ЛЕКЦИЯ 6. Задачи базового уровня ЕГЭ.

Задачи№1. (Равномерное прямолинейное движение, равноускоренное прямолинейное движение, движение по окружности).

1) Задача. Может ли график зависимости пути от времени иметь следующий вид?

1. да,

2. нет,

3. может, если траектория прямолинейная,

4. может, если тело возвращается в исходную точку.

Решение: Путь – это длина пройденного участка траектории. По определению путь – это возрастающая положительная величина. Поэтому представленный график не может изображать зависимость пути от времени.

Ответ: 2.

2) Задача. Мяч, брошенный вертикально вверх падает на землю. Найдите график зависимости от времени проекции скорости на вертикальную ось, направленную вверх.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Решение: Свободное падение мяча описывается равноускоренным движением вниз. Проекция скорости на вертикальную ось уменьшается со временем и описывается формулой:  . График функции скорости – убывающая прямая.

Ответ: 2.

3) Задача. Мяч брошен со скалы. Найдите график зависимости модуля от перемещения от времени. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Решение: Равноускоренное движение вниз без начальной скорости описывается формулой:  . Графиком функции будет парабола с вершиной в нуле, ветви направлены вверх. Так как еще и t>0, то однозначно подходит график 4.

Ответ: 4.

4) Задача. Автомобиль движется по прямой. На графике представлено изменение скорости автомобиля. В каком интервале времени модуль ускорения – максимальный?

1) 0 -10 с,

2) 10 – 20 с,

3) 20 – 30 с,

4) 30 – 40 с.

Решение: На всех участках автомобиль движется равномерно. Чем быстрее увеличивается скорость автомобиля, тем больше ускорения. Угол наклона графика скорости больше на участке времени 10 -20 секунд.

Ответ: 2.

5) Задача. По графику изменения модуля скорости по времени определите путь пройденный телом за все время движения.

Решение: Площадь под графиком изменения скорости по времени и есть величина пройденного пути телом за это время. Найдем площадь под графиком от 0 до 6 секунд.

 

Ответ: 23

6) Задача: На рисунке представлен график изменения пути по времени. Определите по графику скорость велосипедиста в момент времени от 1 до 3 секунд.

Решение: На графике при 1<t<3 путь S не изменялся. Значит, велосипедист остановился в это время. Скорость равна нулю.

Ответ: 0.

7) Задача. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени.

На каком графике представлена проекция ускорения тела в интервале времени от 10 до 20 с.?

Решение: Скорость тела в интервале времени [10, 20] секунд была постоянной и равной 15 м/с. Значит, ускорения нет. Ускорение равно нулю.

Ответ: 0.

8) Задача: На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени.

На каком графике представлена проекция ускорения тела в интервале времени от 20 до 26 с.?

Решение: v (20)=15 м/с, v (26)=0, .

Ответ: 3.

9) Задача: Автомобиль движется прямолинейно. На графике представлена зависимость скорости от времени.

На каком интервале времени модуль его ускорения минимален?

1) от 0 до 10,

2) от 10 до 20,

3) от 20 до 30,

4) от 30 до 40.

Решение: Скорость автомобиля изменяется равномерно – ускорение на каждом интервале постоянный. Чем меньше острый угол наклона графика скорости, тем меньше и ускорение. Выбираем интервал времени [0,10].

Ответ: 1.

10) Задача: Тело начинает двигаться от начала координат вдоль оси ОХ, причем проекция скорости меняется по закону приведенному на графике. Чему будет равна проекция ускорения тела через 2 секунды?

Решение: Проекция скорости тела возрастает по линейному закону. Это видно из графика. Значит, тело двигалось с постоянным ускорением. Найдем значение ускорения, воспользовавшись определением:

Ответ: 0,5м/с.

11) Задача: По графику зависимости изменения проекции скорости по времени определите пройденный телом путь за время от 0 до 6 секунд?

Решение1: Чтобы из графика зависимости проекции скорости тела от времени получить график зависимости скорости тела от времени, необходимо все графики на отрицательной полуплоскости зеркально отразить в положительную полуплоскость. Получив график модуля скорости, путь пройденный телом можно найти как площадь под графиком. .

Замечание. Необходимо различать два понятия: путь и перемещение. Путь – длина пройденной траектории, поэтому путь –строго положительная величина. Перемещение – это вектор, соединяющий начало движения с концом.

Решение 2: Найдем по определению ускорение тела: . Воспользуемся формулой нахождения пути при равноускоренном движении:

Ответ: 25 метров.

12) Задача. На рисунке изображены графики зависимостей модулей скорости движения четырех автомобилей. Какой из автомобилей прошел наибольший путь за первые 15 секунд движения?

1) 1, 2) 2, 3) 3, 4) 4.

Решение. Максимальный путь проехал тот автомобиль, у которого под графиком изменения скорости по времени наибольшая площадь. Наибольшая площадь - под графиком 3. Значит, автомобиль 3 проехал наибольший путь за первые 15 секунд движения.

Ответ: 3.

13) Задача. Тело движется прямолинейно вдоль оси Х. На графике представлена зависимость координаты тела от времени. В какой момент времени модуль перемещения относительно исходной точки имел максимальное значение?

Решение: Построим график функции перемещения тела по времени и определим по графику максимум. Построение графика будем выполнять, пользуясь пониманием, что модуль перемещения тела определяется выражением  . Таблица для построения будет иметь вид:

t
1	20-10=10
2	10-10=0
3	0-10=10
6	10+10=20
8	0+10=10

Ответ: 6 секунд.

14) Задача: Приведен график движения x(t). Определите по этому графику, путь пройденный телом в интервал времени от 1 до 4 секунд.

Решение: В интервале времени [1; 3] секунды тело двигалось в положительном направлении, и координата изменилась на 4-2=2 метра. В 4 секунду тело двигалось в обратном направлении и координата изменилась на 3-1=-1 м. Путь равен |2|+|-1|=3 метра.

Ответ: 3 метра.

15) Задача: Показаны графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. Чему равна величина, на которую скорость второго тела больше скорости первого тела?

Решение: Графики пути – линейные. Значить оба тела двигались с постоянной скоростью, равномерное движение.

 

Ответ: 10м/с.

16) Изображены графики зависимости координаты от времени для двух тел. Чему равен модуль скорости тела 1 относительно тела 2?

Решение: Движение тел – равномерное, значит скорости – постоянные.

 

Ответ: 18 м/с.

17) Задача. Координата материальной точки с течением времени изменяется по закону  . Какой из приведенных ниже графиков соответствует этой зависимости?

Решение: Анализируем данную функцию. Начальная координата равна 3, так как х(0)=3-2×0=3. Координата убывает со временем. В начало координат точка движения попадает в t=3/2 секунду.

Подходит график 4.

Ответ: 4.

18) Задача. Траектория движения по плоскости ХУ четырех тел изображено на рисунке. Зависимость координат какого тела имеет вид:

Решение: Выразим из первого уравнения параметр t и подставим во второе уравнение:  . Полученной функции соответствует график В.

Ответ: В.

19) Мяч, упав с некоторой высоты из состояния покоя, ударился о землю и подпрыгнул на такую же высоту. Выберите график зависимости модуля скорости мяча от времени.

Решение: По мере приближения к земле, скорость мяча увеличивается. После удара мячь движется вверх с уменьшающейся скоростью и начнет опять падать, когда скорость станет равной нулю. Итак, скорость сначала возрастает, после – убывает. Подходит график 2.

Ответ: 2.

20) Задача. Мотоцикл едет по прямой дороге со скоростью 40 км/ч. По той же дороге, в том же направлении едет автомобиль со скоростью 65 км/ч. Чему равен модуль скорости движения мотоциклиста относительно автомобиля?

Решение: |65-40|=25 км/ч. Рассмотрим векторы скоростей и выполним векторное вычитание скоростей.

Задачи№2. (Динамика. Законы Ньютона).

1) Задача. На тело в инерциональной системе отсчета действуют две силы. Какой из векторов на правом рисунке указывает направление ускорения тела?

Решение: Ускорение сонаправлено с равнодействующей силой, по второму закону Ньютона. найдем равнодействующую силу, сложив векторы сил:

Ответ: 3.

2) Задача. На рисунке - вектор скорости тела и вектор равнодействующей силы. Какой из векторов на правом рисунке указывает на ускорение этого тела?

Решение: Согласно второму закону Ньютона ускорение тела сонаправлено с равнодействующей силой. Подходит вектор 2.

Ответ: 2.

3) Задача: Самолет равномерно летит на высоте 10 000 км над землей. Систему, связанную с Землей можно считать инерциональной, если:

1) на самолет не действует сила тяжести,

2) сумма всех сил, действующих на самолет равна нулю,

3) на самолет не действуют никакие силы,

4) сила тяжести равна силе Архимеда.

Решение: По второму закону Ньютона в инерциональной системе отсчета равнодействующая сила находится в прямой пропорциональностью с ускорением. Самолет летит без ускорения. Значит, равнодействующая сила равна нулю.

Ответ: 2.

4) Задача: Мяч, неподвижно лежащий на полу вагона поезда, покатился вправо. Как изменилось движение поезда?

1) скорость поезда увеличилась,

2) скорость поезда уменьшилась,

3) поезд повернул влево,

4) поезд повернул вправо.

Решение: Мяч по инерции продолжил прямолинейное движение. И если относительно поезда мы видим, что мяч покатился вправо, значит, поезд относительно земли повернул влево.

Ответ: 3.       

5) Задача. Автомобиль массой 1000 кг движется со скоростью, описанной графиком v(t). Чему равна равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль?

Решение: Используем второй закон Ньютона.

.

Ответ: 500

6) Задача. На тело действуют три силы. F₁=1 Н. Каков модуль равнодействующей силы?

Решение: Найдем равнодействующую силу.

  Длину вектора найдем по теореме Пифагора:

 

Ответ:  

7) Брусок лежит на наклонной опоре. На него действуют сила тяжести mg, сила реакции опоры N, сила трения F_тр. Чему равна равнодействующая сила?

Решение: Так как брусок неподвижен, значит, равнодействующей сила равна нулю.

Ответ: 0.

8) На рисунке – график зависимости скорости движения трамвая от времени. Какой график выражает зависимость равнодействующей силы от времени?

Решение: На интервале времени [0, t₁] скорость тела изменялась, значит, есть ускорение, действовала постоянная равнодействующая сила. На интервале времени [t₁, t₂] скорость тела не изменялась, значит, ускорение равно нулю, нет и равнодействующей силы. (По второму закону Ньютона). Подходит график 4.

Ответ: 4.

9) Задача. Зависимость координаты материальной точки от времени задано уравнением  . Какой вид имеет зависимость проекции скорости от времени?

Решение1: Скорость есть первая производная координаты по времени.

Решение 2: Используем уравнение равноускоренного движения

Из уравнения в условии задачи видим:

 . скорость при равноускоренном движении меняется по правилу:  . Значит,

Ответ:

10) Задача. В инерциональной системе отсчета сила  сообщает телу массой m ускорение . Под действием какой силы в этой системе отсчета тело массой получит ускорение  ?

Решение. По второму закону Ньютона равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение.  .

Ответ: .

11) Задача. Точечное тело массой 1 кг двигалось по горизонтальной плоскости. К телу приложили две силы, в результате которых тело начало равноускоренное движение. Анализируя график зависимости проекции скорости от времени, выберите правильно рисунок, на котором изображены действующие силы.

Решение: Найдем ускорение тела: (5-1)/2=2м/с². По второму закону Ньютона величина равнодействующей силы:  Построим равнодействующие силы на каждом рисунке и найдем их величины.

 . Подходит рисунок 3.

Ответ. 3

12) Задача. Ядро атома массой M притягивает электрон массой m. Сравните силу действия ядра на электрон F₁ c силой действия электрона на ядро F₂.

Решение. Согласно третьему закону Ньютона силы взаимодействий ядра атома и электрона равны по модулю и противоположно направлены.

Ответ. F₁= F₂  .

13) Задача. Земля притягивает к себе подброшенный мяч с силой 6Н. С какой силой мяч действует на землю?

Решение. Согласно третьему закону Ньютона силы взаимодействий мяча и Земли равны по модулю и противоположно направлены.

Ответ. 6Н.

14) Задача. Подъемный кран поднимает груз с постоянным ускорением. На груз со стороны каната действует сила 9×10³Н. Какая сила действует со стороны груза на канат?

Решение. Согласно третьему закону Ньютона силы действий крана и груза на канат равны по модулю и противоположно направлены.

Ответ. 9×10³Н.

15) Задача. Мальчик медленно поднимает гирю, действуя на нее с силой в 100Н. Гиря действует на руку мальчика с силой

1) меньше 100 Н, направленной вниз,

2) больше 100Н, направленной вниз,

3) 100Н направленные вниз,

4) 100Н направленные вверх.

Решение. Согласно третьему закону Ньютона силы действий гири и руки равны по модулю и противоположно направлены. Значит, с силой 100 Н направленные вниз.

Ответ: 3.

16) Задача. Под действием силы в 8 Н первоначально покоившееся тело массой 4 кг будет двигаться

1) равномерно со скоростью 2м/с,

2) равноускоренно с ускорением 2м/с²,

3) равноускоренно с ускорением 0,5м/с²,

4) равномерно со скоростью 0,5/с.

Решение. По второму закону Ньютона тело будет двигаться с ускорением:

17) Задача. Тележка массой 0,1 кг удерживается на наклонной плоскости с помощью нити. Чему равна сила натяжения нити?

Решение: Изобразим силы, действующие на тележку: сила тяжести mg, сила реакции опоры N и сила натяжения нити Т. Воспользуемся вторым законом Ньютона в проекции на ось ОХ. Так как тело покоится, то равнодействующая сила равна нулю.

 ,  

18) Задача. Метеорит пролетает около Земли за пределами атмосферы. Как направлен вектор ускорения метеорита в тот момент, когда вектор силы гравитационного притяжения Земли перпендикулярен вектору скорости метеорита?

1) по направлению вектора скорости,

2) параллельно вектору скорости,

3) по направлению вектора силы,

4) по направлению суммы векторов силы и скорости.

Решение. Согласно второму закону Ньютона ускорение сонаправлено с равнодействующей силой. На метеорит действует гравитационное притяжение Земли.

Ответ: 3.

19) Задача. Две планеты одинаковой массы обращаются вокруг звезды. У первой из них радиус орбиты в два раз больше чем у второй планеты. Каково отношение сил притяжений первой и второй планеты к звезде?

Решение. При составлении отношения, воспользуемся законом всемирного гравитационного притяжения:  .

Ответ: 0,25

20) Задача. Космонавт на Земле притягивается с силой 750Н. С какой силой он будет притягиваться на Марсе? Масса Марса в 10 раз, радиус – в 2 раза меньше чем у Земли.

Решение. Согласно закону всемирного тяготения найдем силу притяжения космонавта к Марсу:  

Ответ: 300 Н.

     Задачи№3. (Законы сохранения. Работа и мощность силы).  

1) Задача. Точечное тело массой 2 кг свободно движется по горизонтальному столу вдоль оси OX с постоянной скоростью, модуль которой равен 4 м/с. В некоторый момент времени на это тело начинает действовать сила 8 Н, направленная вдоль стола в положительном направлении оси OY. Через 1 секунду после начала действия силы импульс тела

1) будет направлен вдоль оси OX

2) будет составлять с осью OX угол 30°

3) будет составлять с осью OX угол 45°

4) будет составлять с осью OX угол 60°

Решение: Импульс движения тела равен  . Импульс силы равен . Сложим векторы импульса:  Получаем, что будет перемещаться под углом 45⁰.

Ответ: 3.

2) Задача. Тело движется равномерно и прямолинейно, имея импульс p. В некоторый момент на тело начала действовать сила F, постоянная по модулю и неизменная по направлению. В результате импульс тела изменился на Δ p. Можно утверждать, что

1) векторы p и F сонаправлены,

2) векторы p и    Δp сонаправлены,

3) векторы Δp и F сонаправлены,

4) векторы, и могут быть ориентированы друг относительно друга произвольным образом.

Решение: Импульс силы сонаправлен с силой. Рассмотрим формулу:  Прямая зависимость между вектором силы и изменением импульса в условии задачи. Подходит утверждение 3.

Ответ: 3.

3) Задача. Ученики на уроке последовательно наблюдают два эксперимента:

1) тело скользит по шероховатому столу и останавливается;

2) тело равномерно движется по окружности.

В каком(-их) из этих экспериментов импульс тела изменяется?

1) только в первом,

2) только во втором,

3) ни в первом, ни во втором,

4) и в первом, и во втором.

Решение: И в первом и во втором случае происходит изменение силы. В первом случае изменяется значение равнодействующей силы. Во втором случае изменяется однозначно направление вектора силы. Поэтому в обоих случаях импульс тела изменяется.

Ответ: 4.

4) Задача. Шайба скользит по горизонтальному столу и налетает на другую покоящуюся шайбу. На рисунке стрелками показаны импульсы шайб до и после столкновения. В результате столкновения модуль суммарного импульса этих шайб.

1) увеличился, 2) уменьшился,  3) не изменился, 4) стал равным нулю.

Решение: Закон сохранения импульса гласит, что импульс системы не изменяется. Значит, взаимодействующие тела меняю скорость и направление движения, но суммарный импульс не изменяется.

Ответ: 3.

5) Задача. Два тела движутся по одной прямой. Модуль импульса первого тела равен 12 кг×м/с, а модуль импульса второго тела равен 5 кг×м/с. В некоторый момент времени эти тела упруго соударяются и затем продолжают двигаться по отдельности. После столкновения модуль импульса системы этих тел может быть равен

1) только 7 кг×м/с

2) только 17 кг×м/с

3) либо 7 кг×м/с, либо 17 кг×м/с

4) любой величине, лежащей в интервале от 7 кг×м/с до 17 кг×м/с

Решение: Воспользуемся законом сохранения импульса .

 Ответ: 3.

5) Задача. Два шарика одинаковой массой т движутся с одинаковыми по модулю скоростями вдоль горизонтальной плоскости ХУ. Известно, что для системы тел, включающей оба шарика, проекция импульса на ось ОУ больше нуля, а модуль проекции импульса на ось ОХ больше модуля проекции импульса на ось ОУ. В этом о случае направление скорости второго шарика должно совпадать с направлением, обозначенным цифрой

1) 1,  2) 2,  3) 3,  4) 4.

Решение: Выполним векторное сложение импульсов. Скорость тела будет сонаправлен с результирующим импульсом.

Ответ: 2.

    6) Задача. Шар скользит по столу и налетает на второй такой же покоящийся шар. Ученики изобразили векторы импульсов шаров до соударения (верхняя часть рисунка) и после него (нижняя часть рисунка). Какой рисунок выполнен правильно?

1) 1,  2) 2,  3) 3,  4) 4.

Решение: По закону сохранения импульса, импульс системы не изменяется. Значит, результирующий вектор импульса должен быть суммой векторов импульсов шаров до столкновения.

Ответ: 1.

7) Задача. Тело втаскивают вверх по шероховатой наклонной плоскости. Какая из изображенных на рисунке сил совершает положительную работу? 

1) 1,  2) 2,  3) 3,  4) 4.

Решение. Стрелка 3 показывает направление движения тела. Значит, и равнодействующая сила направлена, как и стрелка 3.

Ответ: 3.  

8) Задача. На рисунке показан график зависимости силы упругости F пружины от ее растяжения x. Один конец пружины закреплен, а к другому ее концу подвешен груз. Чему равна масса этого груза, если пружина растянута на 20 см? 

1) 2 кг,  2) 3 кг,  3) 1 кг,  4) 30 кг. 

Решение: Модуль силы упругости пружины равен модулю силы тяжести груза.  Нужно учесть, что в формуле Гука, удлинение х измеряется в метрах, а график построен в плоскости, где удлинение на оси ОХ измеряют в сантиметрах. Поэтому и появился множитель 10 в вычислениях в числителе дроби при сокращении.

Ответ: 4. 

9)   Задача. Небольшое тело массой m соскальзывает с шероховатой наклонной плоскости с углом наклона. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен µ. Перемещаясь из точки А в точку Б, расстояние между которыми равно L, сила тяжести совершает работу, равную  

1) mgL, 2) mgLsinα  , 3 ) µ mgLsinα, 4) mgLcosα.

Решение: Рассматривая направления вектора равнодействующей силы и силы тяжести, мы замечаем прямоугольный треугольник. Равнодействующая сила направлена по гипотенузе, сила тяжести по вертикальному катету треугольника. Учитывая еще и коэффициент трения, получаем

Ответ: 3. 

    10) Задача. Пружину медленно растянули на 6 см, совершив при этом работу

0,18 Дж. Чему равен коэффициент жесткости пружины?

1) 50 Н/м, 2) 0,01 Н/м, 3) 100 Н/м, 4) 0,05 Н/м.

Решение: Воспользуемся определением работы силы:

Ответ: 1. 

    11) Задача. Точечное тело движется горизонтально вдоль оси ОХ. Зависимость координаты х этого тела от времени t показана на рисунке. Кинетическая энергия этого тела 1) всё время одинаковая,

2) в момент времени 1 с меньше, чем в момент времени 15 с,

 3) в момент времени 1 с больше, чем в момент времени 15 с,

 4) максимальна в момент времени 20 с.

Решение:  . Чем выше скорость, тем больше кинетическая энергия. Тангенс угла наклона прямолинейного участка показывает величину скорости. Значит, чем круче подъем графика, тем выше скорость тела. Подходит утверждение 3.

Ответ: 3. 

12) Задача. Небольшое тело массой 0,2 кг бросили вертикально вверх. На рисунке показан график зависимости кинетической энергии Е_k тела от времени t в течение полёта. Из графика следует, что

1) потенциальная энергия сначала увеличивалась, а потом уменьшалась,

2) сопротивление воздуха влияло на движение тела,

3) тело поднялось на максимальную высоту 20 м/с,

4) верны все три перечисленных утверждения. 

Решение: В процессе движения тела, кинетическая энергия тела переходила в потенциальную. Из графика видно, что кинетическая энергия сначала убывала, потом возрастала; значит, потенциальная энергия сначала возрастала, потом убывала. Утверждение 1 – верное. В утверждение 3 – ошибка в условии: высота измеряется в метрах, а не в м/с; значит – неверно.

Ответ: 1.   

13) Задача. Покоящееся точечное тело начинают разгонять с постоянным ускорением вдоль гладкой горизонтальной плоскости, прикладывая к нему силу F.

График зависимости работы А, совершённой силой F от модуля скорости v этого тела правильно показан на рисунке

1) 1,   2) 2,  3) 3,  4) 4. 

Решение. В формуле определения работы силы, учитывая равноускоренное движение тела, выразим функциональную зависимость работы от времени.  . Мы получили квадратичную зависимость. График – парабола.

Ответ: 4.  

14) Задача. Тело движется вдоль оси ОХ под действием силы F=2Н, направленной вдоль этой оси. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости v тела на эту ось от времени t. Какую мощность развивает эта сила в момент времени t=4 с? 

1) 3 Вт,  2) 4 Вт,  3) 5 Вт,  4) 10 Вт.

Решение.  .

Ответ: 4.