Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2019-12-18 | 167 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Представления групп
Пусть – группа всех невырожденных матриц порядка над полем комплексных чисел. Если – произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется любой ее гомоморфизм в
G ,
такой, что
,
(единичная матрица),
. Число n называется степенью этого представления. Если гомоморфизм A иньективен, то представление называется точным.
Пример 1.1 Отображение, переводящее каждый элемент группы в , является представлением степени . Оно называется тождественным представлением группы и обозначается через .
Пример 1.2 Если – некоторое представление группы , то для каждой невырожденной матрицы отображение также является представлением этой группы.
Пусть и – два представления группы . Если существует невырожденная матрица , такая, что что
,
то представления и называются эквивалентными. Тот факт, что представления и эквивалентны, мы будем обозначать так: . Отношение определяет классы эквивалентных представлений группы .
Пример 1.3. Пусть – симметрическая группа степени . Для элемента
через обозначим матрицу, строка которой имеет вид , где 1 стоит на месте. Другими словами,
где
Такое отображение является точным представлением группы .
1.4. Пусть –конечная группа, состоящая из элементов и пусть – симметрическая группа на . Отображение, которое ставит в соответствие элементу подстановку
является инъективным гомоморфизмом группы в . С такой подстановкой мы свяжем матрицу
где, как и в примере ,
Тогда отображение является точным представлением группы . Оно называется правым регулярным представлением этой группы. Определим следующим образом:
|
Тогда
и, если , то каждый диагональный элемент равен нулю.
регулярное представление группы определяется аналогично с использованием гомоморфизма
Другими словами,
Пусть – некоторый гомоморфизм из в , т.е. подстановочное представление группы . Представив подстановку в виде матрицы , как это сделано в примере 1.3, мы получим представление
Пусть – представление степени . Говорят, что приводимо, если существует такая невырожденная матрица , что
где и – квадратные матрицы порядка и соответственно, причем Отметим, что представления
эквивалентны, поскольку для матрицы
Скажем, что представление неприводимо, если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения и являются представлении степеней и соответственно.
Для заданных представлений и группы степеней и соответственно отображение
является представление степени этой группы. Такое, представление называется прямой суммой представлений и и обозначается через .
Представление группы называется вполне приводимым, если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т.е. если найдется невырожденная матрица , такая, что
где каждое является неприводимым представлением группы .
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!