История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2019-08-07 | 282 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Наиболее распространенными неоптимизационными методами расчета частотных НЦФ являются методы взвешивания, частотной выборки и разложения аппроксимируемой функции в тригонометрический ряд Фурье. Все три метода используют взаимосвязь ИХ h (i) НЦФ с частотной характеристикой в виде пары преобразований Фурье (16).
Метод взвешивания
Из соотношений (16) следует, что коэффициенты Фурье – разложения частотной характеристики совпадают со значениями импульсной характеристики цифрового фильтра. Однако использование этих соотношений для проектирования КИХ – фильтров связано с двумя трудностями. Во-первых, ИХ ЦФ имеет бесконечную длину, поскольку суммирование в (8.16) проводится в бесконечных пределах. Во-вторых, получаемый фильтр является физическим нереализуемым, т.к. его ИХ начинается в - и никакой её сдвиг не сделает ЦФ физически реализуемым.
Естественным способом преодоления этих трудностей является усечение бесконечного ряда Фурье в (16) до N членов ( при четном N и при N нечетном). Однако простое усечение ряда приводит к известному явлению Гиббса, связанному с особенностью сходимости рядов Фурье по тригонометрическим и комплексно-экспоненциальным функциям и проявляющемуся в виде выбросов и пульсаций определенного уровня до и после точки разрыва аппроксимируемой частотной характеристики. При аппроксимации ЦФ типа идеальных ФНЧ или ПФ максимальная амплитуда пульсаций частотной характеристики может достигать 9% и не уменьшается с увеличением длины импульсной характеристики, т.е. учет все большего числа членов ряда Фурье не приводит к уменьшению максимальной амплитуды пульсаций, а только сужает частотный диапазон, на котором они проявляются.
|
Усечение ряда Фурье можно рассматривать еще как умножение бесконечной ИХ на весовую дискретную функцию с конечным числом отсчетов, имеющую следующий вид:
(56)
(здесь и далее при рассмотрении весовых функций предполагается, что N – нечетное; очевидно, что несложно получить аналогичные результаты и для четного N). Весовая функция играет роль своеобразного окна, поэтому её называют еще оконной функцией или просто окном. Окно (56) имеет вид прямоугольника и является прямоугольным окном.
Его частотная характеристика
(57)
имеет лепестковую форму и содержит один главный лепесток шириной и ряд боковых лепестков с затухающей амплитудой и шириной, зависящей от N. Когда N возрастает, ширина лепестков уменьшается, однако площадь под каждым лепестком остается неизменной. Частотная характеристика окна позволяет интерпретировать операцию усечения ряда Фурье в частотной области. Передаточную функцию усеченного фильтра можно получить путем свертки передаточной функции неусеченного фильтра и частотной характеристики окна. Когда частотная точка удалена от места разрыва, вклад обеих частей частотной характеристики окна в интеграл свертки приблизительно одинаков, что приводит к малой погрешности аппроксимации. Вблизи точек разрыва свертка приводит к появлению двух эффектов: во-первых, к появлению погрешности в частотной характеристике ЦФ из-за неравного вклада обеих частей частотной характеристики окна и, во-вторых, к «размыванию» разрыва в пределах некоторой полосы частот конечной ширины.
Ширина этой полосы частот зависит от ширины главного лепестка, а пульсация зависит от амплитуды боковых лепестков. Учитывая форму частотной характеристики (57) прямоугольного окна, можно понять, почему погрешность в полученной частотной характеристике фильтра не зависит от числа N, поскольку она является функцией площади под боковыми лепестками.
|
Таким образом, проведенный качественный анализ показывает, что простое усечение ряда Фурье может не привести к приемлемой аппроксимации частотных характеристик и поэтому может казаться непригодным для проектирования нерекурсивных частотных ЦФ. С другой стороны, оно подсказывает идею управления сходимостью ряда Фурье с помощью других окон, форма которых должна иметь малую ширину главного лепестка частотной характеристики и малую площадь под боковыми лепестками. В идеале в таких окнах большая часть энергии должна содержаться в главном лепестке частотной характеристики, а энергия в боковых лепестках должна быстро уменьшаться при приближении ω к .
К сожалению, эти два требования несовместимы и возможно только их компромиссное выполнение. Тем не менее в ЦОС известны оконные весовые функции, состоящие из главного лепестка, содержащего почти всю энергию окна, и боковых лепестков, которые быстро затухают. К ним относятся окна Ганна, Хэмминга, Кайзера, Блэкмана, Фейера, Долфи-Чебышева, Ланцоша, Каппелини и другие. В качестве примера рассмотрим только окна Ганна и Хэмминга.
Окна Ганна и Хэмминга являются частными случаями более общего окна, называемого еще обобщенным окном Хэмминга. Обобщенное окно имеет следующий вид
(58)
причем параметр лежит в диапазоне . При =0,5 из окна (58) следует окно Ганна, а при =0,54 – окно Хэмминга. Частотную характеристику обобщенного окна Хэмминга можно легко получить, если учесть, что оно может быть представлено в виде произведения прямоугольного окна и окна, определяемого формулой (58), но для всех значений i, т.е.
(59)
где - прямоугольное окно (56). Тогда частотная характеристика обобщенного окна будет равна круговой свертке частотной характеристики прямоугольного окна с последовательностью единичных импульсов
и принимает следующий вид:
(59)
Анализ показывает, что ширина главного лепестка частной характеристики окна Хэмминга в два раза больше, чем для прямоугольного окна, а уровень боковых лепестков значительно ниже, чем у характеристики прямоугольного окна. При =0,54, т.е. для обычного окна Хэмминга, 99,96% общей энергии спектра сдержится в главном лепестке, а максимумы боковых лепестков на 40 дБ ниже главного максимума (для прямоугольного окна максимум боковых лепестков ниже главного максимума всего на 14 дБ). Достигается это тем, что боковые лепестки функции находятся в противофазе с боковыми лепестками , поэтому общий уровень боковых лепестков значительно уменьшается. В то же время пропорционально увеличивается ширина главного лепестка частотной характеристики. Для ФНЧ расширение главного лепесток соответствует расширению полосы безразличия между полосами пропускания и задерживания, тогда как уменьшение уровня боковых лепестков соответствует меньшим пульсациям в полосе пропускания и лучшему подавлению в полосе задерживания фильтра.
|
Методика синтеза НЦФ по методу взвешивания включает в себя следующие три этапа. На первом этапе по заданной частотной характеристике фильтра с помощью прямого преобразования Фурье определяется невзвешенная последовательность значений ИХ ЦФ :
(60)
Когда характеристика имеет сложный вид или не может быть просто преобразована в замкнутое математическое выражение, формула (60) оказывается громоздкой или неудобной для интегрирования. В этом случае можно использовать численное интегрирование либо аппроксимировать интеграл (60) суммой и вычислять приближенную последовательность по формуле
. (61)
По этой формуле значения рассчитываются в М точках .
Поскольку формула (61) является дискретизированным аналогом формулы (60), то
Отсюда следует, что с ростом М различие между и уменьшается, особенно вблизи . Поскольку окно выделяет только N точек , должно выполняться условие .
На втором этапе синтеза формируется взвешенная последовательность путем умножения невзвешенной ИХ на весовую последовательность окна, т.е . За пределами интервала - эта последовательность в точности равна нулю.
На третьем этапе с помощью временного сдвига физически нереализуемая последовательность преобразуется в физически реализуемую
которая и используется в качестве искомой ИХ фильтра.
Пример 22. Рассчитать идеальные ФНЧ с параметрами и методом взвешивания с прямоугольным окном и окном Хэмминга. Вычислить также АЧХ каждого варианта ФНЧ для девяти равноотстоящих значений частоты , начиная с =0 при шаге =0,0625.
|
Решение. Преобразуя уравнение (9.45) к нормированной частоте
принимая
и выбирая для синтеза ФНЧ ЦФ вида 1, после интегрирования, взвешивания и временного сдвига импульсной характеристики получаем
- для прямоугольного окна:
(62)
- для окна Хэмминга:
(63)
Таблица 1
i | Значение ИХ | |
N =11 | N =15 | |
0 1 2 3 4 5 6 7 | -0,0450158 -0,0000000 0,0750264 0,1591549 0,2250791 0,2500000 - - | -0,0321542 -0,0530516 -0,0450158 0,0000000 0,0750264 0,1591549 0,2250791 0,2500000 |
Результаты расчетов импульсных характеристик по этим формулам приведены в табл. 1 и 2 соответственно, причем приведена только первая половина симметричных значений ИХ. Реальную АЧХ вычисляем по общей зависимости (13) с учетом соотношения (17). Её значения, соответствующие ФНЧ с ИХ (9.47) и (9.48), приведены в табл. 3 и 4. Из их сравнения следует более высокая точность синтеза ФНЧ с окном Хэмминга по сравнению с ФНЧ с прямоугольным окном, особенно в полосе задерживания фильтра.
Таблица 2
i | Значение ИХ | |
N =11 | N =15 | |
0 1 2 3 4 5 6 7 | -0,0044401 0,0000000 0,0356026 0,1163567 0,2086430 0,2500000 - - | -0,0028955 -0,0089048 -0,0139549 0,0000000 0,0511791 0,1349316 0,2161279 0,2500000 |
Таблица 3
w | Значение АЧХ A | |
N =11 | N =15 | |
0,0000 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000 | 1,0784891 0,9828473 0,5258686 0,0246200 0,0683099 0,0744619 0,0258686 0,0326891 0,0581306 | 0,9080775 1,1172868 0,4803957 0,0750367 0,0377934 0,0251742 0,0196043 0,0170759 0,0163357 |
Таблица.4
w | Значение АЧХ A | |
N =11 | N =15 | |
0,0000 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000 | 0,9623247 0,8307227 0,5009953 0,1711459 0,0172865 0,0002525 0,0009953 0,0016162 0,0031022 | 1,0029665 0,9079693 0,4989131 0,0938660 0,0020535 0,0006968 0,0010869 0,0011385 0,0011405 |
Метод частотной выборки
Если в (16) использовать не все значения непрерывной частоты w, а только N некоторых выборочных значений , где - постоянный шаг дискретизации по частоте, то пара интегрально-дискретных преобразований Фурье (16) превращается в пару конечных дискретных преобразований Фурье:
(64)
(65)
где - выборочные значения частотной характеристики в точках, кратных . Формулы (56), (65) и определяют метод частотной выборки расчета НЦФ.
При их использовании получаемый НЦФ с некоторой точностью аппроксимирует заданную частотную характеристику. Погрешность аппроксимации возникает из-за ограниченности бесконечного ряда в (16) первыми членами, она точно равна нулю в точках частот взятия выборки и имеет конечную величину в промежуточных точках. Чем более гладкой является задаваемая частотная характеристика, тем меньше погрешность аппроксимации между частотными отсчетами. С увеличением N погрешность аппроксимации так же уменьшается.
|
Для частотных НЦФ с точно линейной фазовой характеристикой можно получить удобные аналитические выражения для , вид которых зависит от способа выбора N равноотстоящих отсчетов частотной характеристики. Существует два способа выбора отсчетных точек, пригодных для расчета НЦФ методом частотной выборки. При первом способе используют отсчеты в точках
(66)
при втором - в точках
(67)
Наличие двух способов дискретизации частоты дает дополнительные возможности при расчете фильтров с заданной частотной характеристикой. Например, если граничная частота полосы фильтра оказывается намного ближе к точке выборки, используемой при втором способе дискретизации частоты, чем при первом, то целесообразно использовать для решения задачи аппроксимации второй способ дискретизации частоты. В противном случае применяют первый способ дискретизации частоты.
Для практического вычисления h (i) НЦФ с точно линейной ФЧХ необходимо, чтобы дискретная АЧХ была четной функцией, а дискретная ФЧХ - нечетной. Этого можно добиться только с помощью фильтров вида 1 и 2. В них целесообразно представить H (k) в показательной форме записи. Для первого способа дискретизации частоты
(68)
причем
(69)
и при четном N
(70)
а при нечетном N
(71)
При втором способе дискретизации частоты
(72)
(73)
и при четном N
(74)
а при нечетном N
(75)
В формулах (68), (69), (73) ‒ (75) есть дискретная АЧХ фильтра или .
Зависимости (66) – (75) позволяют получить более удобные аналитические выражения для расчета импульсных характеристик фильтров методом частотной выборки. Действительно, например, при первом методе дискретизации частоты и четном N, используя в формуле (65) соотношения (68) и (70) для частотной характеристики, получаем
Подстановка во вторую сумму дает
Учитывая свойство (69) АЧХ и то, что
а
после объединения членов в выражении для находим
Потребовав выполнения равенства , окончательно получаем
Для нечетных значений N использование зависимостей (68), (71) и (65) приводит к похожему соотношению для ИХ:
(76)
Аналогичных результатов можно добиться и для второго способа дискретизации частоты, если в ряде (73) использовать частотные характеристики (74) и (75). В этом случае после математических преобразований получаем:
- при четном N
- при нечетном N
Найденные выражения для ИХ фильтра определяют алгоритм его расчета методом частотной выборки. В нем дискретные значения аппроксимируемой функции равны:
- для первого способа дискретизации частоты
- для второго способа дискретизации частоты
Пример 23 9.11. Рассчитать равнополосные ФНЧ с параметрами =0,125, =0,375 при =0,1с и N =11; 15 методом частотной выборки с первым способом дискретизации частоты. Вычислить также АЧХ каждого фильтра с шагом =0,0625.
Решение. Используя в алгоритме (9.61) (9.22), найдем значения ИХ , а
по формуле (8.13) рассчитаем реальную АЧХ фильтров для N =11 и N =15. Результаты расчетов приведены в табл. 9.5 и 9.6, причем в табл. 9.5 представлена только первая половина симметричных значений ИХ.
Таблица 9.5
i | Значение ИХ | |
N=11 | N=15 | |
0 1 2 3 4 5 6 7 | -0,0106270 0,0064917 -0,0319200 0,0018905 0,2862309 0,4958678 - - | 0,0060344 0,0029472 -0,0111111 -0,0028297 -0,0318361 -0,0007230 0,2864073 0,5022222 |
Таблица 9.6
w | Значение АЧХ А (w) | |
N=11 | N=15 | |
0,0000 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000 | 1,0000000 1,0111301 0,9478464 0,7516102 0,5050703 0,2347783 0,0179221 0,0140475 0,0252644 | 1,0000000 0,9992311 0,9821931 0,7602956 0,4921145 0,2545298 0,0335702 0,0051677 0,0020222 |
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!