Критические параметры. Форма сопловых и рабочих каналов

 

Определим расход газа через сопло, считая процесс течения в сопловом канале изоэнтропийным. Из уравнений неразрывности имеем:

,

где G_t -теоретический расход через сопло; F₁ -площадь выходного сечения сопла; с_{1 t} - теоретическая скорость в выходном сечении; v _{1 t} -удельный объем в конце изоэнтропийного процесса. Согласно уравнению (2.26)

При изоэнтропийном процессе:

,

Подставляя c _{1 t} и v _{1 t} в исходное уравнение, после преобразований получим:

.      (2.30)

Обозначая , имеем:

.        (2.31)

Из формулы (2.31) следует, что при постоянных параметрах перед соплом расход G _t зависит от отношения давлений β₁. При β₁= 0 и β₁= 1 расход равен нулю. Следовательно, функция  имеет максимум.

Отношение давлений , при котором расход достигает наибольшего значения называется критическим. Все параметры (давление – p _кр, скорость – c _кр, удельный объем - v _кр, температура - Т_кр), соответствующие критическому отношению давлений называются критическими.

Для определения критического отношения исследуем функцию , стоящую в квадратных скобках в формуле (2.31), на максимум.

 

Взяв первую производную и приравняв ее нулю, имеем

,

откуда критическое отношение давлений

.                         (2.32)

Из выражения (2.32) следует, что критическое отношение давлений зависит только от показателя изоэнтропии k и для конкретной рабочей среды есть величина постоянная.

Найдем максимальный расход пара G_tmax и критическую скорость c _кр. Для определения максимального расхода подставим в формулу (2.31) вместо β₁ критическое отношение давлений. Учитывая выражение (2.32), после преобразований получим

,             (2.33)

где F_{1m i n} - площадь минимального сечения сопла (площадь горла). Из формулы (2.33) следует, что при неизменной площади поперечного сечения сопла F_1min максимальный расход зависит только от начальных параметров и не зависит от давления за соплом.

Для определения критической скорости подставим критическое отношение давлений в формулу (2.26) и после преобразования получим

.           (2.34)

Выразим критическую скорость через критические параметры. Из уравнения состояния имеем .

При изоэнтропийном течении или, учитывая выражение (2.32), получим

.                               (2.35)

Подставляя в формулу (2.34) значение T ₀ ^*, вычисленное по формуле (2.35), получим

.                     (2.36)

Скорость звука в сплошной среде определяется по выражению

.                           (2.37)

Из сравнения формул (2.36) и (2.37) следует, что при изоэнтропийном течении критическая скорость равна скорости звука в среде, имеющей температуру, равную критической (Т=Tкр).

На рис. 2.2 по формулам (2.31) и (2.26) и уравнению изоэнтропы построены кривые, показывающие характер изменения расхода G_1t, скорости истечения c _1t и удельного объема v _1t в выходном сечении сопла в зависимости от отношения давлений β₁ при неизменных начальных параметрах рабочего тела.

Из рисунка видно, что в области дозвукового истечения при уменьшении β₁ (в случае уменьшения давления за соплом) расход возрастает. При критическом течении расход становится максимальным. В области сверхзвукового истечения согласно формуле (2.31) расход должен уменьшаться и при β₁ = 0 расход должен быть равен нулю.

Опыты подтверждают увеличение расхода через сопло при уменьшении β₁ в дозвуковой области истечения, но не подтверждают снижение расхода в области сверхзвукового истечения. В действительности, достигнув наибольшего значения при критическом отношении давлений, расход через сопло в дальнейшем при всех значениях  остается неизменным и равным максимальному. Причина такого изменения расхода заключается в следующем. В сплошных средах скорость распространения малых возмущений равна местной скорости звука. Поэтому при понижении давления за соплом (это относится к малым возмущениям) в дозвуковом истечении происходит перераспределение давлений по длине всего сопла и в сужающейся части имеет место увеличение скорости потока.

 

Рисунок 2.2 - Зависимость расхода через сопло, площади выходного сечения сопла, скорости и удельного объема е выходном сечении от отношения давлений

 

При сверхзвуковом режиме в самом узком месте сопла скорость потока становится равной местной скорости звука. Поэтому понижение давления за соплом не приводит к какому-либо перераспределению давлений по длине дозвуковой части сопла, так как малые возмущения не могут преодолеть скорость звука. При этом расход определяется площадью проходного сечения самого узкого места сопла и критическими параметрами в этом сечении. Согласно уравнению (2.7) при установившемся течении (G_1t=const)

.

Из рисунка 2.2 видно, что характерной особенностью дозвуковой области течения (М <1.0) является более интенсивное нарастание скорости потока, чем удельного объема (d c / c >d v / v). В области сверхзвукового истечения (М >1.0) наоборот d v / v >d c / c. По этой причине площадь проходного сечения сопла при М <1.0 уменьшается от входа к выходу, а при М >1.0 - увеличивается.

Из рисунка 2.2 следует, что форма сопла при дозвуковом и звуковом истечении (М ≤1.0) должна быть сходящейся (суживающейся), при сверхзвуковом (М >1.0) сходяще-расходящейся. В сходящейся части сходяще-расходящегося сопла поток расширяется от начального давления до критического, а в расходящейся - от критического до заданного давления p ₁< p _кр.

Сходяще-расходящееся сопло называется соплом Лаваля, для краткости будем называть его в дальнейшем расходящимся (расширяющимся) соплом.

В расходящихся соплах выходное сечение не определяет расхода, так как последний зависит не от площади выходного сечения и параметров в этом сечении, а от площади и параметров узкого сечения.