Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2020-02-15 | 136 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Алгебраическая форма
Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i 2 = − 1):
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d);
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.
Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число
называется модулем комплексного числа z и обозначается символом | z |.
Однородные уравнения
Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество .
Например, функция есть однородная функция второго измерения, так как
При имеем функцию нулевого измерения. Например, есть однородная функция нулевого измерения, так какДифференциальное уравнение вида называется однородным относительно и , если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде
(1)
Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:
Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).
11) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Уравнение вида y'+ ρ(x) y=f (x), где ρ(x) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+ 3 y=e 2 x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х =0, у =1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f (x)= e 2 x .
Решение ищем в виде y=U ∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U' υ+ U υ ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U' υ +U υ ' +3 U υ= e 2 x или U' υ +U (υ ' +3υ)= e 2 x .
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ ' +3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3 x,υ= e –3 x .
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
|
12) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение вида y''+ ρ y'+qy=f (x), где ρ и q – вещественные числа, f (x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ ρ y'+qy =0, (1)
у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K 2 + ρ K+q =0 (2)
называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).
Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К 1 и К 2.
Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D =ρ2–4 q уравнения (2) следующим образом:
1. При D >0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К 1≠ К 2), и общее решение имеет вид .
2. При D =0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К 1= К 2= К), и общее решение имеет вид:
3. Если D <0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где – мнимая единица, и общее решение (К 1=α+β i, К 2=α–β i, β≠0), имеет вид y = e α x (C 1 cosβ x + C 2 sinβ x).
|
Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:
16) Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Пусть — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида
Вообще, для обозначения ряда используется символ
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:
§ числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
§ числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:
§ числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.
Если числовой ряд сходится, то предел S последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:
Алгебраическая форма
Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i 2 = − 1):
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d);
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.
Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число
называется модулем комплексного числа z и обозначается символом | z |.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!