Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2019-12-18 | 228 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Решаем поставленную в §2 граничную задачу методом конечных разностей, в результате чего получим приближенные значения функции , только в узлах прямоугольной сетки, покрывающей область D.
- шаги разбиений по переменной и по переменной ; узел (i,j) – это узел сетки, имеющий координаты (
В граничных узлах нам известны значение функции или значение производной
(из граничных условий краевой задачи). В каждом внутреннем узле (i,j) от ДУЧП Лапласа переходим к конечно-разностному уравнению, заменяя частные производные на отношения конечных разностей:
Конечно-разностное уравнение:
Равенство (17), записанное для каждого внутреннего узла (i,j), представляет собой систему линейных алгебраических уравнений размером (9х9) относительно неизвестных . При этом в каждое уравнение входит 5 неизвестных: ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Эти неизвестные образуют «крест», поэтому говорят, что метод конечных разностей приводит ДУЧП Лапласа к конечно-разностной схеме в виде креста.
Решение системы уравнений (17) находим методом Гаусса. При этом значения , т.е. значения функции в граничных узлах, считаем известными из граничных условий и переносим их в правые части уравнений.
В решаемой задаче на левой и на правой границах области D заданы были условия Нейтмана, т.е. условия для . Поэтому нужно эти условия перевести на функцию , заменить для этого частную производную на отношение конечных разностей:
На верхней и нижней границе значения и берем как известные из граничных условий, а именно:
Для решения системы уравнений (17) методом Гаусса используем программу C ourse _ work. exe. Управляемые параметры задаем такие же, как и при табулировании значений функции, полученных методом Фурье:
|
Таблица значений функции , полученных методом конечных разностей:
y/x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
9 | 4.69536 | 4.94680 | 5.65354 | 6.88538 | 8.76443 | 11.47832 | 15.30182 | 20.63198 | 28.04840 | 38.42852 | 53.20205 |
8 | 8.96028 | 9.43829 | 10.78197 | 13.12356 | 16.69401 | 21.84701 | 29.09700 | 39.17770 | 53.13310 | 72.46362 | 99.36742 |
7 | 12.40661 | 13.06411 | 14.91247 | 18.13287 | 23.04106 | 30.11872 | 40.06146 | 53.84870 | 72.84265 | 98.92545 | 134.67950 |
6 | 14.72652 | 15.49905 | 17.67096 | 21.45439 | 27.21863 | 35.52535 | 47.18144 | 63.31299 | 85.46338 | 115.71604 | 156.83325 |
5 | 15.72250 | 16.53463 | 18.81791 | 22.79511 | 28.85375 | 37.58261 | 49.82599 | 66.75845 | 89.98183 | 121.64208 | 164.55441 |
4 | 15.32652 | 16.09905 | 18.27096 | 22.05439 | 27.81864 | 36.12537 | 47.78146 | 63.91299 | 86.06337 | 116.31603 | 157.43324 |
3 | 13.60661 | 14.26411 | 16.11247 | 19.33287 | 24.24106 | 31.31873 | 41.26147 | 55.04870 | 74.04266 | 100.12547 | 135.87950 |
2 | 10.76028 | 11.23829 | 12.58196 | 14.92356 | 18.49402 | 23.64701 | 30.89700 | 40.97769 | 54.93309 | 74.26362 | 101.16741 |
1 | 7.09536 | 7.34680 | 8.05354 | |9.28538 | 11.16443 | 13.87832 | 17.70182 | 23.03198 | 30.44839 | 40.82851 | 55.60205 |
0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
Сравним значения функции U (x, y), вычисленные точным методом Фурье и приближенным методом конечных разностей. Для этого вычислим абсолютные и относительные погрешности в каждом из узлов (i,j).
;
Таблица абсолютных погрешностей
y/x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
9 | 0 | 0.03263 | 0.06107 | 0.08719 | 0.11195 | 0.13540 | 0.15665 | 0.17342 | 0.17989 | 0.15524 | 0 |
8 | 0 | 0.06191 | 0.11575 | 0.16491 | 0.21087 | 0.25304 | 0.28824 | 0.39865 | 0.29944 | 0.22243 | 0 |
7 | 0 | 0.08494 | 0.15862 | 0.22543 | 0.28690 | 0.34131 | 0.38266 | 0.39865 | 0.36696 | 0.25063 | 0 |
6 | 0 | 0.09960 | 0.18582 | 0.26358 | 0.33426 | 0.39513 | 0.43811 | 0.44802 | 0.40054 | 0.26260 | 0 |
5 | 0 | 0.10462 | 0.19513 | 0.27659 | 0.35029 | 0.41312 | 0.45629 | 0.46367 | 0.41068 | 0.26598 | 0 |
4 | 0 | 0.09960 | 0.18582 | 0.26359 | 0.33427 | 0.39514 | 0.43813 | 0.44802 | 0.40053 | 0.26260 | 0 |
3 | 0 | 0.08494 | 0.15862 | 0.22544 | 0.28691 | 0.34132 | 0.38267 | 0.39865 | 0.36696 | 0.25064 | 0 |
2 | 0 | 0.06191 | 0.11575 | 0.16491 | 0.21087 | 0.25304 | 0.28824 | 0.30908 | 0.29942 | 0.22242 | 0 |
1 | 0 | 0.03263 | 0.06107 | 0.08719 | 0.11195 | 0.13540 | 0.15665 | 0.17342 | 0.17988 | 0.15523 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Таблица относительных погрешностей
y/x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
9 | 0 | 0,00664 | 0,0066 | 0,00654 | 0,00647 | 0,00637 | 0,00623 | 0,00599 | 0,00554 | 0,00446 | 0 |
8 | 0 | 0,01092 | 0,01085 | 0,01075 | 0,01063 | 0,01048 | 0,01027 | 0,00994 | 0,00929 | 0,00764 | 0 |
7 | 0 | 0,01283 | 0,01273 | 0,01259 | 0,01244 | 0,01228 | 0,0121 | 0,0118 | 0,01117 | 0,00948 | 0 |
6 | 0 | 0,01294 | 0,01279 | 0,01261 | 0,01243 | 0,01229 | 0,01216 | 0,01198 | 0,01153 | 0,01013 | 0 |
5 | 0 | 0,01194 | 0,01172 | 0,01146 | 0,01125 | 0,01111 | 0,01106 | 0,01102 | 0,01082 | 0,00985 | 0 |
4 | 0 | 0,01034 | 0,01001 | 0,00964 | 0,00937 | 0,00924 | 0,00925 | 0,00936 | 0,00942 | 0,00893 | 0 |
3 | 0 | 0,00848 | 0,01026 | 0,00746 | 0,00713 | 0,00699 | 0,00706 | 0,00729 | 0,0076 | 0,00759 | 0 |
2 | 0 | 0,00645 | 0,00567 | 0,00506 | 0,00471 | 0,00458 | 0,00468 | 0,00498 | 0,00548 | 0,00594 | 0 |
1 | 0 | 0,00406 | 0,00308 | 0,00254 | 0,00227 | 0,00219 | 0,00226 | 0,00251 | 0,003 | 0,00382 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
Получили, что наибольшая относительная погрешность равна 1.294% и наблюдается в узле (1,6). В целом сравнение показывает, что приближенный метод конечных разностей для решаемой краевой задачи и для сетки (10х10) дает результаты, близкие к результатам, полученным точным методом Фурье.
Исследование решения задачи
Потребовалось построить линии уровня функции для нескольких отношений управляемых параметров по плотности расположения этих линий уровня сделать вывод об интенсивности изменения электростатического потенциала по области D.
Линией уровня функции называется такая линия, в каждой точке которой функция имеет одно и то же значение.
Зададим
Зададим
В первых двух случаях изменение электростатического потенциала происходит наиболее интенсивно при , т.е. вдоль стороны, где задано граничное условие
Зададим
Зададим
При области , вытянутой вдоль оси электростатический потенциал изменяется достаточно равномерно.
Зададим
Зададим
Зададим
При области вытянутой вдоль оси изменение электростатического потенциала происходит наиболее выражено у границы (как и в первых двух случаях).
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!