Оценивание выполнения заданий с развернутым ответом

Требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть произвольным. Не следует требовать от учащихся слишком подробных комментариев (например, описания алгоритмов). Лаконичное решение, не содержащее неверных утверждений, все выкладки которого правильны, следует рассматривать как решение без недочетов.

Если решение ученика удовлетворяет этим требованиям, то ему выставляется полный балл, которым оценивается это задание: № 19 – 2 балла, № 20 и 21 – 3 балла, № 23 и 24 – 4 балла. Если в решении допущена описка или ошибка, не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного.

Ниже описаны некоторые общие подходы, являющиеся основанием для выставления сниженного на единицу балла.

Задание 19 (2 балла). За решение выставляется 1 балл, если оно не содержит ошибок, но при этом не является полным, например, отсутствует ответ на дополнительный вопрос (при его наличии); или: в решении имеется одна описка/ошибка, не влияющая принципиально на ход решения, с ее учетом все дальнейшие шаги выполнены верно, решение доведено до конца.

Задания 20 и 21 (3 балла). За решение выставляется 2 балла, если в нем нет ошибок, но при этом оно не является полным, например, отсутствует ответ на дополнительный вопрос (при его наличии); или: ход решения верный, получен ответ, но имеется описка или непринципиальная ошибка (например, ошибка в вычислении), и с ее учетом дальнейшие шаги выполнены верно, решение доведено до конца.

Задания 22 и 23 (4 балла). За решение выставляется 3 балла, если решение «почти верное», т.е. ход решения правильный, оно доведено до конца, но при этом имеется одна непринципиальная вычислительная ошибка/описка, с ее учетом дальнейшие шаги выполнены верно; или имеются погрешности в применении символики и терминологии.

В критериях оценивания по каждому конкретному заданию второй части экзаменационной работы, приводимых ниже, эти общие позиции конкретизируются и пополняются с учетом содержания задания. Критерии разработаны применительно к одному из возможных решений, а именно, к тому, которое описано в рекомендациях. При наличии в работах учащихся других решений критерии вырабатываются предметной комиссией с учетом описанных общих подходов. Решения учащихся могут содержать недочеты, не отраженные в критериях, но которые, тем не менее, позволяют оценить результат выполнения задания положительно (со снятием одного балла). В подобных случаях решение о том, как квалифицировать такой недочет, принимает предметная комиссия.

 

Критерии проверки и оценки выполнения заданий с развернутым ответом

Методисты «Федерального института педагогических измерений» рекомендуют экспертам предметной комиссии по математике рассмотреть следующие примеры применения критериев оценивания заданий с развёрнутым ответом демонстрационных вариантов:

Задание 19

1. Разложите на множители: .

// Ответ: .

// Решение. .

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Правильно и до конца (получено три множителя) выполнено разложение на множители.
1	Ход решения верный, не содержит ошибок, но разложение на множители не доведено до конца (выражение представлено в виде произведения двух множителей).
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

 

Комментарий. Ошибка в знаках при группировке слагаемых считается существенной, при ее наличии решение не засчитывается.

 

Примеры выполнения заданий учащимися

Пример 1.

За решение выставляется 1 балл, так как оно не содержит ошибок, но разложение на множители не доведено до конца.

Пример 2.

За решение выставляется 0 баллов; допущена ошибка в знаках при группировке слагаемых (см. комментарий к критериям).

2. Сократите дробь .             

// Ответ: .

// Решение. Корни квадратного трехчлена : х ₁ = 1, х ₂ = . Имеем:

.

Замечание. Учащийся может разложить на множители трехчлен каким-либо иным способом. Например: 5 x ² – 3 x – 2 = (3 x ² – 3 x) + (2 x ² – 2) = 3 x (x – 1) + 2(x ² – 1) = (x – 1)(3 x + 2(x + 1)) = ….

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Правильно выполнено разложение на множители числителя и знаменателя дроби, получен верный ответ.
1	Допущена описка или ошибка вычислительного характера при нахождении корней квадратного трехчлена, но разложение его на множители с учетом этой ошибки выполнено верно, решение при этом может оказаться не доведенным до конца.
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

 

Комментарий. Учащиеся не обязаны указывать область определения сокращаемой дроби.

 

Примеры выполнения заданий учащимися

Пример 1.

Сокращение дроби выполнено верно. Но так как при указании ОДЗ допущена ошибка (хотя нахождение области определения дроби в данном случае не требуется), за решение выставляется 1 балл. 

 

Задания 20 и 21

1. Решите неравенство .

// Ответ: .     Другая возможная форма ответа: .

//Решение.

1) Определим знак разности . Так как  и , то .

2) Получаем неравенство: . Отсюда .

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
3	Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.
2	Ход решения верный, правильно выполнен первый шаг, но при решении линейного неравенства допущена вычислительная ошибка или описка.
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Примеры выполнения заданий учащимися

Пример 1.

Допущена ошибка вычислительного характера на последнем шаге решения. Оценка снижается на 1 балл, за решение выставляется 2 балла.

Замечание. Можно не требовать дополнительных пояснений в предъявленной цепочке выкладок, так как, по всей видимости, учащийся знает, что , и для него очевидно, что .

Пример 2

Допущена ошибка принципиального характера в алгоритме решения неравенства. За решение выставляется 0 баллов.

2. Постройте график функции , где

При каких значениях х функция принимает значения, меньшие 2?

// Ответ: график изображен на рисунке 1; при .

 

Рис. 1
Баллы		Критерии оценки выполнения задания
3		Правильно построен график, дан правильный ответ на вопрос.
2		Правильно построен график, но отсутствует ответ на вопрос; Или: при правильно вычисленных координатах точек графика допущена неточность в построении, ответ дан с учетом этой неточности. Или: при записи ответа допущена погрешность, например, вместо круглой скобки поставлена квадратная.
0		Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Комментарий. 1) Отсутствие пояснений и письменных вычислений при правильном построении графика и правильном ответе на вопрос не должно служить основанием для снижения балла.

2) Ответ на вопрос задания может быть получен как путем вычислений, так и с опорой на график.

3) Ответ на вопрос может быть записан в любой правильной форме.

4) Принципиальная ошибка при ответе на вопрос (например, значения взяты не по той оси) считается существенной; решение при этом не засчитывается и оценивается 0 баллов.

Примеры выполнения заданий учащимися

Пример 1.

За решение выставляется 0 баллов. Учащийся должен был выделить каким-либо способом (например, жирно) собственно график заданной функции.

Пример 2.

 

График построен правильно, отсутствует ответ на вопрос. В соответствии с критериями выставляется 2 балла.

Пример 3.

График построен правильно, но при ответе на вопрос допущена одна из следующих ошибок:

а) ;

б) ;

в) .

В случае а) в соответствии с критериями может быть выставлено 2 балла. В случаях б) и в) допущены принципиальные ошибки; выставляется 0 баллов.

3. Найдите область определения выражения: .

// Ответ: .

// Решение. Область определения выражения задается условиями .

Решим неравенство : ; х ₁ = , х ₂ = 3; [ ];

Из условия  имеем .

Отсюда: .

Замечание. Ответ может быть представлен в форме: .

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
3	Учтены оба условия, задающие область определения данного выражения, все выкладки выполнены верно, получен верный ответ.
2	Ход решения правильный, решение доведено до конца, но допущена ошибка в символической записи ответа; или допущена описка или ошибка вычислительного характера (например, при вычислении корней квадратного трехчлена) и с ее учетом дальнейшие шаги выполнены верно; или при определении области определения квадратного корня рассмотрено строгое неравенство.
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Комментарий. Ошибки в алгоритме решения квадратного неравенства, в применении формулы корней квадратного уравнения считаются существенными и решение при их наличии не засчитывается.

Примеры выполнения заданий учащимися

Пример 1

За решение выставляется 2 балла. Ход рассуждений понятен, он правильный, получен верный ответ. Балл снижен за некорректное пояснение, приведенное в начале решения.

Замечание. Вопросительные знаки поставлены на схеме экспертом; мы в этом рисунке недочетов не видим.

Пример 2.

За решение выставляется 0 баллов; в нем содержится более одной ошибки, поэтому оно соответствует графе «Другие случаи, не соответствующие указанным критериям». Учащимся, во-первых, допущена вычислительная ошибка при нахождении корней квадратного трехчлена; во-вторых, решив квадратное неравенство (с учетом найденных корней) и правильно наложив ограничение на знаменатель дроби, он не сумел объединить полученные результаты в правильный вывод.  

4. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии

– 8,6; – 8,4; ….

// Ответ: .

//Решение. 1) Найдем разность прогрессии: .

2) Найдем число отрицательных членов прогрессии.

Составим формулу n -го члена: = .

Решим неравенство ; получим . Значит, .

3) = .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
3	Ход решения правильный, все его шаги выполнены верно, получен верный ответ.
2	Ход решения правильный, решение доведено до конца, но допущена одна описка или непринципиальная ошибка вычислительного характера, с ее учетом дальнейшие шаги выполнены верно.
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Комментарий. 1) Учащийся имеет право воспользоваться другой формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии.

2) Ошибки в применении формул, в том числе в подстановке числовых значений в формулы, считаются существенными, решение не засчитывается и оценивается 0 баллов.

Примеры выполнения заданий учащимися

Пример 1.  

Ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка (при нахождении разности арифметической прогрессии), с ее учетом решение доведено до конца. Выставляется 2 балла.

Задания 22 и 23

1. Решите систему уравнений: .

// Ответ: . Другие возможные формы записи ответа: ; ; ;

или , , .

// Решение. На основании условия равенства произведения нулю получим:

или .

Решим первую систему. Из первого уравнения имеем x = –5; подставив это значение x во второе уравнение, получим уравнение . Его корни: y ₁ = –2, y ₂ = 1. Получаем два решения системы уравнений (–5; –2) и (–5; 1).

 Решив вторую систему, получим: y = 0,5; x = –2,5. Получаем еще одно решение системы уравнений:  (–2,5; 0,5).

Таким образом, система имеет три решения: .

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
4	Правильно выполнен переход от данной системы к равносильной ей дизъюнкции (совокупности) двух систем, все дальнейшие шаги выполнены верно, получен верный ответ.
3	Ход решения правильный, решение доведено до конца, найденные значения переменных правильно объединены в пары, но: или допущена одна непринципиальная вычислительная ошибка (например, при нахождении корней квадратного уравнения) или описка, с ее учетом все дальнейшие шаги выполнены верно; или допущены погрешности логического характера в употреблении символики (если она применяется).
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Комментарий. Ошибки при объединении найденных значений переменных в пары считаются существенными; в этом случае решение не засчитывается. Если имеется более двух вычислительных ошибок или решение не доведено до конца, то оно не засчитывается.

 

Примеры выполнения заданий учащимися

Пример 1.

За решение выставляется 3 балла; допущены ошибки в употреблении символики.

Пример 2.

 

За решение можно выставить 3 балла: ход решения правильный, и, по сути, верный ответ получен. Но решение содержит логическую ошибку: выполнив проверку (которая в данном случае не является составной частью решения и может служить только цели самоконтроля), учащийся допустил вычислительную ошибку и сделал неправильный вывод о наличии постороннего решения, которого в принципе в данной ситуации быть не может.

Замечание. За нерациональное решение баллы не снимаются. Хотя хотелось бы, чтобы для сильного учащегося наличие уравнения сразу же служило сигналом к попытке применить условие равенства нулю произведения. Приведенное решение показывает (и это не единичный случай), что не наработаны некоторые стандартные приемы, обязательные для подготовки сильного ученика.

2. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

// Ответ: плот пройдет  всего пути.

//Решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4 х – х = 3 х км/ч, а по течению 4 х + х = 5 х км/ч. Следовательно, скорость катера против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению – в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи проплыл S км, то катер – в 3 раза больше, т.е. 3 S км. После встречи катер пройдет 3 S км, а плот – в 5 раз меньше, т.е.  км. Всего плот пройдет . Отношение пройденного плотом пути ко всему пути равно .

Другое возможное решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4 х – х = 3 х км/ч, а по течению 4 х + х = 5 х км/ч. Скорость сближения катера и плота равна х + 3 х = 4 х км/ч. Встреча произошла через  ч. За это время плот проплыл  км, а катер –  км. Обратный путь катер пройдет за ч. Плот за это время проплывет расстояние, равное км, а всего он проплывет  км.

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
4	Ход решения верный, все его шаги выполнены, получен верный ответ.
3	Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена одна ошибка – в преобразованиях или в вычислениях, с ее учетом дальнейшие шаги выполнены правильно.
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Примеры выполнения заданий учащимися

Пример 1.  

Ход решения верный, введены нужные обозначения, приведены пояснения, но допущена вычислительная ошибка, с ее учетом решение доведено до конца. Можно выставить 3 балла.

Пример 2.

 

 

Не найдена скорость катера против течения реки; решение оценивается 0 баллами.

2. Найдите все значения а, при которых неравенство

 х² + (2 а + 4) х + 8 а + 1 ≤ 0    не имеет решений.

// Ответ: ; другая возможная форма ответа:   (1; 3).

// Решение.

График функции у = х ² + (2 а + 4) х + 8 а + 1 – парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, данное неравенство не имеет решений в том и только том случае, если эта парабола целиком расположена в верхней полуплоскости. Отсюда следует, что дискриминант квадратного трехчлена х ² + (2 а + 4) х + 8 а + 1 должен быть отрицателен.

Имеем: .

Решив квадратное неравенство, получаем .

Замечание. Учащийся может воспользоваться формулой дискриминанта .

Другое возможное решение. Найдем ординату вершины параболы у ₀ и выясним, при каких значениях а выполняется неравенство у ₀ > 0.

 

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
4	Найден правильный способ решения, все шаги выполнены верно, получен правильный ответ.
3	Найден правильный способ решения, все шаги выполнены верно, но допущена одна ошибка технического характера (вычислительная или в преобразованиях), при этом решение доведено до конца (ответ может отличаться от правильного).
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Комментарий. Ошибки при составлении дискриминанта квадратного трехчлена или в применении алгоритма решения квадратного неравенства являются существенными, и при их наличии за решение выставляется 0 баллов.

Примеры выполнения заданий учащимися

Пример 1.  

 

Все шаги решения выполнены верно (хотя есть погрешность в терминологии), получен правильный ответ. За решение можно выставить 4 балла.

Пример 2.  

За решение выставляется 0 баллов. Учащийся не владеет приемом решения квадратного неравенства, допускает ошибки в применении формулы корней квадратного уравнения.

Список литературы

1. Государственная итоговая аттестация (по новой форме): 9 класс. Тематические тренировочные задания. Алгебра / ФИПИ автор - составители: Л.В. Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др. – М.: Эксмо, 2008.

2. Методические рекомендации для экспертов территориальных предметных комиссий по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ выпускников IX классов общеобразовательных учреждений //Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Рослова Л.О./М.: ФИПИ, 2010.

3. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе /Л.В.Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др. –М.: Просвещение, 2009.

4. ГИА. Математика. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). 9 класс. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. — М.: Издательство «Экзамен».2011.

5. Государственная итоговая аттестация. 9 класс. Математика. Тематические тестовые задания/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. — М.: Издательство «Экзамен», 2011.

6. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Математика: сборник заданий/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. — М.: Издательство «Экзамен», 2010.

7. ГИА. Алгебра. Тематическая рабочая тетрадь для подготовки к экзамену (в новой форме). 9 класс/ И.В. Ященко, А.В.Семенов, П.И. Захаров. – М: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2010.

8. Алгебра. Тематический контроль (в новой форме): 9 класс: к учебнику «Алгебра»: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений/ под ред. С.А. Теляковского/ Ю.П.Дудницын, В.Л. Кронгауз. – М: Издательство «Экзамен», 2009.

9. Алгебра. Тематические тренировочные задания. 9 класс / С.С. Минаева, Л.О. Рослова. — М.: Издательство «Экзамен». — 141;

10. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Математика: сборник заданий / Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. — М.: Издательство «Экзамен». — 158, (Серия «ГИА. Сборник заданий»).

11. ГИА-2010: Экзамен в новой форме: Геометрия: 9-й кл.: Тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме/ Г.К. Безрукова, Н.Б. Мельникова, Н.В. Шмелёва. – М.: АСТ: Астрель, 2010 -62 [2] с.

12. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра, 7–9 кл.: Элементы статистики и

 

Список рекомендуемых сайтов

http:// www. edu. ru - Центральный образовательный портал, содержит нормативные документы Министерства образования и науки РФ, стандарты, информацию о проведении экзамена.

http:// www. fipi. ru - портал Федерального государственного научного учреждения «Федеральный институт педагогических измерений» осуществляет информационную поддержку ЕГЭ и государственной (итоговой) аттестации за курс основной школы.

http:// www. center. fio. ru / som - методические рекомендации учителю-предметнику (представлены все школьные предметы). Материалы для самостоятельной разработки профильных проб и активизации процесса обучения в старшей школе.

http:// www. internet - scool. ru - сайт Интернет – школы издательства Просвещение. Учебный план школы разработан на основе федерального базисного учебного плана для общеобразовательных учреждений РФ и представляет область знаний «Математика». На сайте представлены интернет-уроки по алгебре и началам анализа и геометрии. 

http:// www. intellectcentre. ru – сайт издательства «Интеллект-Центр». На этом сайте можно найти учебно-тренировочные материалы, демонстрационные версии экзаменационных работ, банк тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации для учителей и образцы решений заданий.

http:// www. mccme. ru – портал Московского центра непрерывного математического образования.

http://edu.seun.ru – портал министерства образования Саратовской области.