Линейные многошаговые методы интегрирования. Методы Адамса-Бэшфорта.

Явные методы, поскольку для вычисления нового y, следует посчитать f(k), более ранние значения известны.

 

1 порядок:

2 порядок:

3 порядок:

4 порядок:

 

Погрешность вычислений:

Адамса-Бэшфорта

Рунге-Кутта

Следовательно, для достижения одинаковой точности в методе Адамса-Бэшфорта необходимо использовать более мелкий шаг, а потому он является менее экономичным.

Классификация методов интегрирования

1. По порядку точности. Порядок точности - наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.

2. Явные или неявные. Метод называется явным потому, что неизвестное значение может быть непосредственно вычислено по известному значению в предыдущей точке.

3. Одношаговые или многошаговые. В одношаговых методах для получения точки требуется лишь информация о последней рассчитанной точке. В m - шаговых методах для получения точки требуется информация о предыдущих m рассчитанных точках.

4. Самостартующие или несамостартающие. Самостартующий метод- метод, в котором для начала вычислений не требуется дополнительных расчётов.

Явные и неявные методы интегрирования

S=1 – явный метод

S=0 – неявный метод

- полуявный или полунеявный:

1. при S=0,5: O()

2. при S 0,5, но S [0;1]: O()

 

Увеличение порядка точности продолжается, пока

 

Явные методы:

- требуют одну итерацию;

- для достижения устойчивости шаг должен быть очень маленьким.

Неявные методы:

- требует N итераций;

- высокая устойчивость, шаги могут быть большими. Могут обеспечить сходимость вычислительного процесса при любом шаге интегрирования. Поэтому величину шага интегрирования для этих методов выбирают из условия обеспечения точности решения, оцениваемой погрешностью аппроксимации.

Понятие о жёстких системах дифференциальных уравнений

;   A- матрица коэффициентов

При N=2

 

 

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется жёсткой если Re

l- коэффициент жёсткости

 

Одно дифференциальное уравнение называется жёстким, если при его старшей производной стоит малый коэффициент

Погрешности

 - точное значение интеграла

 значение интеграла, рассчитываемое с шагом h

- - главный член погрешности;

- - второстепенный член погрешности.

 

Например,

-даёт очень скруглённую величину, так как вместо каждой производной берётся одна максимальная;

- может быть вычислена до решения.

 

 

Предположим, что шаг уменьшен до  тогда

Следовательно, уменьшение сетки приводит к уменьшению погрешности.

Cлева в формуле - априорная погрешность (теоретическая), справа- апостериорная (практическая). Эта формула даёт более точный результат.

 

Для h1=h/2: - формулы Рунге или формулы второго пересчёта.

- экстраполяция Ричардсона.