Формула полной вероятности и формула Бейеса

 

Если об обстановке опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез)

H ₁, H ₂, …, H_n

и если событие A может появиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(A) = Р(H ₁)Р (А | H ₁) + Р(H ₂)Р (А | H ₂) + … + Р(H_n)Р (А | H_n)

или

,

где Р(H_i) –вероятность гипотезы H_i,Р(А | H_i) –условная вероятность события A при этой гипотезе.

Гипотезы H ₁, H ₂, …, H_n составляют полную группу попарно несовместных событий, т. е.

.

Если до опыта вероятности гипотез были Р(H ₁), Р(H ₂),..., Р(H_n), а в результате опыта появилось событие A, то с учетом этого события «новые», т.е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Бейеса:

.

Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта.

Если после опыта, закончившегося появлением события A, производится еще один опыт, в котором может появиться или не появиться событие В, то вероятность (условная) этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез Р(H_i), а новые Р(H_i | А):

.

Формула Бейеса позволяет на основе знания априорных (до опыта) вероятностей гипотез P(H_i) и условных вероятностей наступления события A при этих гипотезах – P(A | H_i) вычислить апостериорные (после опыта, A наступило) вероятности гипотез P(H_i | A).

Задачи

4.1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Решение. Обозначим через A событие «извлеченная деталь стандартная». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (гипотеза H ₁), либо из второго (гипотеза H ₂). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора P(H ₁) = 1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора P(H ₂) = 1/2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, P(A | H ₁) = 0,8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, P(A | H ₂) = 0,9.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна

.

4.2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим через A событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа». Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (гипотеза H ₁), либо нестандартная (гипотеза H ₂). Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, P(H ₁) = 9/10=0,9.

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, P(H ₂) = 1/10=0,1.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна P(A | H ₁) = 19/21.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна P(A | H ₂) = 18/21.

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

.

Аналогично решаются задачи 4.5 – 4.10.

4.3. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Решение. Гипотезы:

Н ₁ – студент подготовлен отлично;

Н ₂ – студент подготовлен хорошо;

Н ₃ – студент подготовлен посредственно;

Н ₄ – студент подготовлен плохо.

До опыта (априори):

P(H ₁) = 0,3; P(H ₂) = 0,4; P(H ₃) = 0,2; P(H ₄) = 0,1;

P(A | H ₁) = 1; P(A | H ₂) = (16/20)∙(15/19)∙(14/18) ≈ 0,491;

P(A | H ₃) = (10/20)∙(9/19)∙(8/18) ≈ 0,105;

P(A | H ₄) = (5/20)∙(4/19)∙(3/18) ≈ 0,009.

Вычислим знаменатель в формуле Бейеса (формула полной вероятности)

P(A)=0,3∙1+0,4∙0,491+0,2∙0,105+0,1∙0,009 = 0,518.

После опыта (апостериори):

а) ; б) .

4.4. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через A событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

1) деталь проверил первый контролер (гипотеза H ₁);

2) деталь проверил второй контролер (гипотеза H ₂).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контроллер, найдем по формуле Бейеса:

.

По условию задачи имеем:

 (вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру);

 вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);

 (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);

 (вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).

Искомая вероятность

.

Как видно, до испытания вероятность гипотезы H ₁ (априорная) равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (апостериорная) изменилась и стала равна 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

Аналогично решаются задачи 4.11 – 4.13.

4.5. У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом № 1, и 4 детали завода № 2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.

Ответ: 92/95.

4.6. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,76. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

Ответ: 0,86.

4.7. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

Ответ: 0,84.

4.8. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика — стандартная.

Ответ: 43/60.

4.9. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

Ответ: 0,875.

4.10. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

Ответ: 13/132.

4.11. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-I с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-II срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-I или С-II, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-I или С-II?

Ответ: Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С-I, равна 6/11, а С-II – 5/11.

4.12. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

Ответ: Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: 18/59, 21/59, 20/59.

4.13. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.

Ответ: 0,998.

5. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение.
Формулы Муавра – Лапласа

 

Пусть проводится эксперимент, состоящий из n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие А либо наступает, либо не наступает. Вероятность наступления события А в каждом опыте постоянна и равна р. Такой эксперимент называется схемой испытаний Бернулли.

Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз в схеме испытаний Бернулли

.

Величина Р _п (т),рассматриваемая как функция от m (m = 0, 1,..., n), называется биномиальным распределением вероятно стей, отметим, что . Максимальное значение Р _п (т)достигается при ,где [ ] – целая часть числа, m ₀ называется наивероятнейшим значением. Если   –целое число, то наивероятнейшим значением является также и m ₀ – 1. Обозначим q = 1 – р.

В случае, когда р и q не малы, а п велико (обычно npq > 8), применяют приближенные формулы Муавра – Лапласа   

,

где , а ;

,

где  – функция Лапласа.

Задачи

5.1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит нормы, равна p = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна p = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна

q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

.

5.2. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = 1/2.

а) Вероятность выиграть три партии из четырех

.

Вероятность выиграть пять партий из восьми

.

Так как 1/4 > 7/32, то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех

,

а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми

.

Так как 93/256 > 5/18 = 80/256, то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.

Аналогично решаются задачи 5.5 – 5.10.

5.3. Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, n = 400; m = 80; p = 0,2; q = 0,8.

Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

.

Вычислим определяемое данными задачи значение x:

.

По таблице 1 находим φ(0) = 0,3989.

Искомая вероятность

.

Замечание. Для отрицательных значений аргумента x функции φ(x) пользуются той же таблицей, так как функция φ(x) четная, т.е. φ(– x) = φ(x).

Аналогично решаются задачи 5.11 – 5.12.

5.4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна p = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, p = 0,2; q = 0,8; n = 400; m ₁ = 70; m ₂ = 100. воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

.

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

;

.

Таким образом, имеем

.

По таблице 2 находим: Φ(2,5) = 0,4938; Φ(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность

.

Замечание. В таблице 2 даны значения функции Φ(x) для положительных значений x и для x = 0; для x < 0 пользуются той же таблицей, так как функция Φ(x) нечетная, т.е. Φ(– x) = – Φ(x). В таблице приведены значения интеграла лишь до x = 5, так как для x > 5 можно принять Φ(x) = 0,5.

Аналогично решаются задачи 5.13 – 5.14.

5.5. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

Ответ: а) Р₆ (4) = 0,246; б) Р₆(6) = 0,26; в) Р₆ (0) = 0,000064.

5.6. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

Ответ: Р = 1 – [Р₅(0) + Р₅(1)] = 0,472. 

5.7. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.

Ответ: Р = 1 – [Р₆(0) + Р₆(1)] = 0,767.

5.8. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

Ответ: Р = 1 – [Р₈(0) + Р₈(1)] = 0,19.

5.9. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Ответ: Р = Р₆(0) + Р₆(1) = 7/64; Q = 1 – [Р₆(0) + Р₆(1)] = 57/64.

5.10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р = 0,9. Вероятность поражения цели при k попаданиях   равна . Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела.

Указание. Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности.

Ответ: 0,9639.

5.11. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Ответ: Р₄₀₀(104) = 0,0006.

5.12. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит: а) ровно 75 раз; б) ровно 85 раз.

Ответ: а) ; б) .

5.13. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Ответ: а) Р₁₀₀(70, 80) = 2Ф(1,16) =0,7498;

  б) Р₁₀₀(0; 70)= – Ф(1,15) + 0,5 = 0,1251.

5.14. Какова вероятность того, что из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных «гербом» вверх, будет от 45 до 55.

Ответ: .

 

Таблица значений функции

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661	3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637	3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613	3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589	3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565	3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541	3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516	3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492	3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468	3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444
1,0 1,1 1.2 1,3 1,4 1.5 1,6 1,7 1,8 1,9	0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656	2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644	2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632	2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620	2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608	2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596	2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584	2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573	2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562	2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551
2,0 2,1 2,2 2,3 2.4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9	0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060	0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058	0519 0422 0339, 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056	0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055	0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053	0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051	0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050	0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048	0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047	0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9	0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002	0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002	0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002	0040 0030 0022 0016 0011 0008 0005 0004 0003 0002	0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002	0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002	0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002	0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002	0035 0025 0018 9013 0009 0007 0005 0003 0002 0001	0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001

Таблица значений функции

x	0		1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	0,00000 03983 07926 11791 15542 19146 22575 25804 28814 31594		00399 04380 08317 12172 15910 19497 22907 26115 29103 31859	00798 04776 08706 12552 16276 19847 23237 26424 29389 32121	01197 05172 09095 12930 16640 20194 23565 26730 29673 32381	01595 05567 09483 13307 17003 20540 23891 27035 29955 32639	01994 05962 09871 13683 17364 20884 24215 27337 30234 32894	02392 06356 10257 14058 17724 21226 24537 27637 30511 33147	02790 06749 10642 14431 18082 21566 24857 27935 30785 33398	03188 07142 11026 14803 18439 21904 25175 28230 31057 33646	03586 07535 11409 15173 18793 22240 25490 28524 31327 33891
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	34134 36433 38493 40320 41924 43319 44520 45543 46407 47128		34375 36650 38686 40490 42073 43448 44630 45637 46485 47193	34614 36864 38877 40658 42220 43574 44738 45728 46562 47257	34850 37076 39065 40824 42364 43699 44845 46818 46638 47320	35083 37286 39251 40988 42507 43822 44950 45907 46712 47381	35314 37493 39435 41149 42647 43943 45053 45994 46784 47441	35543 37698 39617 41309 42786 44062 45154 46080 46856 47500	35769 37900 39796 41466 42922 44179 45254 46164 46926 47558	35993 38100 39973 41621 43056 44295 45352 46246 46995 47615	36214 38298 40147 41774 43189 44408 45449 46327 47062 47670
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9	47725 48214 48610 48928 49180 49379 49534 49653 49744 49813		47778 48257 48645 48956 49202 49396 49547 49664 49752 49819	47831 48300 48679 48983 49224 49413 49560 49674 49760 49825	47882 48341 48713 49010 49245 49430 49573 49683 49767 49831	47932 48382 48745 49036 49266 49446 49585 49693 49774 49836	47982 48422 48778 49061 49286 49461 49598 49702 49781 49841	48030 48461 48809 49086 49305 49477 49609 49711 49788 49846	48077 48500 48840 49111 49324 49492 49621 49720 49795 49851	48124 48537 48870 49134 49343 49506 49632 49728 49801 49856	48169 48574 48899 49158 49361 49520 49643 49736 49807 49861
3,0 3,5 4,0 4,5 5,0		0,49835 49977 499968 499997 49999997		3,1 3,6	49903 49984	3,2 3,7	49931 49989	3,3 3,8	49952 49993	3,4 3,9	49966 49995

 

Литература

 

1. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для втузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овгоров. – 3-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2000. – 366 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для втузов / В.Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – 479 с.

3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / под ред. А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1965. – 632 с.

 

[*] Данная задача, как и ряд других в главе 3, может быть решена и с помощью непосредственного подсчета числа случаев; здесь требуется решить их с помощью теорем сложения или умножения.