Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2019-11-11 | 209 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Глава I. Линейная алгебра
Матрицы
Матрицы. Виды матриц.
Матрицей называется упорядоченная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
Число строк и столбцов (m n) называется размером матрицы.
аij называется элементом матрицы, где i-номер строки, j-номер столбца матрицы.
Пример а) А= размер матрицы 2 2, а11=1, а21=3.
б) В= размер матрицы 4 3, а33=13, а41=4, а12=0.
Виды матриц
Матрица называется квадратной, если в ней число строк равно числу столбцов.
Если в матрице число строк не равно числу столбцов, то такая матрица называется прямоугольной.
Пример
А= -квадратная матрица; В= -прямоугольная матрица.
Матрица, элементы которой составляют строку, называется матрица строка.
Матрица, элементы которой составляют столбец, называется матрица столбец.
Пример А= - матрица строка; В= - матрица столбец.
Главная диагональ квадратной матрицы - это диагональ, которая начинается с элемента а11.
Квадратная матрица, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей.
Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.
Пример Е= - единичная матрица; О= - нулевая матрица.
Матрица, в которой строки и столбцы заменены местами, называется транспонированной матрицей Ат.
Пример Если А= , тогда Ат= .
Действия над матрицами
Равенство матриц.
Две матрицы называются равными, если они одного размера и равны их соответствующие элементы.
Пусть А= , В= , тогда А=В, если аij=вij.
Сложение матриц.
При сложении матриц (одного размера) складываются их соответствующие элементы.
Пусть А= , В= , А+В=С, С= , где сij= аij+вij. [1.1]
Пример А= , В= , А+В= .
|
Свойства сложения матриц.
1) А+В=В+А
2) (А+В)+С=А+(В+С)
3) А+О=О+А=А
Умножение матрицы на число.
При умножение матрицы на число, каждый элемент матрицы умножается на это число.
Пусть А= , λ≠0, λ=conct, то λА= [1.2].
Пример А= , λ=3, λА=
Свойства умножения матриц на число.
1) λ,β≠0, λ,β=conct λ(А+В)= λА+ λВ
2) (λ+ β)А= λА+βА
3) λ(βА)=λβА
Умножение матриц.
1) Квадратные матрицы (одного размера)
Пусть А= , В= , АВ=С С= , где с11=а11в11+а12в21; с12=а11в12+а12в22; с21=а21в11+а22в21; с22=а21в12+а22в22 [1.3].
Пример а) = б) = .
Прямоугольные матрицы.
Прямоугольные матрицы можно перемножать тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В результате получится новая матрица, в которой столько строк, сколько строк в первой и столько столбцов, сколько столбцов во второй.
Пример а) = , 3 столбца=3 строкам, (2 2)-новая матрица;
б) = , 2 столбца=2 строкам, (3 3)-новая матрица;
в) , 3 столбца≠1 строке- перемножать матрицы нельзя.
Свойства умножения матриц.
1) АВ≠ВА
2) (АВ)С=А(ВС)
3) АЕ=ЕА=А
Определители
Пример
=-(1∙8∙2+2∙1∙2+3∙1∙1)-(1∙8∙2+1∙1∙(-1)+2∙3∙2)=-(16+4+3)-(16-1+12=-36
Минор и алгебраическое дополнение
Минором Мij элемента аij называется определитель n-1-го порядка, полученный из определителя n-го порядка, вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Пример
а) А= , М11=1, М12=2, М21=3, М22=5.
б) В= , М11= =15, М12= =3, М13= =-6, М21= =4, М22= =-4, М23= =-4, М31= =-13, М32= =-5, М33= =-14.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется выражение равное
Аij=(-1)i+jМij [1.6]
Пример
А= , А11=(-1)2М11=15, А12=(-1)3М12=-3, А13=(-1)4М13=-6, А21=(-1)3М21=-4, А22=(-1)4М22=-4, А23=(-1)5М23=4, А31=(-1)4М31=-13, А32=(-1)5М32=5,А33=(-1)6М33=-14.
Невырожденные матрицы
Обратная матрица
Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.
Матрица А-1, удовлетворяющая условию А А-1= А-1А=Е [1.7], называется обратной матрицей к матрице А.
Обратная матрица вычисляется по формуле: А-1= [1.8], где ДА- определитель матрицы А, А*- присоединённая матрица её элементами являются алгебраические дополнения АТ.
|
Пример
А=
1) ДА=-8
2) АТ=
3) А11=-2, А12=3, А13=-7, А21=2, А22=1, А23=-5, А31=4, А32=-2, А33=-6.
4) А*=
5) А-1=-
6) А-1А=- = =Е.
Системы линейных уравнений
Пример
1) , х1=10, х2=0- совместная, определённая система;
2) , решений нет- несовместная система;
3) , х1=к, х2=10-2к- совместная, неопределённая система.
Пример
, А= - основная матрица;
В= - матрица столбец свободных членов; Х= - матрица столбец неизвестных; С= - расширенная матрица.
Пример
1) , А= , В= , Х= , А-1= ;
применим формулу: Х= А-1В= = , значит х=2, у=1.
2) , А= , В= , Х= , А-1=- ;
применим формулу: Х= А-1В=- = , значит х1=2, х2=0, х3=-1.
Частные случаи
1) Пусть Д≠0, ДХ1≠0, ДХ2≠0, …, ДХn≠0- тогда система имеет единственное решение.
2) Пусть Д=0, ДХ1≠0, ДХ2≠0, …, ДХn≠0- тогда система не имеет решений.
3) Пусть Д=0, ДХ1=0, ДХ2=0, …, ДХn=0- тогда система имеет бесконечное множество решений (см. метод Гаусса).
Пример
, Д= =79, ДХ1= =395, ДХ2= =-158, ДХ3= =237, х1 = = 5, х2 = =- 2, х3= =3.
Пример
;
составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули во втором столбике, для этого: 2стр.+1стр. 4, 3стр.+1стр 2;
затем получим нули в третьем столбике, для этого: 1стр.+3стр. 3, 2стр.+3стр. 17;
преобразованную матрицу запишем при помощи системы; из системы выражаем х1, х2, х3.
~ ~ = , х1=5, х2=-2, х3=3.
Теорема Кронекера- Капелли
Пусть А- основная матрица, В- расширенная матрица, тогда, если rangА= rangВ, то система имеет решения:
1) если rangА= rangВ=n, (где n-число неизвестных), то система имеет единственное решение,
2) если rangА= rangВ<n, (где n-число неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений;
если rangА≠ rangВ, то система не имеет решений.
Пример
Проверить системы на совместность и решить их методом Гаусса
1) ,
составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули во втором столбике, для этого: 2стр.+1стр. 2, 3стр.+1стр;
затем получим нули в третьем столбике, для этого: 2стр.+3стр; rangА= rangВ=n- система имеет единственное решение; преобразованную матрицу запишем при помощи системы; из системы выражаем х1, х2, х3. ~ ~ = , х1=-1, х2=-1, х3=-1.
2) ,
составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули в третьем столбике, для этого: 2стр.+1стр. 3, 3стр.+1стр 2;
|
затем 3стр.-2стр; rangА=2, rangВ=3, rangА≠rangВ - система не имеет решений.
~ ~ .
3) ,
составим расширенную матрицу; при помощи элементарных преобразований строк получим нули в третьем столбике, для этого: 2стр.+1стр. 5, 3стр.+1стр 4;
затем 2стр.-3стр; rangА=rangВ=2<n (n=3) - система имеет бесконечное множество решений; преобразованную матрицу запишем при помощи системы; из системы выражаем х1, х2, х3.
~ ~ = , х1= , х2, х3= .
Глава I. Линейная алгебра
Матрицы
Матрицы. Виды матриц.
Матрицей называется упорядоченная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
Число строк и столбцов (m n) называется размером матрицы.
аij называется элементом матрицы, где i-номер строки, j-номер столбца матрицы.
Пример а) А= размер матрицы 2 2, а11=1, а21=3.
б) В= размер матрицы 4 3, а33=13, а41=4, а12=0.
Виды матриц
Матрица называется квадратной, если в ней число строк равно числу столбцов.
Если в матрице число строк не равно числу столбцов, то такая матрица называется прямоугольной.
Пример
А= -квадратная матрица; В= -прямоугольная матрица.
Матрица, элементы которой составляют строку, называется матрица строка.
Матрица, элементы которой составляют столбец, называется матрица столбец.
Пример А= - матрица строка; В= - матрица столбец.
Главная диагональ квадратной матрицы - это диагональ, которая начинается с элемента а11.
Квадратная матрица, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей.
Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.
Пример Е= - единичная матрица; О= - нулевая матрица.
Матрица, в которой строки и столбцы заменены местами, называется транспонированной матрицей Ат.
Пример Если А= , тогда Ат= .
Действия над матрицами
Равенство матриц.
Две матрицы называются равными, если они одного размера и равны их соответствующие элементы.
Пусть А= , В= , тогда А=В, если аij=вij.
Сложение матриц.
При сложении матриц (одного размера) складываются их соответствующие элементы.
Пусть А= , В= , А+В=С, С= , где сij= аij+вij. [1.1]
Пример А= , В= , А+В= .
|
Свойства сложения матриц.
1) А+В=В+А
2) (А+В)+С=А+(В+С)
3) А+О=О+А=А
Умножение матрицы на число.
При умножение матрицы на число, каждый элемент матрицы умножается на это число.
Пусть А= , λ≠0, λ=conct, то λА= [1.2].
Пример А= , λ=3, λА=
Свойства умножения матриц на число.
1) λ,β≠0, λ,β=conct λ(А+В)= λА+ λВ
2) (λ+ β)А= λА+βА
3) λ(βА)=λβА
Умножение матриц.
1) Квадратные матрицы (одного размера)
Пусть А= , В= , АВ=С С= , где с11=а11в11+а12в21; с12=а11в12+а12в22; с21=а21в11+а22в21; с22=а21в12+а22в22 [1.3].
Пример а) = б) = .
Прямоугольные матрицы.
Прямоугольные матрицы можно перемножать тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В результате получится новая матрица, в которой столько строк, сколько строк в первой и столько столбцов, сколько столбцов во второй.
Пример а) = , 3 столбца=3 строкам, (2 2)-новая матрица;
б) = , 2 столбца=2 строкам, (3 3)-новая матрица;
в) , 3 столбца≠1 строке- перемножать матрицы нельзя.
Свойства умножения матриц.
1) АВ≠ВА
2) (АВ)С=А(ВС)
3) АЕ=ЕА=А
Определители
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!