Расчет неразрезного прогона (спаренный многопролетный)

Обычно деревянные прогоны делают из брусьев прямоугольного сечения или из кругляка, отёсанного на два канта. Прогоны могут проектироваться однопролётными и многопролётными. Однопролётные прогоны, перекрывающие независимо каждый пролёт между фермами, применяются для пролетов от 2,5 до 6,5 м и должны иметь высоту в 1/20 — 1/30 пролёта. Однопролётные прогоны просты в монтаже, но имеют два основных недостатка: 1) при пролётах свыше 4 м они требуют значительного расхода древесины и 2) стык прогонов над фермами несколько затрудняет присоединение прогонов к фермам. Поэтому деревянные прогоны чаще проектируют в виде многопролётных шарнирных балок, стыки которых (шарниры) располагают не над фермами, а в пролётах на расстоянии 0,15 — 0,21 L от опор. При расстоянии между фермами в 3,0 — 5,0 м шарниры располагают через пролёт попарно в пролёте на расстоянии 0,15 L от опор.

В таких балках при равномерно распределённой нагрузке изгибающие моменты во всех пролетах как на опорах, так и в пролётах получаются равными и каждый составляет 50% от момента однопролетной балки, что позволяет соответственно уменьшить сечение. Высоту таких пророков делают в 1/20 пролёта.

Принимаем неразрезные прогоны, т.к. они более экономичны по расходу древесины. Расчет спаренного прогона производится по схеме многопролетной неразрезной балки на нормальную составляющую нагрузки. Максимальные изгибающие моменты возникают в прогоне над опорами.

Рис.2 Схема прогона

Рассчитаем многопролетный спаренный дощатый прогон с пролетами, равными шагу балок l=3,4м. Прогоны устанавливаются с шагом 1500 мм на верхние пояса рамы, имеющие уклон i=1:10 (a=4,29 sina=0.099 cosa=0.995).

Снеговая нагрузка для климатического района г. Ижевска принимается равной 2,4 кПа=2400 Н/м².

Расчетная схема прогона – многопролетная неразрезная балка с равными пролетами l=3,4 м.

Рис. 3 Сбор нагрузок на прогон

№ п.п.	Вид нагрузки	g(n), кН/м	γ(f)	g, кН/м
I	Постоянная нагрузка
1	Рубероидная кровля (3 слоя)	1,5	1,3	1,95
2	Фанера	0,24	1,2	0,288
3	Утеплитель ISOVER	0,18	1,2	0,216
4	Обрешетка	0,14	1,1	0,154
	Итого	2,06		2,608
II	Временная нагрузка
1	Снеговая	1,68	0,7	2,4
	Итого	3,74		5,008

Действующие составляющие нагрузки:

;

;

.

Подбор сечения по прочности

Максимальные изгибающие моменты возникают в прогоне над опорами. Изгибающий момент на промежуточных опорах определяется по формуле:

.

Расчетное сопротивление изгибу (сосна 2 сорта):

.

Геометрические характеристики поперечного сечения прогона:

Требуемый момент сопротивления сечения:

.

Задаемся шириной сечения доски:

.

Ширина сечения в средних пролетах, состоящего из двух досок:

.

Требуемая высота сечения:

.

Принимаем сечение:

.

Расчетный момент сопротивления сечения (с учетом острожки):

.

Нормальное напряжение в расчетном сечении прогона:

Первые пролеты прогона усилены третьей доской без расчета

Проверка прогиба прогона в первом пролете

Момент инерции расчетного сечения:

Относительный прогиб:

Условие выполняется – прогиб в пределах нормы.

Расчет стыка прогона на гвоздях

Рис. 4. Стык прогона

Расстояние стыков от опор:

.

Принимаем гвозди диаметром 5 мм, длиной 100 мм

Расстояние от стыка до ближайшего ряда гвоздей:

, где

– толщина сплачиваемого элемента;

— диаметр гвоздя.

Принимаем:

.

Расстояние ближайших гвоздей от опор:

.

Поперечная сила в стыкуемой доске:

Несущая способность гвоздя в несимметричном односрезном соединении при диаметре гвоздя 0,005 м, а=с=0,047 м:

.

Требуемое число гвоздей в конце каждой доски:

Принимаем 6 гвоздей.

Расстояние по вертикали между гвоздями:

.

Расстояние по вертикали от края доски до ближайшего гвоздя:

.

Расчет крепления прогона бобышками

Скатная составляющая опорных реакций:

Так как гвозди принимаем такие же как в стыках

Принимаем 4 гвоздя.

Рабочая площадь бобышки:

Расчет двухшарнирной рамы

Нагрузка от покрытия:

;

;

, где

– вес снегового покрова на 1 м² горизонтальной поверхности;

– коэффициент перехода от веса снегового покрова земли к снеговой нагрузке на покрытие;

.

Определяем собственный вес балки:

;

Полная нагрузка на 1м балки:

;

.

Рис. 5. Схема нагружения рамы. 3.1 Определение геометрических характеристик балки

 

Рис.6 Схема балки

Нагрузки: g=4,98 кН/м, gⁿ=3,72 кН/м.

Материалы: для поясов — сосновые доски сечением 144 ´ 33 мм (после калибровки и фрезерования пиломатериала с сечением 150 ´ 40 мм) с пропилами.

В растянутых поясах используется древесина 2-го сорта, в сжатых — 3-го сорта. Для стенок используется фанера клееная, березовая, марки ФСФ В/ВВ толщиной 12 мм. Доски поясов стыкуются по длине на зубчатый шип, фанерные стенки — «на ус».

Высоту поперечного сечения балки в середине пролета принимаем

h = l /8 = 15/8 = 1,875 м. Высоту опорного сечения,

h ₀ = h — 0,5 li = 1,875 — 0,5 × 15 × 0,1 = 1,125 м.

Ширина балки b = Σδ_д + Σδ_ф = 4 × 3,3 + 2 × 1,2 = 15,6 см.

По длине балки укладывается 13 листов фанеры с расстоянием между осями стыков

l _ф — 10δ_ф = 152 — 1,2 × 10 = 140 см.

Расстояние между центрами поясов в опорном сечении.

h ‘ ₀ = h ₀ — h _н = 1,125 — 0,144 = 0,981 м; 0,5 h ‘ ₀ = 0,49 м.

Расчетное сечение располагается на расстоянии x от оси опорной площадки

x = = 15 = 6,45 м,

где γ = h ‘ ₀ /(li) = 0,981(15 × 0,1) = 1.47

Вычисляем параметры расчетного сечения: высота балки

h _x = h ₀ + ix = 1,125 + 0,1 × 6,45 = 1,77 м;

расстояние между центрами поясов

h ‘ _x = 1,77 — 0,144 = 1,626 м; 0,5 h ‘ _x = 0,813 м;

высота стенки в свету между поясами

h_{x ст} = 1,626 — 0,144 = 1,482 м; 0,5 h_{x ст} = 0,741 м.

Изгибающий момент в расчетном сечении

M _x = qx (l — x) /2 = 4,98 × 6,45(15 – 6,45)/2 =137,3 кН × м;

требуемый момент сопротивления (приведенный к древесине)

W _пр = M_x γ _n / R _р = 137,3 × 10⁶ × 0,95/9 = 14,5 × 10⁶ мм³;

соответствующий ему момент инерции

I _пр = W _пр h _x /2 = 14,5 × 10⁶ × 1770/2 = 128,32 × 10⁸ мм⁴.

Задаемся двутавровой коробчатой формой поперечного сечения (см. рис. 7).

Фактические момент инерции и момент сопротивления сечения, приведенные к древесине, равны

I _пр = I _д + I _ф E _ф K _ф / E _д = 2[(132 × 144³/12) + 132 × 144 × 813²] + 2 × 12 × 1770³ × 0,9 × 1,2/12 = 371,7 × 10⁸ > 128,32 × 10⁸ мм⁴;

W _пр = I _пр × 2/ h _x = 2 × 371,7 × 10⁸/1770 = 42 × 10⁶ > 14,5 × 10⁶ мм³,

Здесь K _ф = 1,2 — коэффициент, учитывающий повышение модуля упругости фанеры при изгибе в плоскости листа.

Проверяем растягивающие напряжения в фанерной стенке

σ_фр = M_xE _ф K _ф (W _пр E _д) = 137,3 × 10⁶ × 0,9 × 1,2\(42× 10⁶) = 3,5 < R _фр m _ф /γ _n = 14 × 0,8/0,95 = 11,8 МПа.

Здесь m _ф = 0,8 — коэффициент, учитывающий снижение расчетного сопротивления фанеры, стыкованной «на ус», при работе ее на изгиб в плоскости листа. Принимая раскрепление сжатого пояса прогонами или ребрами плит через 1,5 м, определяем его гибкость из плоскости балки

λ _y = l _р (0,29 b) = 187\(0,29 × 15,6) = 41,3 < 70 и, следовательно,

φ _y = 1 — a (λ /100)² = 1 — 0,8(4,13/100)² = 0,99, а напряжения сжатия в поясе

σ _с = M_x / W _пр = 137,3 × 10⁶ \ 42 × 10⁶ = 3,2 < φ _y R _с /γ _n = 0,91 × 11 × 0,95 = 10,5 МПа.

Проверку фанерных стенок по главным напряжениям производим в зоне первого от опоры стыка на расстоянии x ₁ = 0,925 м (см. рис. 7).

Для данного сечения

M = qx ₁ (l — x ₁)/ 2 = 4,98 × 1,150(15 – 1,150)/2 = 39,65 кН × м;

Q = q (l /2 — x ₁) = 4,98(15/2 – 1,150) = 31,6 кН;

h = 1,125 + 1,150 × 0,1 = 1,24 м;

h _ст = 1,24 — 2 × 0,144 ≈ 0,952 м — высота стенки по внутренним кромкам поясов, откуда 0,5 h _ст = 0,47 м.

Момент инерции данного сечения и статический момент на уровне внутренней кромки, приведенные к фанере:

I _х1пр = 1240³*1,2*2\12+2[156*144³\12+156*144*(952\2)²]*1000\(1,2*900)= 130,4 × 10⁸ мм⁴;

S_{х1 пр} = 144*156*470*1000\(1,2*900)+2*1,2*144*470=9,6 × 10⁶ мм³.

Нормальные и касательные напряжения, в фанерной стенке на уровне внутренней кромки растянутого пояса

σ_ст = M × 0,5 h _ст / I _пр = 39,65 × 10⁶ × 476/130,4 × 10⁸ = 1,4 МПа;

τ_ст = QS _пр /(I _пр Σδ_ф) = 31,6 × 10³ × 9,6 × 10⁶/(130,4 × 10⁸ × 2 × 12) = 0,97 МПа.

Главные растягивающие напряжения по СНиП II-25-80 формула (45)

0,5σ_ст + = 0,5 × 1,4 + = 2,36 < (R _рфα / γ _n) m _ф = (4,7/0,95) 0,8 = 4,1 МПа при угле

α = 0,5 arctg (2τ_ст/σ_ст) = 0,5 arctg (2 × 0,97/1,4) = 45°

по графику на рис. 17 (СНиП II-25-80, прил. 5).

Для проверки устойчивости фанерной стенки в опорной панели балки вычисляем необходимые геометрические характеристики: длина опорной панели a = 1,125 м (расстояние между ребрами в свету); расстояние расчетного сечения от оси опоры x ₂ = 0,952 м; высота фанерной стенки в расчетном сечении

h _ст = (1,125 + 0,952 × 0,1) — 2 × 0,144 ≈ 0,932м

h _ст /δ_ф = 932/12 = 77,6 > 50; γ = a / h _ст = 1,125/0,932 ≈ 1,2м.

По графикам на рис. 18и 19 прил. 5 для фанеры ФСФ и γ = 2 находим K _и = 18 и K _τ = 3.

Момент инерции и статический момент для расчетного сечения x ₂, приведенные к фанере

I _пр = 1200³*1,2*2\12+2[155*144³\12+155*144(932\2)²]*1000\1,2*900= 91 × 10⁸ мм⁴;

S _пр = 155*144*466*1000\1,2*900= 9,3× 10⁶ мм³.

Изгибающий момент и поперечная сила в этом сечении

M = qx ₂ (l — x ₂)/2 = 4,98 × 0.952(15 — 0,952)/2 = 33,3 кН × м;

Q = q (l /2 — x) = 4,98(15/2 — 0,925) = 32,7 кН.

Нормальные и касательные напряжения в фанерной стенке на уровне внутренней кромки поясов

σ_ст = M 0,5 h _ст / I _пр = 33,3 × 10⁶ × 0,5 × 1200/91 × 10⁸ = 2,1 МПа;

τ_ст = QS _пр /(I _пр Σδ_ф) = 32,7 × 10³ × 9,3 × 10⁶/(91 × 10⁸ × 2 × 10¹²) = 1,7 МПа.

По СНиП II-25-80 формула (48) проверяем выполнение условия устойчивости фанерной стенки:

а) в опорной панели

σ_ст/[ K _и (100δ/ h _ст)²] + τ_ст/[ K _τ (100δ/_расч)²] = 2,1/[18(100/77,6)² + 1,7/[3(100/77,6)²] = 0,68 < 1, где h _ст / δ = 77,6;

б) в расчетном сечении с максимальными напряжениями изгиба (x = 6,45 м) при h _ст /δ = 1,62/0,012 = 135 > 50;

γ = a / h _ст = 1,125/1,62 = 0,69, K _и = 25 и K _τ = 3,75.

Напряжения изгиба в фанерной стенке на уровне внутренней кромки поясов

σ_ст = M_x 0,5 h _ст / I _пр = 137,3 × 10⁶ × 741/128,2 × 10⁸ = 7,9 МПа,

где I _пр = 128,2× 10⁸ мм⁴;

τ_ст = Q_xS _пр /(I _пр Σδ_ф) = 5,2 × 10³ × 10,3 × 10⁶/(128,2 × 10⁸ × 2 × 12) = 0,174 МПа,

где Q = q (l /2 — x) = 4,98(15/2 – 6,45) = 5,2 кН,

S = 10,3× 10⁶ мм³.

Используя СНиП II-25-80, формула (48), получим

7,9/[25(100/135)²] + 0,174/[3,75(100/135)²] = 0,66 < 1.

Производим проверку фанерных стенок в опорном сечении на срез в уровне нейтральной оси и на скалывание по вертикальным швам между поясами и стенкой в соответствии со СНиП II-25-80, пп. 4.27 и 4.29.

Момент инерции и статический момент для опорного сечения, приведенные к фанере, определяем как и ранее

I _пр = 129,7 × 10⁸ мм⁴; S _пр = 9,5 × 10⁶ мм³;

τ_ср = Q_maxS _пр /(I _пр Σδ_ф) = 7,9 × 10³ × 9,5 × 10⁶/(129,7 × 10⁸ × 2 × 12) = 2,4 < R _фср/γ _n = 6/0,95 = 6,3 МПа;

τ_ск = Q_maxS _пр /(I _пр nh _и) = 7,9 × 10³ × 9,5 × 10⁶/(129,7 × 10⁸ × 4 × 144) = 0,75 < R _фск /γ _n = 0,8/0,95 = 0,84 МПа.

Прогиб клеефанерной балки в середине пролета определяем согласно п. 4.33 по формуле (50) СНиП II-25-80. Предварительно определяем:

f = f ₀ [1 + c (h / l)²]/ к,

где f ₀ = 5 q ^н l ⁴ /(384 El) = 5 × 3,72 ×15⁴× 10¹²/(384 × 248 × 10¹²) = 9,8 мм.

Здесь EI = E _д I _д + E _ф I _ф = 10⁴ × 175 × 10⁸ + 10⁴ × 0,9 × 1,2 × 131,2 × 10⁸ = 316,7 × 10¹² Н × мм² (СНиП II-25-80, прил. 4, табл. 3); значения коэффициентов к = 0,4 + 0,6β = 0,4 + 0,6 × 1125/1626 = 0,815 и c = (45,3 — 6,9β)γ = (45,3 — 6,9 × 1125/1626)2 × 144 × 132[2 × 12(1626 — 144)] = 48,1;

тогда

f = 9,8[1 + 48,1(1,6 × 10³/15 × 10³)²]/0,815 = 7,3 мм и f / l = 7,3/15 × 10³ = 1/1700 < 1/300 (СНиП II-25-80, табл. 16).
3.2. Статический расчет балки

Расчет балки ведем при двух сочетаниях нагрузки:

I. Постоянная и снеговая нагрузки равномерно распределены по всему пролету (g+P₁):

Рис. 7. Первое сочетание нагрузок на раму

;

;

;

;

.

II. Постоянная нагрузка по всему пролету и снеговая равномерно распределена на 0,5 пролета (g+P₂):

Рис. 8. Второе сочетание нагрузок на раму

;

;

;

;