
D 1 = D 2 = s, т.к. индукция электростатического поля не зависит от среды.
С 1 ¹ С 2; 
; 
U 1 ¹ U 2; U 1 =Е1 d; U 2 = E 2 d.
а) 
В.
б) 
Ф; С 2 = 3 С 1 = 5,31 10-11 Ф.
в) 
г) 
2) Если источник напряжения остаётся включённым, то постоянным будет уже не заряд (он может подтекать к пластинам от источника), а напряжение на пластинах, которое поддерживается за счёт источника постоянным.
U 1 = U 2; E 1 = E 2 = 
D 1 ¹ D 2; D 1 = 
а) U 1 = U 2 = 300 В.
б) 
в) С 1 = 1,77 10-11 Ф; С 2 = 5,31 10-11 Ф.
г) 
Ответ: 1) U 2 = 100 В; С 1 = 1,77 
10-11 Ф; С 2 = 5,31 10-11 Ф; 
2) U 2 = 300 В; 
С 1 = 1,77 10-11 Ф; С 2 = 5,31 10-11 Ф.
Задача 7. Плоский конденсатор с расстоянием между пластинами
d = 1 см заряжен до разности потенциалов U = 103 В. Определить объёмную плотность энергии поля конденсатора. Диэлектрик – стекло.
|
Дано:
d = 1 см = 10-2 м
U = 103 B
e = 7
((__lxGc__=window.__lxGc__||{'s':{},'b':0})['s']['_228268']=__lxGc__['s']['_228268']||{'b':{}})['b']['_697691']={'i':__lxGc__.b++};
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!
,