Последовательность изучения арифметических действий в начальной школе

 

Традиционно арифметические действия изучаются в последовательности: сложение и вычитание, умножение, деление (нацело) и деление с остатком. Этот порядок прослеживается во многих учебниках математики для начальной школы. Однако существуют другие подходы к последовательности изучения действий.

В истории российского начального образования действия сложения и вычитания долгое время вводились и изучались последовательно, со значительным разрывом во времени. Затем стало признанным мнение, что длительная работа с одним арифметическим действием затрудняет усвоение обоих действий, так как у учащихся успевает выработаться определенный стереотип, который затем нужно разрушать. Одновременное или последовательное на следующих друг за другом уроках введение сложения и вычитания создает условия для сопоставления действий, что способствует лучшему усвоению смыслов. Поэтому с середины XX в. действия сложения и вычитания в российской школе рекомендовалось изучать одновременно и вводить на одном или на последовательно следующих друг за другом уроках [6].

Относительно последовательности введения умножения и деления разногласий нет. Умножение обычно вводится несколько раньше деления. Деление начинают изучать после того, как учащиеся усвоят смыслы умножения. Иногда после введения умножения изучают табличное умножение и лишь потом деление. Но чаще табличное деление рассматривают одновременно с табличным умножением на одних и тех же или последовательных уроках после введения деления.

Разные точки зрения существуют относительно последовательности изучения деления нацело и деления с остатком. Согласно одной из них вначале вводится деление нацело, его смыслы, табличные случаи деления. После их усвоения вводится деление с остатком как особое действие, со своими смыслами, свойствами, алгоритмами на основе табличного деления нацело. Затем рассматриваются основные внетабличные приемы деления нацело и деления с остатком и письменное деление как деление с остатком, частным случаем которого является деление нацело — с остатком 0.

Согласно другой точке зрения деление нацело и деление с остатком могут вводиться как обозначение деления группы предметов, предметов на равные по заданному основанию части (в соответствии с теоретико-множественными и величинными смыслами действия деления) одновременно или на серии последовательных уроков. Результатом такого введения будет способность учащихся обозначать предметные действия деления по содержанию и на равные части записями вида 12: 3, 13:3, 12:3 = 4, 13: 3 — 4 (ост. 1) и, наоборот, по записи выполнять предметные действия или делать рисунки.

После освоения предметных смыслов деления, которые одинаковы для деления нацело и деления с остатком, переходят к обсуждению вопроса, как находить результаты деления без предметных действий. Ответ ищут, установив связь деления с умножением вначале для деления нацело и сосредоточив внимание на табличных случаях, свойствах деления нацело, свойствах таблицы умножения/деления. К случаям деления с остатком обращаются в этот период попутно, закрепляя его понимание, предоставляя учащимся возможность находить частное и остаток на основе интуитивного понимания связи деления нацело и деления с остатком. После освоения табличного умножения и деления рассматривают особенности, свойства, способы и алгоритмы деления с остатком.

Обоснованием последней точки зрения служит то, что наличие или отсутствие остатка не меняет ход практического деления. Например, разделим 12 и 13 кубиков на равные части по 3 кубика в каждой. Действуем в обоих случаях одинаково: берем 3 кубика и откладываем в сторону. Это действие повторяем, пока можно взять 3 кубика. Обозначается: 12: 3 и 13:3. Как только кубиков не останется или оста­нется меньше трех, считаем получившиеся части. Их число и будет частным. В обоих случаях образовалось 4 равные части по 3 кубика в каждой — частным будет число 4. В случае с 12 кубиками «неподеленных» кубиков не останется, а при делении 13 кубиков по 3 неподеленным останется 1 кубик. Получаем: 12:3 = 4, 13:3 = 4 (ост. 1).

Будем делить 12 и 13 кубиков на 3 равные части. Берем столько кубиков, сколько требуется равных частей, и раскладываем по одно­му. Затем вновь берем столько предметов, сколько частей, и раскла­дываем по одному к уже разложенным. Действуем так, пока не оста­нется ни одного кубика или останется меньше, чем требуемое число частей. В обоих случаях частное 4 (в каждой из трех равных частей по 4 кубика). При делении 12:3 остатка нет, при делении 13:3 оста­ток 1. Запись: 12: 3 = 4 и 13:3 = 4 (ост. 1).

В предметной деятельности, начиная процесс деления, чаще всего не знают, будет ли остаток. В детском опыте ситуаций практического деления много. Дети делят игрушки, конфеты, делятся на команды в играх и многое другое. Деление нацело получается далеко не всегда. Вводя только деление нацело, приходится ограждать детей от ситуаций, когда нацело разделить невозможно. И если период встреч только с делением нацело длительный, то у детей вырабатывается стереотип: при делении чисел всегда получается одно число частное. Это затрудняет понимание деления с остатком. Отчасти поэтому деление с остатком считается трудным действием, а текстовые задачи, при решении которых оно может быть использовано, либо не рас­сматриваются (за исключением простых задач при введении деления с остатком), либо их относят к задачам повышенной трудности [7].

Исходя из проведенных рассуждений, последовательность изучения умножения и деления может выглядеть так:

• введение умножения, освоение его смыслов;

• введение деления нацело и с остатком, освоение смыслов деления;

 • табличное умножение и деление (нацело);

 • устные вычислительные алгоритмы деления с остатком, основанные на табличном делении;

 • алгоритмы внетабличного (устного) умножения и деления, в том числе деления с остатком;

• алгоритмы письменного умножения;

 • алгоритмы письменного деления как алгоритмы деления с остатком, частным случа­ем которого является деление с нулевым остатком — деление нацело; умножение и деление с помощью калькулятора.

Изучение каждого арифметического действия можно представить по этапам:

подготовка к введению арифметического действия или действий;

 введение действия (действий), мотивация к изучению, планирование работы по изучению арифметического действия (или действий), формирование смыслов изучаемого действия;

 изучение свойств арифметических действий;

 изучение алгоритмов выполне­ния действий и формирование вычислительных умений и навыков.

Первый этап (подготовка к введению арифметического дей­ствия или действий). Необходимо создать предметно-деятельностную основу арифметических действий, которая реализуется в действиях с группами предметов (теоретико-множественный подход) и с предме­тами по заданной величине (величинный подход), в «прошагивании» по ряду чисел, включающему число 0 и натуральный ряд (порядковый подход). Здесь необходимо уточнение, углубление представлений о чис­ле, актуализация способов предметных действий, решение с их помо­щью текстовых задач, соответствующих арифметическому действию.

Второй этап (введение арифметического действия (или дей­ствий) и формирование смыслов изучаемого действия). Основными задачами уроков на данном этапе являются: создание положительной мотивации к изучению действия, выделение, выполнение и обозна­чение новым действием предметных действий, лежащих в основе вводимого арифметического действия; овладение учащимися терми­нами и способами символьного обозначения и словесного описания действия; включение нового арифметического действия в систему имеющихся числовых представлений.

Положительные мотивы к изучению действия могут быть сформи­рованы через эмоциональное проживание детьми арифметического действия как краткого и быстрого способа сохранения и передачи ин­формации о действии с предметами, средства обогащения письменной речи, расширения возможностей общения, средства моделирования задачных ситуаций, получения новой информации. Предметом интереса детей можно и должно сделать свойства действий, особенности пове­дения отдельных чисел по отношению к арифметическим действиям, необычные способы вычислений, числовые последовательности, по­строенные на закономерностях, выражаемых на языке арифметических действий. Это возможно через раскрытие смыслов арифметических дей­ствий, возможность порождения собственных, личностных смыслов [7].

Напомним: арифметические действия это математические операции на числовом множестве (в начальной школе на множестве целых неотрицательных чисел). Операция — соответствие между множеством пар чисел из числового множества и элементами это­го же множества. Соответствие может быть задано перечислением и характеристическим свойством. Такие свойства закладываются в определение действия. В записи это обозначается знаком действия. В записях 3 + 4, 17 - 9, 25 • 7, 12:6, 17: 5 операции заданы, так как ука­заны конкретные пары чисел, а знак указывает на способ получения соответствующего числа. В равенствах 3 + 4 = 7, 17 - 9 = 8, 25 • 7 = 175, 12:6 = 2, 17: 5 = 3 (ост. 2) соответствующее число (числа) задано не только характеристическим свойством, но и перечислением.

Третий этап (свойства арифметических действий). Свойства могут быть открыты учащимися в процессе учебно-исследователь­ской деятельности, организованной учителем. Важно, чтобы каждое свойство явилось решением принятой учащимися проблемы, отве­том на вопрос, который возник у них. Это может быть в случае, когда с первых дней обучать детей замечать и выявлять сходство и различия между любыми объектами, в том числе между действиями с предме­тами, между их записями.

Основные вопросы, которые приводят к открытию свойств ариф­метических действий, это вопросы о возможности замены одних вы­ражений, а значит и последовательности арифметических действий, другими, содержащими те же числа и имеющими такое же числовое значение, что и исходное выражение, но другие действия или другую последовательность действий.

Перечень свойств арифметических действий (на множестве натуральных чисел и нуля) может быть таким:

• свойства связи отношений «(непосредственно) следовать за», сложения и вычитания: а + 1 = а' и а’ - 1 = а (если к числу приба­вить 1, то получится следующее за ним число, если вычесть 1, то по­лучится предыдущее число);

• переместительное свойство сложе­ния, умножения: 3 + 4 = 4 +3, а + b = b + a, ab = Ьа;

• сочетатель­ное свойство сложения: {а + Ь) + с = а + (Ь + с), умножения: (ab) с = а(Ьс) или в форме правил прибавления числа к сумме и

к числу, умножения числа на произведение и произведения на чис­ло;

• правила вычитания числа из суммы и суммы из числа’. (7 + + 9) - 5 = = (7 - 5) + 9 = 7 + (9 - 5), 9 - (4 + 3) = 9 - 4 - 3;

• правила деления произведения на число и числа на произведение: (12 • 8):4 = = (12:4) ■ 8 = = 12 • (8; 4), 24: (3 • 4) = (24:3): 4; • правило деления суммы на число: если а: с и b: с (: нацело делится), то {а + b): с - а: с + b: с, (60 + 12): 6 = 60:6 + 12:6;

 • распределительное свойство умножения относительно сложения: (3+4)-5 = 3- 5 + 4-5, 5-(3 + 4) = 5- 3 + 5- 4 или в форме правил умножения суммы на число и числа на сумму: (3 + 4) • 5 = 3 • 5 + 4 • 5, 5 -(3 + 4) = 5- 3 + 5-4; о правило умножения раз­ности на число: (13 - 5) • 2 = 13-2-5-2;

 • свойства, отражающие связь сложения и вычитания, умножения и деления: а + b = с <->с - b = йи с - а - b\ a:b - q *-* а = bq и a:q - b; a:b = q (ост. г), г < Ъ «-» а = bq + г;

 • зависимости между изменением компонентов и результата действия'. a + b = c(a±d) + b = c±d (если одно слагаемое увеличить (уменьшить) на какое-то число, то и сумма увели­чится (уменьшится) на это же число); а + b = с (а + d) + (b - d) = с (если одно слагаемое увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число, то сумма не изменится); а — b = c<-*(a±d)-(b±d) = c (если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится); ab = с <-> (а: d) • b = с: d; ab = с <-> <-> (а: d)(bd) = (ad)(b:d) = с; a:b = q - ad'.b = cd;

 • свойства деле­ния с остатком, деление с остатком выполнимо для любых чисел (кроме деления на нуль); остаток меньше делителя; делимое равно сумме произведения частного на делитель и остатка.

Если присмотреться к равенствам, выражающим свойства арифмети­ческих действий, то обнаруживается, что есть много общего в свойствах сложения и умножения, деления и вычитания. Здесь проявляется «принцип двойственности..., заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путем замены входящих в него понятий на другие, так называемые двойственные им понятия».

Принцип двойственности — одна из важных содержательных идей математики, которая значительно расширяет возможности познания. Идея двойственности обнаруживается детьми, если изучение нового действия, свойств этого действия учитель будет организовывать на основе уже изученных действий, побуждая детей к прогнозированию свойств, проверке прогнозов, например, с помощью простых вопросов и заданий о сходстве и различии: «Чем похоже вычитание на сложение? Чем отличается?»,...

 «Чем похоже деление на другие арифметические действия, которые ты знаешь? Чем похоже деление на вычитание? Чем деление отличается от вычитания?», «Вы знаете, что сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами.

Вывод по 1 главе:

В теоретической части исследования нами были рассмотрены вопросы, посвященные понятию «внимания», его видам, особенностям внимания у младших школьников и способам развития внимания у них.

Было установлено, что к понятию «внимание» относится избирательная направленность восприятия на тот или иной объект. К свойствам внимания относятся: концентрация, устойчивость, распределение, объём, переключение.

В связи с тем, что проблемой исследования является недостаточная концентрация внимания у младших школьников, в теоретической части была выделена характеристика этого свойства внимания, а именно: концентрацию внимания характеризует степень сосредоточенности человека на объекте или отвлечение от всего постороннего, не связанного сданным объектом.

Кроме того, было установлено, что особенностью детей младшего школьного возраста является неустойчивое произвольное внимание. Дети в этом возрасте легко отвлекаются и их внимание чрезмерно эмоционально. Ребенок в этом возрасте еще не умеет владеть своими чувствами, но его непроизвольное внимание сосредоточено, длительно и устойчиво.

Анализ психолого-педагогической литературы по теме исследования показал, что недостатки свойств внимания не могут быть устранены фрагментарно включаемыми «упражнениями на внимание» в процессе занятий с ребенком и требуют, для их преодоления специально организованной работы по следующим направлениям: использование специальных упражнений, тренирующих основные свойства внимания: объем, распределение, концентрацию, устойчивость и переключение; использование упражнений, на основе которых формируется внимательность как свойство личности.