История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2020-04-01 | 91 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Интегральное исчисление.
В дифференциальном исчислении определено понятие производной в точке. Можно сказать, что это предел некоей взвешенной разности:
Если производную взять в каждой точке, то возникнет новая функция y ´(x). Итак, имеется некий алгоритм перехода y y ´. Естественным образом возникает вопрос о нахождении функции по её производной: y ´ y. Возникает идея: если производная является как бы разностью, то обратный переход должен осуществляться с помощью суммирования.
Рассмотрим эту идею более подробно. Пусть на отрезке [a; b] задана функция y ´(x). Требуется восстановить функцию y (x) такую, что её производная даёт y ´(x). Сразу отметим, что y (x) определяется неоднозначно. По свойству производной y (x) + c имеет ту же производную, что и y (x). По этой причине можем считать, что y (a) = y 0. Разобьём отрезок [a; x] на n частей длины . Обозначим , тогда
Далее . Итак, .
Чтобы получить точное выражение y (x) нужно устремить x к нулю. Тогда сумма ∑ превратится в сумму бесконечного ряда. Она обозначается через (интеграл). Рассмотрим, каков геометрический смысл интеграла. У нас задана функция y ´(x), то произведение приблизительно равно площади полоски шириной x.
Тогда сумма равна площади криволинейной трапеции на отрезке [a; x]. Итак, задача нахождения функции по её производной связана с вычислением предела некоторой суммы (с увеличением числа членов), т. е. интеграла. Геометрический смысл интеграла состоит в том, что он выражает площадь криволинейной трапеции. Таким образом, задача о проведении касательной и задача о вычислении площадей являются обратными друг к другу.
Мы установим, что . Фактически в этом и состоит основной результат интегрального исчисления. Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
|
Перейдем к более точным определениям.
Пусть – некоторая функция, тогда функция F(x) такая, что называется неопределенным интегралом или первообразной для f(x) и обозначается .
Задачу нахождения первообразной можно в ряде случаев решить с помощью таблицы производных. Например, из формулы дифференцирования функции вытекает, что .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. Если , то
Интегрирование путем замены переменной
Теорема. Если , то .
Пример 1.
. Положим , тогда .
Пример 2.
Пример 3.
. Положим , тогда . Далее . . Далее , . В итоге .
Одним из важных признаков применения замены переменной является наличие производной и функции. Например, содержит логарифм. , следовательно, .
Особое значение играют методы интегрирования рациональных функций вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Общая схема интегрирования такова:
1. Если дробь не является правильной, то можно выполнить деление и разбить дробь на сумму многочлена и правильной дроби, т.е. дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.
2. Если дробь является правильной, то ее можно разложить на сумму простых дробей, т.е. дробей вида , , , . Чтобы выполнить это разложение, необходимо разложить на множители знаменатель Q(x), что само по себе является сложной задачей. Затем применяется метод неопределенных коэффициентов.
3. Интегралы от простых дробей выражаются с помощью логарифмов и арктангенсов.
Пример.
Дробь представляют в виде . Далее складывают простые дроби и приравнивают друг другу коэффициенты многочленов. В результате возникает система линейных уравнений относительно A, B, C, D, E. Результат .
Интегралы вида и вычисляются следующим образом: выделением полного квадрата представляют в виде . Далее полагают и делают подстановку , , , .
Интегрирование по частям
Поскольку , . Интегрируя обе части, получим .
|
Пример.
. Положим , , . Тогда . Следовательно, .
В отличие от дифференцирования, интегрирование требует значительных творческих усилий. При этом оказывается, что не все функции, выражаемые через элементарные, имеют интеграл, выражаемый через элементарные функции. Так, например, называется эллиптическим интегралом 1-го рода и взять его невозможно.
Благодаря этому в математическом анализе появляются новые функции. Их изучение затруднено, но возможно разложение этих функций в ряды и т. д.
Определенный интеграл
Для вычисления площадей криволинейных трапеций вводится понятие определенного интеграла. Интуитивно он является пределом суммы площадей малых прямоугольников при стремлении максимальной ширины прямоугольника к нулю. Согласно обозначениям Лейбница интеграл записывается следующим образом: .
Смысл этого обозначения прост: знак ∫ – стилизованная буква S символизирует сумму. Буквы a и b указывают отрезок, на котором проводится суммирование. Они называются пределами интегрирования. Произведение выражает площадь бесконечно узкого прямоугольника. Таким образом, речь идет о сумме площадей таких прямоугольников.
Интегрального исчисления.
Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ]. Рассмотрим функцию . Придадим аргументу x приращение x. Тогда . Второй интеграл при стремлении x к нулю приближённо равен площади f (x) x, таким образом, . Итак, Ф(x) – первообразная функции f (x). Пусть F (x) – любая другая первообразная той же функции. Тогда Ф (x)= F (x)+ c. Определим с. Ф (a)=0, значит, 0= Ф (а)= F (a)+ c, т.е. c =- F (a). Окончательно Ф (x)= F (x)- F (a). При x = b получаем формулу Ньютона-Лейбница:
Пример. Найти площадь одной арки синусоиды ( на отрезке [0, π].)
Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы с бесконечными приделами. Пусть функция y = f(x) определена на [a, + ) и имеет смысл для любого A > a. Тогда по определению . Аналогично определяется , а .
Пример. , откуда и .
Важнейшую роль эти интегралы играют в теории вероятностей.
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Пусть , но при любом η > 0 существует , тогда .
Пример. , откуда следует, что .
Интегральное исчисление.
В дифференциальном исчислении определено понятие производной в точке. Можно сказать, что это предел некоей взвешенной разности:
|
Если производную взять в каждой точке, то возникнет новая функция y ´(x). Итак, имеется некий алгоритм перехода y y ´. Естественным образом возникает вопрос о нахождении функции по её производной: y ´ y. Возникает идея: если производная является как бы разностью, то обратный переход должен осуществляться с помощью суммирования.
Рассмотрим эту идею более подробно. Пусть на отрезке [a; b] задана функция y ´(x). Требуется восстановить функцию y (x) такую, что её производная даёт y ´(x). Сразу отметим, что y (x) определяется неоднозначно. По свойству производной y (x) + c имеет ту же производную, что и y (x). По этой причине можем считать, что y (a) = y 0. Разобьём отрезок [a; x] на n частей длины . Обозначим , тогда
Далее . Итак, .
Чтобы получить точное выражение y (x) нужно устремить x к нулю. Тогда сумма ∑ превратится в сумму бесконечного ряда. Она обозначается через (интеграл). Рассмотрим, каков геометрический смысл интеграла. У нас задана функция y ´(x), то произведение приблизительно равно площади полоски шириной x.
Тогда сумма равна площади криволинейной трапеции на отрезке [a; x]. Итак, задача нахождения функции по её производной связана с вычислением предела некоторой суммы (с увеличением числа членов), т. е. интеграла. Геометрический смысл интеграла состоит в том, что он выражает площадь криволинейной трапеции. Таким образом, задача о проведении касательной и задача о вычислении площадей являются обратными друг к другу.
Мы установим, что . Фактически в этом и состоит основной результат интегрального исчисления. Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Перейдем к более точным определениям.
Пусть – некоторая функция, тогда функция F(x) такая, что называется неопределенным интегралом или первообразной для f(x) и обозначается .
Задачу нахождения первообразной можно в ряде случаев решить с помощью таблицы производных. Например, из формулы дифференцирования функции вытекает, что .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. Если , то
Интегрирование путем замены переменной
Теорема. Если , то .
|
Пример 1.
. Положим , тогда .
Пример 2.
Пример 3.
. Положим , тогда . Далее . . Далее , . В итоге .
Одним из важных признаков применения замены переменной является наличие производной и функции. Например, содержит логарифм. , следовательно, .
Особое значение играют методы интегрирования рациональных функций вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Общая схема интегрирования такова:
1. Если дробь не является правильной, то можно выполнить деление и разбить дробь на сумму многочлена и правильной дроби, т.е. дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.
2. Если дробь является правильной, то ее можно разложить на сумму простых дробей, т.е. дробей вида , , , . Чтобы выполнить это разложение, необходимо разложить на множители знаменатель Q(x), что само по себе является сложной задачей. Затем применяется метод неопределенных коэффициентов.
3. Интегралы от простых дробей выражаются с помощью логарифмов и арктангенсов.
Пример.
Дробь представляют в виде . Далее складывают простые дроби и приравнивают друг другу коэффициенты многочленов. В результате возникает система линейных уравнений относительно A, B, C, D, E. Результат .
Интегралы вида и вычисляются следующим образом: выделением полного квадрата представляют в виде . Далее полагают и делают подстановку , , , .
Интегрирование по частям
Поскольку , . Интегрируя обе части, получим .
Пример.
. Положим , , . Тогда . Следовательно, .
В отличие от дифференцирования, интегрирование требует значительных творческих усилий. При этом оказывается, что не все функции, выражаемые через элементарные, имеют интеграл, выражаемый через элементарные функции. Так, например, называется эллиптическим интегралом 1-го рода и взять его невозможно.
Благодаря этому в математическом анализе появляются новые функции. Их изучение затруднено, но возможно разложение этих функций в ряды и т. д.
Определенный интеграл
Для вычисления площадей криволинейных трапеций вводится понятие определенного интеграла. Интуитивно он является пределом суммы площадей малых прямоугольников при стремлении максимальной ширины прямоугольника к нулю. Согласно обозначениям Лейбница интеграл записывается следующим образом: .
Смысл этого обозначения прост: знак ∫ – стилизованная буква S символизирует сумму. Буквы a и b указывают отрезок, на котором проводится суммирование. Они называются пределами интегрирования. Произведение выражает площадь бесконечно узкого прямоугольника. Таким образом, речь идет о сумме площадей таких прямоугольников.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!