Вычисление произведений, сумм, пределов

1. С использованием символьного знака равенства:

.

2. Выделить следом курсора вычисляемое выражение и выбрать команду: Symbolics/Evaluate/Symbolically:

.

 

Преобразование выражений

Команда Symbolics/Evaluate/Symbolically эквивалентна символьному знаку равенства:

.

Замена констант в результатах численных вычислений числовыми значениями 

Команда применяется для представления результата в виде выражения, в котором числовые константы представляются в форме с плавающей точкой с заданным количеством знаков после запятой.

С использованием директивы float (панель инструментов Symbolic) и символьного знака равенства операция записывается следующим образом:

 

<вычисляемое выражение> float, <количество значащих цифр>→

 

Например: .

Для выполнения преобразования с помощью команды Floating Point следует   выделить следом курсора вычисляемое выражение, выбрать команду: Symbolics/ Evaluate/Floating Point и в диалоговом окне Floating Point Evaluation (рис. 7.2) задать количество значащих цифр.

Рисунок 7.2 - Диалоговое окно Floating Point Evaluation.

Например:

.

 

Символьные преобразования комплексных выражений

Возможны следующие способы:

1. С использованием ключевого слова complex (панель инструментов Symbolic) и символьного знака равенства (ввод мнимой единицы 1i):

 

.

2. Выделить следом курсора вычисляемое выражение, выбрать команду Symbolics/Evaluate/Complex:

.

 

Упрощение выражений

1. С использованием ключевого слова simplify (панель инструментов Symbolic) и символьного знака равенства:

 

.

2. Выделить следом курсора вычисляемое выражение, выбрать команду Symbolics/Simplify:

.

 

Команда Symbolics/Expand (ключевое слово символьных преобразований expand)

Команда позволяет выполнить следующие действия:

1. Раскрыть скобки

или

2. Приведение подобных слагаемых

3. Сокращение дробей

Выполняется упрощение выражений (приведение подобных слагаемых, сокращение дробей) с последующим представлением результата в виде суммы отдельных слагаемых.

 

Команда Symbolics/Factor (ключевое слово factor)

Выполняет преобразования выражений (приведение подобных слагаемых, сокращение дробей) с последующим разложением результата на множители, если это возможно.

Выполняемые действия:

1. Разложение на множители    

2. Приведение подобных слагаемых      

3. Сокращение дробей

Команда позволяет выполнить разложение числа на простые множители:

 

Команда Symbolics/Collect (ключевое слово collect)

Выполняет те же преобразования, что и factor, expand, simplify, но результат представляет в виде, упорядоченном по степеням выделенной переменной (при использовании команды Symbolics/Collect следует выделить переменную в выражении следом курсора). Для выполнения этого преобразования с использованием ключевого слова collect следует после ключевого слова через запятую указать имя переменной, по степеням которой следует упорядочить выражение:

 

.

 

Команда Symbolics/Polynomial Coefficients (ключевое слово coeffs)

Команда позволяет сформировать вектор коэффициентов полинома:

Для использования команды Symbolics/Polynomial Coefficients в выражении следует выделить следом курсора переменную, относительно которой следует рассматривать выражение как полином, (например, a):

.

 

Команда Symbolics/Variable/Solve (ключевое слово solve)

Позволяет найти решение уравнения, неравенства:

получить символьное решение уравнения F(x)=0 относительно переменной x:

F(x) solve, x→

 

Примеры:

Перед использованием команды Symbolics/Variable/Solve переменную, относительно которой следует решить уравнение или неравенство, необходимо выделить следом курсора. Например, относительно переменной a:

.

 

Команда Symbolics/Variable/Substitute (ключевое слово substitute)

Команда позволяет в выражении выполнить замену переменной выражением, хранящимся в буфере. Последовательность действий:

- скопировать в буфер выражение, которым следует заменить переменную;

- выделить следом курсора заменяемую переменную;

- выбрать команду Symbolics/Variable/Substitute.

При использовании ключевого слова substitute следует с помощью панели инструментов Symbolic ввести выражение

 

F(x) substitute, x=<выражение 1>→

 

где F(x) – выражение, в котором производится замена

x– переменная, которую следует заменить

<выражение 1> - выражение, на которое следует заменить переменную x.

Например,

 

 

Разложение дробно-рациональной функции на простейшие дроби

Для выполнения преобразования применяется команда Symbolics/Variable/ Convert to Partial Fraction (кнопка parfrac панели инструментов Symbolic).

Последовательность действий:

- выделить следом курсора переменную;

- выбрать команду Symbolics/Variable/Convert to Partial Fraction.

При использовании соответствующей директивы следует с помощью кнопки parfrac панели инструментов Symbolic ввести выражение

 

→

 

где F(x) (выражение) – дробно-рациональная функция;

x– переменная.

 

Использование дополнительных модификаторов

При нажатии на кнопку Modifiers  панели инструментов Symbolic появляется панель инструментов Modifier:

.

Модификаторы имеют такое назначение:

assume –вводное слово для определений real, RealRange.

real – задает, что переменная принимает вещественное значение, например

.

RealRange – задает, что переменная принимает значение из заданного диапазона, например,

.

 

Выполнение преобразований с помощью нескольких

По отношению к исходному выражению можно применять несколько различных директив. Для ввода нескольких директив используется расширенный оператор символьного ввода  (ввод: Ctrl+Shift+. или кнопка  панели инструментов Symbolycs).

Например:

В примере сначала выполняется замена переменной n значением 5, а потом выполняется преобразование выражения (expand).

 Последовательность выполнения действий должна быть записана правильно:  - ошибка в порядке записи директив, преобразование выполнено не полностью.

В следующем примере выполняется подстановка значений переменных b и a, решается уравнение, полученное после выполнения подстановки, результат представлен в форме с плавающей точкой с тремя значащими цифрами:

.
 ЛЕКЦИЯ 8

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ, ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

 

В Mathcad решение уравнений и их систем может выполняться как в символьном виде, так и численно. Неравенства в Mathcad можно решать только в символьном виде с использованием команды Solve меню Simbolylics или аналогичной директивы символьных преобразований и символьного знака равенства.

 

8.1 Решение алгебраических, трансцендентных уравнений с использованием директивы solve и символьного знака равенства

 

Директива solve применяется для решения уравнений вида  или  относительно переменной следующим образом

или

 

(в уравнении знак = следует вводить с помощью панели инструментов Boolean).

Пример. Найти точки пересечения функцией  оси абсцисс.

 

Пример. Найти точки пересечения графиков функций  и .

Корни уравнения  являются решением задачи:

 

8.2 Решение алгебраических, трансцендентных уравнений с использованием команды Solve подменю Variable меню Symbolics

 

Для решения уравнения вида  следует ввести выражение , выделить в нем следом курсора переменную, относительно которой следует решить уравнение, и выбрать команду Solve подменю Variable меню Symbolics.

Для решения уравнения вида  следует набрать уравнение, используя в качестве знака «равно» знак равенства с панели инструментов Boolean, выделить в нем следом курсора переменную, относительно которой следует решить уравнение, и выбрать команду Solve подменю Variable меню Symbolics.

 

8.2 Решение неравенств

В Mathcad неравенства можно решать только в символьном виде с использованием команды Solve меню Simbolylics или аналогичной директивы символьных преобразований и символьного знака равенства. В неравенство может входить только одна переменная, относительно которой решается неравенство и числовые константы. Другие переменные, заданные любым оператором присваивания, в неравенство входить не могут. Системы неравенств в Mathcad 2000 также решать нельзя.

Для решения неравенства с использованием меню Symbolics необходимо:

1. Записать неравенство, используя знаки операций отношения с панели инструментов Boolean.

2. Выделить следом курсора переменную, относительно которой следует решить неравенство.

3. Выбрать команду Solve подменю Variable меню Symbolics.

Примеры:

Применение директивы solve для решения неравенств аналогично решению уравнений.

Примеры:

В решении неравенства знак умножения означает, что одновременно должны выполняться все условия, являющиеся сомножителями. Если в результатом решения является вектор, то это означает, что неравенство истинно при выполнении любого из условий, являющихся элементом вектора.

 

8.3 Применение функции root

 

Функция root может применяться как для символьного, так и для численного решения уравнений вида .

Для нахождения численного решения следует:

- определить начальное приближение корня, например, по графику функции  приблизительно определить точку пересечения функцией оси абсцисс;

- задать начальное значение переменной ;

- применить функцию root:

 

 root(<выражение>, <имя переменной>)

 

Если уравнение имеет несколько решений, то результат зависит от выбора начального приближения.

Функцию root можно использовать для определения корня, принадлежащего заданному интервалу:

 

root(<выражение 1>, <имя переменной>, a, b)

 

где a и b – координаты начала и конца интервала. В точках x=a и x=b < выражение 1> должно иметь разные знаки.

Для получения символьного решения уравнения следует использовать символьный знак равенства, кроме того, не надо задавать начальное приближение или интервал существования корня.

Пример. Решить уравнение .

 

8.4 Применение функции polyroots для определения корней полинома n-ной степени.

Для поиска всех корней полинома n-ной степени можно использовать функцию

 

polyroots(B)

 

где B- вектор коэффициентов многочлена, составленный по возрастанию степеней полинома и состоящий из n+1 элементов. Для получения вектора коэффициентов многочлена можно использовать символьные преобразования (команда Symbolics\ Polynomial Coefficients или директиву символьных преобразований coeffs):    

 

8.5 Использование функции lsolve для решения систем линейных уравнений

 

Для решения системы линейных уравнений вида , где  - матрица коэффициентов, - вектор корней,  - вектор свободных членов можно использовать функцию lsolve:

 

lsolve(A, B).

 

Например:

 

Другие способы решения системы линейных уравнений:

1. Путем нахождения матрицы, обратной матрице коэффициентов (): .

2. Решение систем линейных и нелинейных уравнений в символьном виде с применением директивы символьных преобразований solve.

3. Использовать блок решения Given Find (minerr) в символьном и численном виде.

 

8.6 Использование директивы символьных преобразований solve для решения систем линейных и нелинейных уравнений

Для получения символьного решения систем линейных или нелинейных уравнений с использованием директивы solve следует сформировать вектор, каждый элемент которого представляет собой одно из уравнений решаемой системы и применить директиву solve следующим образом:

 

Результат получается в виде матрицы, каждая строка которой представляет собой решение системы уравнений. Значения переменных в строках располагаются в порядке записи имен переменных за ключевым словом solve.

 

Пример 1. Решить систему линейных уравнений.
Пример 2. Решить систему нелинейных уравнений в символьном виде
Пример 3. Решить систему нелинейных уравнений в символьном виде, результат представить в форме с плавающей точкой с двумя значащими цифрами. Проиллюстрировать найденное решение графически.

 

8.7 Применение блока решения систем линейных и нелинейных уравнений Given - Find (minerr) (численное решение)

Для решения уравнений или их систем можно использовать специальный вычислительный блок - блок решения.

Структура блока решения для численного определения корней:

1. Задание начальных значений переменных - выполняется путем присваивания искомым переменным соответствующих значений.

<имя переменной 1>:=<значение переменной 1>   

<имя переменной 2>:=<значение переменной 2>   

…

<имя переменной n>:=<значение переменной n>   

Начальные приближения могут быть определены графически., например, для системы из двух уравнений

2. Директива Given

3. Уравнения.

4. Ограничительные условия – задаются в виде неравенств (или равенств, которые должны выполняться для решений системы).

5. Выражение с одной из функций find, minerr в виде:

 

find(<имя перем. 1>,< имя перем 2>, …, < имя перем n>)

minerr(<имя перем. 1>,< имя перем 2>, …, < имя перем n>)

 

или в следующем виде:

<имя вектора решений>:= find(<имя перем. 1>,< имя перем 2>, …, < имя перем n>)

 

или

 

Примеры:

Решить систему линейных уравнений с использованием блока решения.	Дополнительно к предыдущему заданию сформировать вектор решения.	Решить систему нелинейных уравнений с использованием блока решения. Сформировать вектор решения.

 

Найти решение системы нелинейных уравнений численными методами. Проиллюстрировать найденное решение графически.	Найти численное решение системы уравнений ,  удовлетворяющее дополнительному условию .

 

В этом примере получаем тот же результат, применив функцию Minerr. В примере при задании исходной системы уравнений используются функции пользователя.

 

Блок решения может применяться и для решения одного уравнения:

   

 

8.8Применение блока решения для определения корней систем линейных и нелинейных уравнений в символьном виде

 

При использовании блока решения для определения корней систем уравнений в символьном виде в отличие от численного решения: 1. Не задаются начальные приближения. 2. Используется символьный знак равенства (см. примеры).

 

Пример. Решить систему уравнений . Результат проиллюстрировать графически Функция find (minerr) возвращает корни в виде матрицы, каждый столбец которой –решение системы. Значения переменных располагаются в столбце в порядке следования аргументов при вызове функции find или minerr. Матрица корней, формируемая директивой solve представляет собой транспонированную матрицу корней, возвращаемую функциями find и minerr.

 

Чем отличаются функции find и minerr?

Функция find применяется для численного решения систем уравнений в случае, когда решение существует. Если точное решение отсутствует, то при попытке применения этой функции выдается сообщение об ошибке.

Функция minerr применяется для максимального приближения даже к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратичной погрешности решения.

Примеры:

Перевод строки при вводе выражений       

Для перевода строки следует выделить следом курсора введенную часть выражения, затем нажать Ctrl+Enter. В результате в конце предыдущей строки появляется многоточие, а на следующей строке появляется продолжение со знаком плюс:

    

  

 

ЛЕКЦИЯ 9

ПРОГРАММИРОВАНИЕ В MATHCAD

 

9.1 Программный блок

 

Mathcad позволяет создавать программные блоки и использовать такие программные блоки при определении функций.

Программным блоком называется группа операторов, объединенная вертикальной чертой:

Каждый оператор в программном блоке располагается в отдельной строке.

Для формирования программного блока и ввода операторов служит панель инструментов Programming (рис. 9.1).

 

Рисунок 9.1 – Панель инструментов Programming

 

Кнопка Add Line предназначена для добавления строки программного блока. Операция присваивания вводится с помощью кнопки .

Программный блок можно использовать для:

- выполнения расчетов
- присваивания значений переменным и матрицам
- в качестве определяющего выражения при определении функций пользователя

Программный блок возвращает значение переменной, выражения или матрицы, записанные в последней строке программного блока; значение переменной, которой в последней строке программного блока присвоено значение, например:

Программный блок может возвращать вектор или матрицу, содержащие вложенные массивы (вложенный массив – массив, являющийся элементом другого массива). В примере функция возвращает вектор, первым элементом которого является сформированная единичная матрица, а вторым – ее порядок:

Для вывода на экран вложенных массивов в диалоговом окне Result Format (вкладка Display Options), которое вызывается командой Result меню Format, необходимо установить опцию Expand nested arrays. В этом случае результат предыдущего примера примет вид:

.

Все переменные документа Mathcad (как локальные, так и глобальные) по отношению к программному блоку являются глобальными, т.е. их можно использовать в программном блоке. Например:

Переменные, которым присвоено значение в программном блоке, являются локальными переменными этого блока, вне него они не определены. Если в программном блоке используется локальная переменная с тем же именем, что и глобальная, локальная переменная «скрывает» глобальную. Например:

.

В программном блоке можно использовать:

- операторы дифференцирования, интегрирования, вычисления сумм, произведений;

- операторы определения пределов (в этом случае используется символьный знак равенства);

-  директивы символьных преобразований (как и при вычислении пределов, при вызове такой функции должен использоваться символьный знак равенства):

.

Функции могут вызывать самих себя (рекурсия) или другие функции.

 

9.2 О ператоры панели инструментов Programming

 

Условный оператор

<оператор 1> if  < (выражение В1)> <оператор 2>
if  <(выражение В1)> <программный блок 1> <оператор 2>

Оператор 1 (программный блок 1) выполняется только в том случае, если выражение В1 принимает ненулевое значение (истина).