Преследование на плоскости с одним преследователем

 

В данной игре существует оптимальная стратегия и для преследователя и для убегающего игрока. Оптимальной стратегией для преследователя будет стратегия параллельного сближения, а для убегающего игрока движение по прямой EA где Е начальная точка убегающего игрока и А точка Апполония.

Оптимальность стратегии для убегающего очевидна, так как начальная точка преследователя находится на той же самой прямой. Действительно суть стратегии параллельного сближения в том, что

А) Преследователь изменяет направление движения в тот же самый момент когда направление движения меняет убегающий игрок.

Б) Новое направление выбирается таким образом, чтобы преследователь и убегающий игрок встретились на окружности Апполония.

Из этих двух пунктов и следует оптимальность выбранной стратегии. А теперь определим оптимальное время преследования для такой игры.

Известно, что точка встречи – это точка Апполония. Известно, также что оба игрока движутся по прямой, следовательно, для определения времени встречи существенно важны не абсолютные значения скоростей, а то насколько скорость преследователя больше скорости убегающего игрока. Поэтому мы можем перейти к эквивалентной задаче, в которой убегающий игрок стоит на месте, а преследователь движется со скоростью равно V_p – V_e

В этой задаче преследователь должен пройти расстояние между его начальным положением и начальным положением убегающего. Мы уже обозначали это расстояние через b тогда оптимальное время преследование будет дано следующим выражением t=b/(V_p – V_e).

 

Игра с линией жизни

Вспомним, что игрой с линией жизни называется игра с границей которую убегающий игрок стремится достичь, а преследователь наоборот стремится этого не допустить. Сразу из определения следует следующая несложная теорема:

Теорема: В игре с линией жизни убегание невозможно только в том случае, когда линия жизни не пересекается с окружностью Апполония. При этом форма линии жизни несущественна.

Теорема очевидна и в доказательстве не нуждается.

Задача «о крысе загнанной в угол»

Из названия уже ясно, что речь идёт о игре в которой участвуют два игрока действующих внутри некоторого угла. Эта игра не исследована исчерпывающе. Хорошо известны только некоторые частные случаи, например преследование в прямом угле.

Теорема. Пусть убегающий игрок находится в вершине угла а преследователь на биссектрисе

 

 

 

 

Обозначим скорость убегающего игрока через V_e тогда, если скорость преследователя V_p = Ö2 V_e, то оптимальное время преследования t = b / V_e

Доказательство. Очевидно, что оптимальной стратегией для убегающего игрока (крысы) будет бегство по катету. Отношение катетов |Pb| и |Eb| равно Ö2. То есть равно отношению их скоростей.

Лев и человек

Пусть два игрока (лев и человек) находятся внутри круглой арены и их скорости равны. На главный вопрос «Каковы их шансы?» есть однозначный ответ, человек при любых начальных условиях сможет убежать. Попробуем доказать это утверждение.

 

 

 

Синий кружок – это преследователь и зелёный кружок это убегающий игрок. Для начала выполним небольшой качественный анализ. Проведем через преследователя и убегающего прямую линию и перпендикуляр к ней. Пусть убегающий игрок движется по перпендикуляру какое-то время. Построим треугольник на точках (Лев, Человек, Точка пересечения отрезка по которому движется человек с окружностью). Этот треугольник тупоугольный и тупой угол при вершине, в которой находится человек. Это следует из того, что начальное положение Льва и Человека – это единственное положение, когда данный угол равен 90 градусов, острым этот угол быть не может, следовательно, он тупой.

Итак мы выяснили, что в момент начала движения угол при вершине человек увеличивается, мы не можем сказать насколько, но сам факт не вызывает сомнения.

Далее, человек, конечно же, не сможет двигаться по данному отрезку бесконечно (впереди стенка ограждения). Поэтому он должен повернуть на другой отрезок (последовательность отрезков показана на чертеже). Мы вполне можем момент поворота принять за начальный момент движения. Итак, пусть это будет начальный момент, но выше было сказано, что в начальный момент движения угол в вершине Человек увеличивается, следовательно, если он был тупым, он станет ещё более тупым.

При каждом повороте мы имеем следующий тупоугольный треугольник

 

 

	Л

 

 

Если как уже было сказано, угол при вершине Человек при каждом повороте увеличивается, то в пределе треугольник должен сложиться в отрезок.

 

 

А по условию их скорости равны. Естественно, что находясь в точности позади человека, Лев не имеет никаких шансов его поймать. Единственно, что нужно человеку это правильно определить последовательность моментов времени в которые необходимо осуществлять поворот. Попробуем сделать это.

Строгое доказательство. Обозначим через «а» расстояние от точки Человек до точки пересечение отрезка построенного указанным выше способом с окружностью. А через t_i временные точки в которых человек будет осуществлять поворот. Пусть эти моменты времени вычисляются следующим образом:

 

t_i = (1/v)*(a/2 + a/3 + …. + a/i) = (a/v)*(1/2 + 1/3 + …..1/i)

 

Таким образом, наша теорема справедлива, если полученный числовой ряд не сходится. Покажем, что это действительно так.

Пусть i = 2^k.

Тогда имеем следующее

 

(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 … 1/(2^k-1 +1) + ….+ 1/2^k) >

(1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 +1/8 +1/8 +1/8 +… 1/2^k +… +1/2^k) = k/2

Отсюда следует, что при к стремящимся к бесконечности время также стремится к бесконечности, что и требовалось доказать.

Кстати из этого же следует, что хотя лев и не может догнать человека, но он может приблизиться к человеку сколь угодно близко. Это следует из того соображения, что в момент поворота человек разворачивается в сторону льва. Может показаться странным, что бесконечно большое количество разворотов не даёт возможность льву поймать человека. Объясняется это очень просто. Угол разворота каждый раз уменьшается.

 

Заключение

 

В процессе выполнения исследования были рассмотрены различные игры на преследования и были проанализированы алгоритмы поиска пути. В ходе работы была показана взаимосвязь между играми на преследование и окружностью Апполония, что позволяет некоторые задачи игр на преследование решать методами, не выходящими за рамки школьной математики, хотя в основном данные игры решаются методами теории дифференциальных уравнений.