Практическая работа «Дискретные случайные величины»

Практическая работа

«Задачи по предмету “Статистические методы контроля и управления качеством”»

 

 

Выполнил:

Студентка гр. 9УК-41

Мамедова А.З.

Проверил:

Преподаватель высшей категории

Вукалова С.В.

Санкт-Петербург

2019

Задача:

Определить среднюю наработку изделия до первого отказа. Величину средней наработки привести к интервалу 1 час.

Наработка 1 изделия (мин)	42 (0,7)
Наработка 2 изделия (мин)	2 (0,03)
Наработка 3 изделия (мин)	13 (0,22)
Наработка 4 изделия (мин)	5 (0,083)
Наработка 5 изделия (мин)	39 (0,65)

 

Т_ср = (0,7+0,03+0,22+0,083+0,65)/5 = 0,3366

Практическая работа «Дискретные случайные величины»

Цель приобретение навыков математической разработки дискретных случайных величин.

Задача:

Каждый день отдел ОТК получает заказы на основе партии продукции, которые необходимо оформить на следующий день. Число заказов на проверку зависит от многих факторов: дня недели, политики предприятия, возможности персонала обработать заказ. Пусть Х – количество партий, которое отдел ОТК получает в определенный день, Х – случайная величина, только целое число. Определить вероятность брака изделий.

хi	0	1	2	3	4	5
P(х) = рi	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1

 

Представленная таблица говорит о следующим, например, мы видим то, что в определенный день будет проверены 3 партии = 0,2; 2 = 0,3.

Поскольку появление различных значений Х не совместимые события, то вероятность того, что ОТК проверит 2-го или 3-го партию составляет:

Р (2) +Р (3) = 0,3+0,2 = 0,5

Практическая работа «Дисперсия дискретной случайной величины»

Цель приобретение навыков математической разработки дисперсии дискретной случайной величины

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания.

Математическое ожидание – ожидаемое среднее значение случайной величины.

Задача:

Каждый день отдел ОТК получает заказы на основе партии продукции, которые необходимо оформить на следующий день. Число заказов на проверку зависит от многих факторов: дня недели, политики предприятия, возможности персонала обработать заказ. Пусть Х – количество партий, которое отдел ОТК получает в определенный день, Х – случайная величина, только целое число. Определить вероятность брака изделий.

хi	0	1	2	3	4	5
P(х) = рi	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1

M(X) = 0*0,1 = 0

= 1*0,2 = 0,2

= 0+0,2+0,6+0,6+0,4+0,5 = 2,3

= 2*0,3 = 0,6

= 3*0,2 = 0,6                

= 4*0,1 = 0,4

= 5*0,1 = 0,5

 

σ² = (0-2,3)²*0,1+(1-2,3)²*0,2+(2-2,3)²*0,3+(3-2,3)²*0,2+(4-2,3)²*0,1+(5-2,3)^2*0,1 = 2,01

Практическая работа «Формулы Бернулли. Биномиальные вероятности»

Цель приобретение навыков математической разработки формулы Бернулли и биномиальной вероятности.

Формула Бернулли:

Где q = 1-p

· n – число испытаний

· m – число успешных испытаний

Таблица. Биномиальное распределение

Число успехов m	Вероятность P(n,m)
0
1
2
3
n

 

Задача:

Известно, что 15% деталей произведенные автоматом бракованные. В порядке случайного отбора взято 5 деталей. Примените формулу Бернулли для расчета успехов и не успехов. Результат оформить в табличную форму, построить график полученного распределения.

Дано:

m = 0 – 5

n = 5

p = 0,15

q = 1-0,15 = 0,85

·

·

·

·

·

·

 

m	P(n,m)
0	0,44
1	0,39
2	0,14
3	0,025
4	0,0022
5	0,000076 ≈ 0,0001

 

Практическая работа «Закон непрерывной случайной величины.

Нормальное распределение»

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать любые значения в часовом интервале
(пример: возраст)

Нормальное распределение иногда называют законом ошибок, например, отклонение в размерах детали от установленных значений объёмными причинами, каждая из которых влияет на размер детали. При измерении является суммой большого числа отклонений (ошибок)

где –∞ <x <+ ∞

   

   

   

   

Правило трех сигм

Вероятность того, что отклонение будет меньше σ или другими словами, что случайная величина попадёт в интервал .
Вероятность того, что отклонение будет меньше двух σ или другими словами, вероятность того что случайная величина попадет в интервал .
Вероятность того, что отклонение будет меньше трех σ или другими словами, вероятность того что случайная величина попадет в интервал .

Задача:

Построить график. Имеются 2 параметра а = М(х);

a = – 3; σ = 0, 63

при x = – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1; 0

·

·

·

·

·

·

·

 

Задача 3.

Рабочий деревообрабатывающего производства считает, что ширина деревянных брусьев разной длины. Пусть ширина бруса есть случайная величина, подчиняющаяся равномерному распределению на отрезке от 0,865 до 1,055 м.

Найти среднюю длину и стандартное отклонение деревянного бруса.

Полагаем, что .

Эта информация может быть использована при приёме деревянных брусьев, равномерное распределение имеет очень много статистических приложений.

 

 

Вариационный ряд. Выборка.

Целью математической обработки вариационного ряда является определение f (x), F (x) только в том случае, если после построения гистограммы данных вариационного ряда оказывается, что она (гистограмма) имеет вид нормального или приближенного распределения могут быть применены наиболее эффективные методы

3s+ДА+РА+КА

Задача

Рассмотрим в качестве изучения признака число дефектных деталей из 26 случайно выбранных рабочих станочников.

16, 12, 15, 15, 23, 9, 15, 13, 14, 14, 21, 15, 14, 17, 27, 15, 16, 12, 16, 19, 14, 16, 17, 13, 14, 14

Расположим значения в порядке возрастания (убывания), обозначим изучение признака X, общий вид

Варианты расположения в возрастающем или убывающем порядке т.е. ранжированы и соответствуют следующем вариационному ряду:

9, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 19, 21, 23, 27

В нашем примере варианты 12, 13, 14, 15, 16, 17 повторяются.

Абсолютные числа показывающие сколько раз встречаются те или иные варианты в ряду частотами (весами), они обозначают  (  или ), где k – число групп вариационного ряда

k< n                n=S

Вариационный ряд можно представить в виде таблицы

Значения признака (			…
Частоты ()			…

Для приведенного выше примера представили вариационный ряд в табличной форме

Данные о числе дефектных деталей 26 рабочих станочников

Число дефектов (	9	12	13	14	15	16	17	19	21	23	24
Число рабочих стан. ()	1	2	3	6	5	3	2	1	1	1	1

k=11

n=26

Чаще для анализа полезнее пользоваться не стабильными, а относительными значениями частот, которые получаются путем деления каждого значения  на общую сумму всех частот.

Отношение частоты того или иного варианта, ее сумме всех частот ряда называются частостью или относительной частотой, обозначается:

Представим вариационный ряд частостей дефектных деталей 26 рабочих станочников

Число дефектов (	9	12	13	14	15	16	17	19	21	23	24
Число рабочих стан. ()	0,04	0,07	0,11	0,23	0,19	0,11	0,07	0,04	0,04	0,04	0,04

Сумма всех частостей.

Частости могут быть выражены в %, тогда их сумма равна 100%.

После того как результаты статистических наблюдений упорядочены в виде вариационных рядов можно начать технический анализ.

Данные представленные в таблице указывают на то, что основная часть рабочих станочников осуществляет от 14 до 16 браков деталей, следовательно, начальнику ОТК необходимо провести анализ для того чтобы выявить причины изделий производства остальных рабочих.

Границы интервалов.

В интервалах вариационных рядов различают верх и низ границы интервалов:

Нижняя граница интервала  (min)

Верхняя граница интервала  (max),

Тогда длина интервала обозначается   или  и определяется по формуле:  =  (max) -  (min)

Формула Стэрджеса

· n - число единиц совокупности

· x (max), x (min) – наибольшее и наименьшее значение вариантов ряда

 

Интервалы дефектных изделий	9-12	13-15	16-18	19-21	22-24	25-27
Число станочников	3	14	5	2	1	1

Кумулятивная функция

 

 

«Дисперсионный анализ»

Сущность метода дисперсионного анализа заключается в измерении отдельных дисперсий и дальнейшем определении доли(силы) влияния изучаемых факторов на результативный признак.
Дисперсионный анализ это статистический метод оценки связи между факторными и результативными признаками в различных группах, отобранных случайным образом и основанный на определении различий(разнообразия) значений признаков.
В основе дисперсионного анализа лежит анализ отклонений всех единиц исследуемой совокупности от среднего арифметического. В качестве меры отклонений берётся дисперсия(B) средний квадрат отклонений. Отклонение, вызываемое воздействием факторного признака(фактора) сравниваются с величиной отклонений, вызываемых случайными обстоятельствами. Если отклонение, вызываемое факторным признаком, более существенны, чем случайные отклонения, то считается, что фактор оказывает существенное влияние на результативный признак.
Дисперсионный анализ, в котором проверяется влияние одного фактора, называется однофакторным(одномерным) анализом. При изучении влияния более, чем одного фактора, используют многофакторный дисперсионный анализ(многомерный).
Факторные признаки - это те признаки, которые влияют на изучаемое явление.
Результативные признаки - это те признаки, которые изменяются под влиянием факторных признаков.
Для проведения дисперсионного анализа могут использоваться как качественные, так и количественные признаки.
Методы дисперсионного анализа:
1. Метод по Фишеру - критерий F большое. Метод применяется в однофакторном дисперсионном анализе, когда совокупная дисперсия всех наблюдаемых значений раскладывается на дисперсию внутри отдельных групп и дисперсию между группами.
2. Метод общей линейной модели. В его основе лежит корреляционный или регрессионный анализ, применяемый в многофакторном анализе.
Условия применения дисперсионного анализа
1. Задачей исследования является определение силы влияния одного(до трёх) фактора на результат или определения силы совместного влияния различных факторов.
2. Изучаемая факторов должны быть независимыми(не связанные между собой).
3. Подбор групп для исследования проводится рандомизированно(случайны отбор).
Организация дисперсионного комплекса с выполнением принципа случайности отбора вариантов называется рандомизацией.
4. Можно применять как количественные, так и качественные(атрибутивные) признаки.
При проведении однофакторного дисперсионного анализа рекомендуется применять условия:
1. Нормальность распределения анализируемых групп или в соответствии выборочных групп генеральным совокупностям с нормальным распределением.
2. Независимость(несвязанность) распределения наблюдения в группах
3. Наличие частоты(повторность наблюдений).
Принцип применения метода дисперсионного анализа:
1. Сначала формулируется нулевая гипотеза, то есть предполагается, что исследуемые факторы не оказывают никакого влияния на значение результативного признака и полученные различия случайны.
2. Затем определяют какова вероятность получить наблюдаемое(или более сильные различия при условии справедливости нуловей гипотезы).
3. Если эта вероятность мала, то мы отвергаем нулевую гипотезу и заключаем, что результаты исследования статистически значимы. Это не означает, что доказанное действие именно изучаемых факторов (это вопрос прежде всего планирования исследования), но всё же маловероятно, что результат обоснован случайностью. Максимальную приемлемую вероятность отвергнуть верную нулевую гипотезу называют уровнем значимости и обозначают альфа = 0,05. При выполнении всех условий применения дисперсионного анализа, разложение общей дисперсии математически выглядит следующим образом:
D общее = Dфактическое +Dостаточное
D общее - это общая дисперсия наблюдаемых значений(вариант). Характеризуется разбросом вариант от общего до среднего. Измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Общее разнообразие складывается из межгруппового и внутригруппового.
D фактическое - это факторная(межгрупповая) дисперсия. Характеризуется различием средних каждой группе и зависит от влияния исследуемого фактора, по которому дифференцируется каждая группа.
D остаточная - остаточная(внутригрупповая) дисперсия, которая характеризует рассеяние вариант внутри групп. Отражает случайную вариацию, то есть часть вариации, происходящую под влиянием неуточнённых факторов и независящую от признака - фактора, положенного в основании группировки. Вариация изучаемого признака зависит от силы влияния каких-то неучтённых случайных факторов, так и от организованных.
Поэтому общая вариация(дисперсия) слагается из вариаций, вызванной организованными(заданными факторами), называемыми факториальной вариацией и неорганизованными факторами, то есть остаточной вариацией(случайной или неизвестной).
Среди аналитических задач, решаемо статистикой, важнейшей является изучение связи. Если необходимо оценить разности между характеристиками нескольких групп используют дисперсионный анализ. Дисперсионный анализ применяется для сравнения условных математических ожиданий (или средних величин) признака-результата при условии того или иного значения одного или нескольких признаков факторов.

ДА подразделяются на однофакторные и многофакторные.

В простейшем случаи ДА является однофакторный анализ, в котором n единиц совокупности распределенного на m групп по значениям одного фактора.

Общая вариация SSE при этом подразделяется на часть, объясняющую различия между группами.

· группа А SSE – межгрупповая сумма квадратов отклонения;

· группа Б SSW – внутри групповая сумма квадратов отклонения.

 

Источник вариации	df	SS	MS	F	Значимость F
Межгрупповая		SSB
Внутригрупповая		SSW
Общая		SSB+SSW

 

· df – число степеней свободы;

· SS – суммы квадратов отклонения;

· MS – средняя сумма квадратов отклонения, приходящаяся на одну степень свободы;

· F – критерий.

В основе ДА лежит разделение дисперсии на компоненты.

Связь между общей дисперсией , средняя из внутригрупповой дисперсии  и межгрупповой дисперсией .

, где

 , ,

 

Если средняя по группам образует в соответствии со значениями фактора x отмечается в пределах случайных разностей, то межгрупповой средней свойств отклонений имеет след вид , внутригрупповое среднее квадратическое отклонение , будет одинаковым.

 это положение соответствует нулевой гипотезы

Правилом проверки H ₀ выступает F -критерий

Необходимыми предположительными для корреального используют
F -критерий является корреальное распределение значений зависимой переменной в каждой группе равенство дисперсий в группах.

Задача:

Рассмотрим пример однофакторного дисперсионного анализа. Служба качества решает определить одинаково или надежны динамики мобильных телефонов разных производителей. Было взято пять телефонов из четырех выбранных фирм производитель.

Результаты испытаний представлены в таблице.

№ моб. телефона	Фирма 1	Фирма 2	Фирма 3	Фирма 3
1	21,4	25,1	22,3	26,1
2	19,6	24,4	24,1	21,5
3	23,1	25,3	21,7	18,9
4	19,8	23,9	21,4	22,3
5	20,3	24,9	22,6	24,2
Итого	104,2	123,6	112,1	113,1
Сред. арифметическое	20,84	24,72	22,42	22,62

 

В этой задаче фирма производителя выступает в качества фактора (x) влияние которого на надежность динамиков мобильных телефонов (y) – проверяется.

Для построения таблицы ДА необходимо:

1. Определить выборочное среднее для каждой группы (последняя
строка табл.)

2. Определить среднее время для всех моб. телефонов.

Для этого просуммируем все 20 показателей и разделим сумму на общее количество наблюдений.

3. Вычислить суммы квадратов отклонений

Внутригрупповая сумма квадратов отклонений

Общая сумма квадратов отклонения

Межгрупповая сумма квадратов отклонений

Внутригрупповая сумма квадратов отклонений

F-критерий

При заданном уровне значимости и чисел степеней свободы межгрупповой и внутригрупповой числовой вариации, определить критическое значение F-критерия по таблице значений F-критерия Фишера.

В рассматриваемом примере числитель имеет три степени свободы.

Таким образом принимая уровень значимости 0,05 т.е. при вероятности ошибочного решения 5%. ; , верхнее критическое значение F-критерий = 3,24, вычисленное значение F статистическое = 4,64

F табличное = 3,24, следовательно различие между средними значениями времени работы динамиков мобильных телефонов статистически значимое то есть гипотеза H ₀ – отклоняется

Проведенный дисперсионный анализ показал наличие статистически значимой связи. Эту связь можно измерить с помощью эмпирического корреляционного отклонения, которое рассматривается как отношение факторной дисперсии к общей дисперсии результативного признака степени .

Эмпирическое корреляционное отклонение

Этот показатель принимает значение в интервале от 0 до 1, чем ближе h к единице, тем связь сильнее и наоборот, следовательно между надежностью динамиков моб. Телефонов и фирмой производителя существует тесная связь.

Для заключения о тесноте связи можно пользоваться следующей рекомендацией:

Значение эмпирической корреляции отношение – теснота связи может быть следующей: слабое (0,3 и меньше); среднее (0,3-0,05); умеренно-среднее (0,5-0,7); тесное (0,7 и более).

Для решения конкретных задач предполагается отдается , которые называются коэффициентом детерминации. Этот показатель отражает долю межгрупповой колеблемости в общей, выражается в %

 

 

Корреляционный анализ

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ. Измерение корреляции.
Если результативный признак (y) реагирует на изменения фактора x или факторов(x1, x2, x(n)), то связь между величинами можно представить математической функцией.
Подбор функции, которая наилучшим образом отображает реально существующие связи между анализируемыми признаками зависит от степени разработки теории изучаемого явления от распределения значений переменных x и y на поле корреляции от оценки функции разных типов.
Когда влияние измени факторов на результат постоянно, используют линейную функцию. В других случаях необходимо использовать нелинейные функции. Но они приводятся к линейному виду путем замены переменных или их логарифмирования.
Математическое описание зависимости среднего значения результативной признака y от факторов называется уравнением регрессии.
Поиск статистической модели, выбор объясняющих переменных, Оценка параметров статистической модели называется регрессионным анализом.
Различают уравнения парной и множественной регрессии.
Парная линейная регрессия имеет вид y с домиком равно а плюс bx
Множественная линейная регрессия имеет вид y с домиком опять = а + b1x1 + b2x2 + … + … b(n) x(n)
Y с домиком - среднее значение результативного признака при определённом значении факторного признака x.
y^{^}_x = a + b₁x₁ + b₂x₂ +… + b_nx_n.
а - свободный член управления регрессии.
b - коэффициент регрессии.
Параметры уравнения регрессии находятся методом наименьших квадратов(МНК). Построение регрессионной модели включает следующие основные этапы:
1. Определение цели исследования
2. Построение системы показателей и отбор факторов наиболее влияющих на каждый показатель
3. Выбор формы связи между результатом и отобранными факторами
4. Определение параметров модели
5. Проверка качества построенной модели
При использовании регрессионного анализа должны быть выполнены следующие условия:
1. Исходные данные однородны
2. Число рассматриваемых переменных не должно быть слишком велико:
Для получения надёжных оценок коэффициентов регрессии должно быть не менее чем в 6 раз меньше числа наблюдений. 6k<=n
3. Среди объясняющих переменных отсутствует коллинеарность, то есть нет дублирующих элементов.
Задача:
Рассмотрим построение парной линейной регрессии.
Изучается зависимость количества обнаруженных дефектов(y) от времени, потраченного на проверку деталей в партии.
Построим таблицу:

№ партии	Дефект yi	Время хi	yixi	x2i	(yi-y–)2	y^i	(yi-y^)2
1	2	58	116
2	3	64	192
3	3	80	240
4	4	79	316
5	4	86	344
6	4	90	360
7	5	95	475
8	5	96	480

Найдём параметры a и b линейной регрессии.
y с домиком = a + b*x
Для этого используем метод наименьших квадратов. Исходное условие МНК формулируется следующим образом:

В результате
Параметр а в данном примере выполняет роль доводки до соответствия соотношения между x среднее и y среднее
Параметр b(коэффициент регрессии) показывает что с ростом накопленных показателей на одну единицу изменяется оценка роста на 0,69.
Направление связи между y и x определяет знак коэффициента регрессии b. В нашем случае b> 0, то есть связь является прямой. Если b < 0, то связь является обратной.
То есть с ростом значения x - значения y уменьшаются.

 

 

Практическая работа

«Задачи по предмету “Статистические методы контроля и управления качеством”»

 

 

Выполнил:

Студентка гр. 9УК-41

Мамедова А.З.

Проверил:

Преподаватель высшей категории

Вукалова С.В.

Санкт-Петербург

2019

Задача:

Определить среднюю наработку изделия до первого отказа. Величину средней наработки привести к интервалу 1 час.

Наработка 1 изделия (мин)	42 (0,7)
Наработка 2 изделия (мин)	2 (0,03)
Наработка 3 изделия (мин)	13 (0,22)
Наработка 4 изделия (мин)	5 (0,083)
Наработка 5 изделия (мин)	39 (0,65)

 

Т_ср = (0,7+0,03+0,22+0,083+0,65)/5 = 0,3366

Практическая работа «Дискретные случайные величины»

Цель приобретение навыков математической разработки дискретных случайных величин.

Задача:

Каждый день отдел ОТК получает заказы на основе партии продукции, которые необходимо оформить на следующий день. Число заказов на проверку зависит от многих факторов: дня недели, политики предприятия, возможности персонала обработать заказ. Пусть Х – количество партий, которое отдел ОТК получает в определенный день, Х – случайная величина, только целое число. Определить вероятность брака изделий.

хi	0	1	2	3	4	5
P(х) = рi	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1

 

Представленная таблица говорит о следующим, например, мы видим то, что в определенный день будет проверены 3 партии = 0,2; 2 = 0,3.

Поскольку появление различных значений Х не совместимые события, то вероятность того, что ОТК проверит 2-го или 3-го партию составляет:

Р (2) +Р (3) = 0,3+0,2 = 0,5