Практическое занятие № 1, 2.

Расчет количественных характеристик надежности

Цель занятия: изучение количественных показателей оценки надежности системы по результатам испытаний на надежность.

Подготовка и порядок выполнения работы

1. Изучить теоретический материал.

2. Рассчитать показатели надежности на основе данных об испытаниях невосстанавливаемых объектов.

3. Письменно ответить на контрольные вопросы.

4. Результаты отразить в отчете.

    

      Краткие теоретические сведения

Критерием надежности назовем признак, мерило, по которому оценивается надежность различных изделий.

К числу наиболее широко применяемых критериев надежности относятся:

- вероятность безотказной работы в течение определенного времени P (t);

- средняя наработка до первого отказа Т ср;

- наработка на отказ t cp;

- частота отказов a (t);

- интенсивность отказов λ(t);

- параметр потока отказов ω(t);

- функция готовности K Г(t);

- коэффициент готовности К Г.

Характеристикой надежности называется количественное значение критерия надежности конкретного изделия. Выбор характеристик надежности зависит от вида изделия.

Основные критерии надежности можно разбить на две группы:

– критерии, характеризующие надежность невосстанавливаемых изделий;

– критерии, характеризующие надежность восстанавливаемых изделий.

Невосстанавливаемыми называются изделия, которые в процессе выполнения своих функций не допускают ремонта. Если происходит отказ такого изделия, то выполняемая операция будет сорвана и ее необходимо начинать вновь в том случае, если возможно устранение отказа. К таким изделиям относятся как изделия однократного действия (ракеты, управляемые снаряды, искусственные спутники Земли, усилители системы подводной межконтинентальной связи и т. п.), так и изделия многократного действия (некоторые системы навигационного комплекса судового оборудования, системы ПВО, управления воздушным движением, системы управления химическими, металлургическими и другими ответственными производственными процессами и т. д.).

Восстанавливаемыми называются такие изделия, которые в процессе выполнения своих функций допускают ремонт. Если произойдет отказ такого изделия, то он вызовет прекращение функционирования изделия

только на период устранения отказа. К таким изделиям относятся: телевизор, агрегат питания, станок, автомобиль, трактор и т. п.

На рисунке 1.1 представлен временной график работы невосстанавливаемых (а) и восстанавливаемых (б) изделий.

 

                                       Н.о       К.о       Н.о            К.о

а)

                                               t н.р                                                  t н.р

 

б)                             t р1                                    t р2                                           t р3

 

                                     t n1                                                           t n2

Рисунок 1.1. Временной график работы невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий: а - изделия невосстанавливаемые (t н.р- время непрерывной работы, Н.о. - начало операции, К.о. - конец операции); б - изделия восстанавливаемые (t р - время исправной работы, t n- время вынужденного простоя)

 

Критерии надежности невосстанавливаемых изделий

Рассмотрим следующую модель испытаний. Пусть на испытании находится N 0 изделий и пусть испытания считаются законченными, если все они отказали. Причем вместо отказавших образцов отремонтированные или новые не ставятся. Тогда критериями надежности данных изделий являются:

– вероятность безотказной работы P (t);

– частота отказов a (t);

– интенсивность отказов λ(t);

– средняя наработка до первого отказа Т ср.

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.

Согласно определению

P (t) = P (T > t),            (1.1)

где t - время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы; Т - время работы изделия от его включения до первого отказа.

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением

P (t)=(N 0- n (t))/ N 0,      (1.2)

где P (t) - статистическая оценка вероятности безотказной работы; N 0 - количество изделий в начале испытания; n (t) - количество отказавших изделий за время t. При большом количестве изделий N 0 статистическая оценка P (t) практически совпадает с вероятностью безотказной работы P (t). На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность отказа Q (t).

Вероятностью отказа называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникнет хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями несовместными и противоположными, поэтому

Q (t)= P (T £ t), Q (t)= n (t)/ N 0, Q (t)=1- P (t).                                 (1.3)

Частотой отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к первоначальному числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.

Согласно определению

   

          (1.4)

где n (∆ t) - число отказавших образцов в интервале времени от t-∆t/2 до t+

+ ∆t/2.

Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения) времени работы изделия до первого отказа.

Поэтому

(1.5)

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени. Согласно определению

 

          (1.6)

где  – среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆ t; N_i – число изделий, исправно работающих в начале интервала

∆ t; N_{i +1} – число изделий исправно работающих в конце интервала ∆ t.

Выражение (1.6) есть статистическое определение интенсивности отказов. Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения

 

,                                          (1.7)

Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между собой зависимостью

,                                       (1.8)

Средней наработкой до первого отказа называется математическое ожидание времени работы изделия до отказа.

Как математическое ожидание Т ср вычисляется через частоту отказов

(плотность распределения времени безотказной работы)

 

,                             (1.9)

 

 

Так как t положительно и P (0)=1, а P ( )=0, то

 

,                                  (1.10)

По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле

 

,                                  (1.11)

где t i – время безотказной работы i -гo образца; N 0 – количество испытуемых образцов.

Как видно из формулы (1.11), для определения средней наработки до первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых элементов. Поэтому для вычисления Т ср пользоваться указанной формулой неудобно. Имея данные о количестве вышедших из строя элементов N i   в каждом i -м интервале времени, среднюю наработку до первого отказа лучше определять из уравнения

,                            (1.12)

В выражении (1.12) t ср и m находятся по следующим формулам:

t _{ср i} =(t i -1+ t i)/2, m = t κ / ∆ t,

где t i –1 – время начала i -гo интервала; t i – время конца i -го интервала;

t κ – время, в течение которого вышли из строя все элементы; ∆ t = t i –1 – t i – интервал времени.

При изучении надежности технических устройств наиболее часто применяются следующие законы распределения времени безотказной работы: экспоненциальный, усеченный нормальный, Релея, Гамма, Вейбулла, логарифмически нормальный.

В приложении 1 приведены выражения для оценки количественных характеристик надежности изделий при указанных законах распределения времени их безотказной работы.

Из выражений для оценки количественных характеристик надежности видно, что все характеристики, кроме средней наработки до первого отказа, считаются функциями времени. В приложении 2 приведены типичные зависимости количественных характеристик надежности изделий различного назначения от времени.

Рассмотренные критерии надежности позволяют достаточно полно оценить надежность невосстанавливаемых изделий. Они также позволяют оценить надежность восстанавливаемых изделий до первого отказа. Наличие нескольких критериев вовсе не означает, что всегда нужно оценивать надежность изделий по всем критериям.

Наиболее полно надежность изделий характеризуется частотой отказов a (t). Это объясняется тем, что частота отказов представляет собой плотность распределения, а поэтому несет в себе всю информацию о случайном явлении - времени безотказной работы.

Средняя наработка до первого отказа - достаточно наглядная характеристика надежности. Однако применение этого критерия для оценки надежности сложной системы ограничено в тех случаях, когда:

- время работы системы гораздо меньше среднего времени безотказной работы;

- закон распределения времени безотказной работы не однопараметрический и для достаточно полной оценки требуются моменты высших порядков;

- система резервированная;

- интенсивность отказов непостоянная;

- время работы отдельных частей сложной системы разное.

          Интенсивность отказов – наиболее удобная характеристика надежности простейших элементов, так как она позволяет более просто вычислять количественные характеристики надежности сложной системы.

Наиболее целесообразным критерием надежности сложной системы будет вероятность безотказной работы. Это объясняется следующими особенностями вероятности безотказной работы:

- она входит в качестве сомножителя в другие, более общие характеристики системы, например в эффективность и стоимость;

- характеризует изменение надежности во времени;

- может быть получена сравнительно просто расчетным путем в процессе проектирования системы и оценена в процессе ее испытания.

Примеры решения задач

Следует иметь в виду, что частота, интенсивность отказов и параметр потока отказов, вычисленные по формулам (1.4), (1.6) и (1.13), являются постоянными в диапазоне интервала времени ∆ t, а функции a(t), λ(t), ω(t) –ступенчатыми кривыми или гистограммами.

Пример 1.1. На испытание поставлено N 0 = 400 изделий. За время t = 3000 ч отказало n (t) = 200 изделий, за интервал времени ∆ t = 100 ч отказало n (∆ t) = 100 изделий (рис. 1.1). Требуется определить

 

Р (3000),

 

t= 0                             t = 3000ч           ∆t = 1000ч

N 0=400                       n (t) = 200            n (∆t) = 100

                                                                N i = 200 N i +1 = 100

 

Решение: 1. По формуле (1.2) найдем вероятность безотказной работы:

Для  ч. (начало интервала)

Для ч. (конец интервала)

Определим среднее число исправно работающих образцов в интервале ∆t

Число отказавших изделий за время t=3050 ч.

Тогда

2. По формуле (1.4) определяем частоту отказа.

 1/ч.

3. По формуле (1.6) определяем частоту отказа.

1/ч.

Интенсивность отказа можно также определить по формуле (1.7).

Пример 1.2. Производилось наблюдение за работой трех экземпляров однотипной аппаратуры. За период наблюдения было зафиксировано по первому экземпляру аппаратуры 6 отказов, по второму и третьему - 11 и 8 отказов соответственно. Наработка первого экземпляра составила 181 ч, второго - 329 ч и третьего - 245 ч. Требуется определить наработку аппаратуры на отказ.

Решение: 1. Определяем суммарную наработку трех образцов аппаратуры:

t_∑=

2. Определяем суммарное количество отказов.

отказов.

3. Находим среднюю наработку на отказ по формуле (1.19).

ч.

Пример 1.3. Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый прибор отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй - 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказали 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.

Решение: Для решения данной задачи воспользуемся следующими соотношениями и

1. Определим интенсивность отказов для каждого прибора

 1/ч  1/ч.

2. Интенсивность отказов системы будет

1/ч.

3. Средняя наработка на отказ системы равна

ч.

 

Контрольные вопросы и задания

1. Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром λ = 2,5 × 10-5 1/ч.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента P (t), α(t), Т ср, если t = 500, 1000, 2000 ч. Используя формулы для P (t), α(t) и Т ср, приведенные в таблице

-5

 вычислить вероятность безотказной работы, вычислить частоту отказа, вычислить среднюю наработку до первого отказа.

2. Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных изделий. За первые 3000 ч отказало 80 изделий. За интервал времени 3000 - 4000 ч отказало еще 50. Требуется определить частоту и интенсивность отказов изделий в промежутке времени 3000 – 4000ч.

3. В течение 1000 ч из 10 гироскопов отказало 2. За интервал времени 1000 – 1100 ч отказал еще один гироскоп. Требуется найти частоту и интенсивность отказов гироскопов в промежутке времени 1000 – 1100ч.

4. На испытание поставлено 400 резисторов. За время наработки 10000 ч отказало 4 резистора. За последующие 1000 ч отказал еще 1 резистор. Определить частоту и интенсивность отказов резисторов в промежутке времени 10000 – 11000ч.

5. На испытание поставлено N 0 = 1000 изделий. За время t = 0 ч вышло из строя n (t) = 0 штук изделий. За последующий интервал времени ∆ t = 1000 ч вышло из строя n (∆ t) = 20 изделий. Необходимо вычислить вероятность безотказной работы за время t и t + ∆ t, частоту отказов и интенсивность отказов на интервале t.

6. Интенсивность отказов lссложной восстанавливаемой системы есть величина постоянная и равная 0,015 1/ч. Среднее время восстановления t в=100 ч. Необходимо вычислить вероятность застать систему в исправном состоянии в момент времени t =10ч.

7. Коэффициент готовности сложного восстанавливаемого изделий К г= 0,9. Среднее время его восстановления t в = 100 ч. Требуется найти вероятность застать изделие в исправном состоянии в момент времени t =12ч.

8. Время работы изделия подчинено усеченному нормальному за- кону с параметрами Т 1=8000 ч, d1=1000 ч. Требуется найти вероятность безотказной работы изделия в течение 8000ч.

9. Средняя наработка до первого отказа автоматической системы

управления равна 640 ч. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 ч, частоту отказов для момента времени 120 ч и интенсивность отказов.

10. Средняя наработка изделия до первого отказа равна 1260 ч. Время исправной работы подчинено закону Релея. Необходимо найти его количественные характеристики надежности для t =1000ч.

11. Вероятность безотказной работы гироскопа в течение t =150 ч равна 0,9. Время исправной работы подчинено закону Вейбулла с параметром k = 2,6. Необходимо определить опасность отказов гироскопов для t = 150 ч и среднюю наработку до первого отказа.

Практическое занятие № 3