Добавляем второй сегмент. Для этого повторяем пункты 1 и 2.

Усилия

В различных элементах конструкций машин возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения или сжатия. Например, трос подъемника при подъеме груза растянут, колонны каркаса многоэтажного здания преимущественно сжаты, то элементы форм могут быть растянутыми или сжатыми и т.д.

Итак, осевыми, или центральным растяжением-сжатием называется такой вид нагружения, при котором в его поперечных сечениях возникают продольные усилия N_v, направленные вдоль оси стержня.

Продольная сила N определяется методом сечения, суть которого в следующем. В сечении бруса, где требуется определить продольную силу, мысленно рассекаем стержень на две части: одну часть отбрасываем, а другую менее нагруженную, оставляем. Влияние отброшенной части заменяем продольной силой N, которую определяем из уравнения равновесия, а именно: сумма проекций всех сил, приложенных к оставленной части, на ось X стержня равна 0.

Условимся:

Правило знаков для определения продольной силы N: продольную силу N считать положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению, как показано на рис.1.

 

 

Рис. 1. Правило знаков для N

 

График изменения внутренних усилий продольных сил вдоль оси стержня называется эпюрой сил. Эпюрой внутренних усилий, как правило, строят для того, чтобы наметить опасные сечения, т.е. сечения, в которых существует большая вероятность наступления разрушения из-за того, что там внутренние усилия достигают наибольших значений.

При построении эпюры продольных сил сначала устанавливают границы участков, в пределах которых внутренние усилия изменяются по одной закономерности. Границами таких участков являются сечения, где приложены внешние сосредоточенные силы. Далее, применяя метод сечений и учитывая правила знаков, получают аналитические зависимости изменения внутренних усилий в пределах каждого участка. Затем, используя их, строят графики этих усилий, эпюры. При этом ординаты эпюр внутренних усилий в определенном моменте откладывают от базисной линии, которая проводится параллельно оси стержня. Построенную эпюру принято штриховать линиями, перпендикулярно базисной линии. Кроме того, на эпюрах для характерных ординат обязательно указывают их значения, а в кружочке знак усилия.

Правильность построенной эпюры продольных сил N проверяется скачками. Скачёк на эпюре N будут в тех сечениях стержнях, где приложены внешние сосредоточенные силы, скачки по абсолютной величине равны соответствующим внешним силам.

Напряжение

При осевом растяжении-сжатии в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечениям.

В каждой точке поперечного сечения нормальное напряжение определяется по формуле

,                                            (1)

где N-продольная сила в сечении; A-площадь поперечного сечения.

Знак напряжения определяется знаком продольной силы.

Для нормальной работы стержня, испытывающего сжатия, необходимо выполнять условие прочности. Условие прочности по допускаемым напряжениям при расчетах на растяжение-сжатие имеет вид

                                     (2)

σ_adm – допускаемое напряжение,

σ_оп – опасное напряжение для материала стержня; для пластичных материалов,  - для хрупких материалов, n – коэффициент запаса прочности, . – предел текучести материала,  - предел временного сопротивления материала.

Деформация

Под действием продольных сил в стержне происходит абсолютное удлинение или укорочение участков стержня, а, следовательно, и всего стержня.

Зависимость между нормальными напряжениями и относительными продольными деформациями устанавливается законом Гука

                                          (3)

где Е-модуль продольной упругости материала, (МПа); e - относительная продольная деформация.

; -абсолютное удлинение стержня,  - длина стержня. Тогда абсолютная удлинение стержня на длине l.

                                        (4)

где: ЕА - жесткость стержня при растяжении-сжатии,  - длина участка стержня.

Абсолютное удлинение бруса под действием собственного веса, когда вес бруса равномерно распределен вдоль его оси

                                  (5)

где:  - вес бруса длины l, γ - удельный вес материала.

В результате деформации растяжения или сжатия поперечного сечения стержня вдоль оси перемещений.

Эти перемещения можно выразить непосредственно через абсолютную деформацию соответствующих силовых участков и при необходимости построить эпюру перемещений.

Примеры решения задач на растяжение-сжатие

Системы, в которых при заданных внешних нагрузках реакции и внутренние усилия могут быть определены с помощью уравнений равновесия называются статически определимыми системами.

В инженерной практике часто встречаются системы, в которых число наложенных связей больше числа уравнения равновесия. В этих системах невозможно определить как усилия в связях, так и внутренние усилия, используя уравнения равновесия. Такие системы называются статически неопределенными. Они должны быть геометрически неизменяемыми. Статической неопределенностью называется разность между количеством связей и числом уравнения равновесий, которые можно составить для данной системы.

Неизвестные усилия в статически неопределенных системах могут быть определены, если условия равновесия дополнить условиями, характеризирующими деформацию данной системы. Число этих дополнительных условий (уравнений) равно степени статической неопределенности системы. Эти дополнительные уравнения называются уравнениями совместности деформаций, или уравнениями перемещений.

Пример 1: Для бруса (рис. 2) построить эпюры продольных сил N,  напряжений σ, перемещений U: материал-сталь Е=2×10⁵МПа.

Дано: F =20kH; F =50kH; F =60kH.

Рис. 2. Брус, поверженный усилиям растяжения-сжатия

Решение

Определение реакций.

Задача статически определена, т.к. для определения неизвестной реакции R достаточно одного уравнения равновесия.

Определение усилий.

Разобьем брус на три силовых участка. Границами участков будут сечения, в которых приложены сосредоточенные силы.

Применяя метод сечений на каждом участке, определим значения продольных сил.

Проведем сечение I – I, действие отброшенной правой части заменим усилием N которое целесообразно показывать растягивающим (правильный знак усилия получается автоматически).

Составляем уравнение равновесия оставленной части:

Полученный знак минус силы N, указывает на то, что N, будет сжимающей, а не растягивающей силой как мы предположили в начале. Из решения видно, что N, постоянная в пределах первого участка.

Для определения продольной силы на втором участке проведем сечения и снова рассмотрим равновесие левой части, считая, что сила N будет растягивающей. Составим уравнение равновесия для левой части стержня:

Знак плюс указывает на то, что сила N растягивающая.

При определении продольной силы на третьем участке проведем сечение III-III и рассмотрим равновесие правой части.

Откладываем полученные значения продольных сил от базовой линии в выбранном масштабе и построим эпюр продольных сил. Растягивающую продольную силу отложим вверх, сжимающую вниз.

Правильность построенной эпюры продольных сил N проверяются по скачкам. Скачки на эпюре N будут в тех сечениях бруса, где приложены внешние сосредоточенные силы; скачки по абсолютной величине равны соответствующим внешним силам.

Напряжение.

В сечениях первого участка I – I.

Второй участок II – II.

Третий участок III – III.

По результатам расчета в масштабе строим эпюр σ.

Перемещения.

Для построения эпюры перемещений найдем перемещения характерных сечений.

Сечения 0-0 (рис. 3) защемлено (жесткая заделка), поэтому перемещение этого сечения равно 0. Перемещение сечения а-а равно абсолютной деформации длины стержня, лежащей между этим сечением и защемляется.

По результатам строим эпюры N, Q, U (рис. 3).

 

Рис.3. Эпюры усилий, напряжений и перемещений соответственно.

Пример 2.

Стальной стержень (рис. 4) находится под действием силы F и собственного веса (γ=78кН/м³).

Найти перемещения сечения 1-1,если F=40кН, а=1м, в=0.8м, с=0.6 м, А=10 см².

Рис.4. Стержень под действием сил растяжения и собственного веса.

Сечения I-I переместится за счет деформаций участков длиной а и в.

Участок стержня длиной a удлиняется от действия силы F, веса частей в, с и собственного веса.

,

где:  - вес частей в, с, а соответственно.

После подстановки имеем.

Участок в удлинится за счет веса части с и в собственного веса.

 

Тогда перемещение сечения 1-1 окончательно:

 

Пример 3.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис. 5). Дано с=1м. А=10см. в=2м. а=2.5м.

Требуется:

· найти усилие и напряжение в стержнях, выразив их через силу Q.

· найти допускаемою нагрузку Q_adm, приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению σ_adm=160 МПа.

· найти предельную грузоподъемность системы  , и допускаемую нагрузку , если придел текучести σ_у=240 МПа и запас прочности n=1,5.

· сравнить величины Q_adm, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.

Решение

Реакции в шарнирах Д и Е направлены вдоль стержней 1 и 2, реакция опоры А имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Таким образом, имеет четыре неизвестных силы и три уравнения равновесия, то есть данная система один раз статически неопределима. Для решения данной задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение перемещений.

Для определения внутренних (продольных сил) используем метод сечений (рис.6).

Рис. 5. Исходная схема задачи.

Рис. 6. Расчетная схема задачи.

Определение реакций опоры А (x_а, y_а) по заданию не требуется, поэтому из трёх возможных уравнений равновесия достаточно использовать одно, в которое не входила бы реакция опоры А. Таким уравнением является уравнение моментов:

Для составления уравнения перемещений рассмотрим систему после деформации (рис. 7).

Рис. 7. Деформированная конструкция.

Уравнение перемещений составляем из условия, что после удлинения стержней их нижние концы должны располагаться на прямой, так как они связаны с жесткой балкой

- абсолютные удлинения стержней 1 и 2 соответственно. Из подобия треугольников  и , следует

 

При А₁=А; А₂=2А

 

После подстановки (2) в (3) имеем

Решив совместно (1) и (4) получим

 

Определение допускаемой нагрузки F_adm из условия прочности  

Напряжения:

 

 Допускаемая нагрузка.

Подставив  и удерживая знак равенства получим .

    Определение предельной грузоподъемности системы Q_y. Система утратит свою грузоподъемность, когда напряжение в обоих стержнях станут равными пределу текучести материала σ_y. В этом случае усилия в стернях известны и равны , и система станет как бы статически определимой. Найдем предельную грузоподъемность из уравнения равновесия (1).

 

 

Допускаемая нагрузка

 

    Сравнение величин показывает что, т.е. расчет по разделяющим нагрузкам более прогрессивен, чем расчет по допускаемым напряжениям, т.к. при последним материал (используется) рационально.

 

Пример расчёта балки на растяжение сжатие в программном комплексе «APM WinMachine», модуль «АPМ Beam»

 

Сечение 1 – квадрат 50×50 мм, сечение 2 – круг диаметром 20 мм.

Запускаем модуль.

1. В поле листа вставляем новый сегмент.

 

 

2. в появившемся окошке задаём сечение, если необходимо.

 

 

Откроется редактор сечений. Создаём необходимое сечение по заданным размерам.

 

Определяем внешние и внутренние очертания сечения нажав на иконку .

Далее выбираем нужную кривую и подтверждаем выбор иконкой  

Сечение передастся в расчётный модуль.

 

Можно посмотреть параметры полученного сечения.

 

 

Вводим необходимую длину сегмента.

И подтверждаем свой выбор.

 

Полученное изображение в графическом окне.

График осевых сил.

График осевого перемещения.

График напряжений.

Усилия

В различных элементах конструкций машин возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения или сжатия. Например, трос подъемника при подъеме груза растянут, колонны каркаса многоэтажного здания преимущественно сжаты, то элементы форм могут быть растянутыми или сжатыми и т.д.

Итак, осевыми, или центральным растяжением-сжатием называется такой вид нагружения, при котором в его поперечных сечениях возникают продольные усилия N_v, направленные вдоль оси стержня.

Продольная сила N определяется методом сечения, суть которого в следующем. В сечении бруса, где требуется определить продольную силу, мысленно рассекаем стержень на две части: одну часть отбрасываем, а другую менее нагруженную, оставляем. Влияние отброшенной части заменяем продольной силой N, которую определяем из уравнения равновесия, а именно: сумма проекций всех сил, приложенных к оставленной части, на ось X стержня равна 0.

Условимся:

Правило знаков для определения продольной силы N: продольную силу N считать положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлена к сечению, как показано на рис.1.

 

 

Рис. 1. Правило знаков для N

 

График изменения внутренних усилий продольных сил вдоль оси стержня называется эпюрой сил. Эпюрой внутренних усилий, как правило, строят для того, чтобы наметить опасные сечения, т.е. сечения, в которых существует большая вероятность наступления разрушения из-за того, что там внутренние усилия достигают наибольших значений.

При построении эпюры продольных сил сначала устанавливают границы участков, в пределах которых внутренние усилия изменяются по одной закономерности. Границами таких участков являются сечения, где приложены внешние сосредоточенные силы. Далее, применяя метод сечений и учитывая правила знаков, получают аналитические зависимости изменения внутренних усилий в пределах каждого участка. Затем, используя их, строят графики этих усилий, эпюры. При этом ординаты эпюр внутренних усилий в определенном моменте откладывают от базисной линии, которая проводится параллельно оси стержня. Построенную эпюру принято штриховать линиями, перпендикулярно базисной линии. Кроме того, на эпюрах для характерных ординат обязательно указывают их значения, а в кружочке знак усилия.

Правильность построенной эпюры продольных сил N проверяется скачками. Скачёк на эпюре N будут в тех сечениях стержнях, где приложены внешние сосредоточенные силы, скачки по абсолютной величине равны соответствующим внешним силам.

Напряжение

При осевом растяжении-сжатии в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечениям.

В каждой точке поперечного сечения нормальное напряжение определяется по формуле

,                                            (1)

где N-продольная сила в сечении; A-площадь поперечного сечения.

Знак напряжения определяется знаком продольной силы.

Для нормальной работы стержня, испытывающего сжатия, необходимо выполнять условие прочности. Условие прочности по допускаемым напряжениям при расчетах на растяжение-сжатие имеет вид

                                     (2)

σ_adm – допускаемое напряжение,

σ_оп – опасное напряжение для материала стержня; для пластичных материалов,  - для хрупких материалов, n – коэффициент запаса прочности, . – предел текучести материала,  - предел временного сопротивления материала.

Деформация

Под действием продольных сил в стержне происходит абсолютное удлинение или укорочение участков стержня, а, следовательно, и всего стержня.

Зависимость между нормальными напряжениями и относительными продольными деформациями устанавливается законом Гука

                                          (3)

где Е-модуль продольной упругости материала, (МПа); e - относительная продольная деформация.

; -абсолютное удлинение стержня,  - длина стержня. Тогда абсолютная удлинение стержня на длине l.

                                        (4)

где: ЕА - жесткость стержня при растяжении-сжатии,  - длина участка стержня.

Абсолютное удлинение бруса под действием собственного веса, когда вес бруса равномерно распределен вдоль его оси

                                  (5)

где:  - вес бруса длины l, γ - удельный вес материала.

В результате деформации растяжения или сжатия поперечного сечения стержня вдоль оси перемещений.

Эти перемещения можно выразить непосредственно через абсолютную деформацию соответствующих силовых участков и при необходимости построить эпюру перемещений.

Примеры решения задач на растяжение-сжатие

Системы, в которых при заданных внешних нагрузках реакции и внутренние усилия могут быть определены с помощью уравнений равновесия называются статически определимыми системами.

В инженерной практике часто встречаются системы, в которых число наложенных связей больше числа уравнения равновесия. В этих системах невозможно определить как усилия в связях, так и внутренние усилия, используя уравнения равновесия. Такие системы называются статически неопределенными. Они должны быть геометрически неизменяемыми. Статической неопределенностью называется разность между количеством связей и числом уравнения равновесий, которые можно составить для данной системы.

Неизвестные усилия в статически неопределенных системах могут быть определены, если условия равновесия дополнить условиями, характеризирующими деформацию данной системы. Число этих дополнительных условий (уравнений) равно степени статической неопределенности системы. Эти дополнительные уравнения называются уравнениями совместности деформаций, или уравнениями перемещений.

Пример 1: Для бруса (рис. 2) построить эпюры продольных сил N,  напряжений σ, перемещений U: материал-сталь Е=2×10⁵МПа.

Дано: F =20kH; F =50kH; F =60kH.

Рис. 2. Брус, поверженный усилиям растяжения-сжатия

Решение

Определение реакций.

Задача статически определена, т.к. для определения неизвестной реакции R достаточно одного уравнения равновесия.

Определение усилий.

Разобьем брус на три силовых участка. Границами участков будут сечения, в которых приложены сосредоточенные силы.

Применяя метод сечений на каждом участке, определим значения продольных сил.

Проведем сечение I – I, действие отброшенной правой части заменим усилием N которое целесообразно показывать растягивающим (правильный знак усилия получается автоматически).

Составляем уравнение равновесия оставленной части:

Полученный знак минус силы N, указывает на то, что N, будет сжимающей, а не растягивающей силой как мы предположили в начале. Из решения видно, что N, постоянная в пределах первого участка.

Для определения продольной силы на втором участке проведем сечения и снова рассмотрим равновесие левой части, считая, что сила N будет растягивающей. Составим уравнение равновесия для левой части стержня:

Знак плюс указывает на то, что сила N растягивающая.

При определении продольной силы на третьем участке проведем сечение III-III и рассмотрим равновесие правой части.

Откладываем полученные значения продольных сил от базовой линии в выбранном масштабе и построим эпюр продольных сил. Растягивающую продольную силу отложим вверх, сжимающую вниз.

Правильность построенной эпюры продольных сил N проверяются по скачкам. Скачки на эпюре N будут в тех сечениях бруса, где приложены внешние сосредоточенные силы; скачки по абсолютной величине равны соответствующим внешним силам.

Напряжение.

В сечениях первого участка I – I.

Второй участок II – II.

Третий участок III – III.

По результатам расчета в масштабе строим эпюр σ.

Перемещения.

Для построения эпюры перемещений найдем перемещения характерных сечений.

Сечения 0-0 (рис. 3) защемлено (жесткая заделка), поэтому перемещение этого сечения равно 0. Перемещение сечения а-а равно абсолютной деформации длины стержня, лежащей между этим сечением и защемляется.

По результатам строим эпюры N, Q, U (рис. 3).

 

Рис.3. Эпюры усилий, напряжений и перемещений соответственно.

Пример 2.

Стальной стержень (рис. 4) находится под действием силы F и собственного веса (γ=78кН/м³).

Найти перемещения сечения 1-1,если F=40кН, а=1м, в=0.8м, с=0.6 м, А=10 см².

Рис.4. Стержень под действием сил растяжения и собственного веса.

Сечения I-I переместится за счет деформаций участков длиной а и в.

Участок стержня длиной a удлиняется от действия силы F, веса частей в, с и собственного веса.

,

где:  - вес частей в, с, а соответственно.

После подстановки имеем.

Участок в удлинится за счет веса части с и в собственного веса.

 

Тогда перемещение сечения 1-1 окончательно:

 

Пример 3.

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис. 5). Дано с=1м. А=10см. в=2м. а=2.5м.

Требуется:

· найти усилие и напряжение в стержнях, выразив их через силу Q.

· найти допускаемою нагрузку Q_adm, приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению σ_adm=160 МПа.

· найти предельную грузоподъемность системы  , и допускаемую нагрузку , если придел текучести σ_у=240 МПа и запас прочности n=1,5.

· сравнить величины Q_adm, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.

Решение

Реакции в шарнирах Д и Е направлены вдоль стержней 1 и 2, реакция опоры А имеет горизонтальную и вертикальную составляющие. Таким образом, имеет четыре неизвестных силы и три уравнения равновесия, то есть данная система один раз статически неопределима. Для решения данной задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение перемещений.

Для определения внутренних (продольных сил) используем метод сечений (рис.6).

Рис. 5. Исходная схема задачи.

Рис. 6. Расчетная схема задачи.

Определение реакций опоры А (x_а, y_а) по заданию не требуется, поэтому из трёх возможных уравнений равновесия достаточно использовать одно, в которое не входила бы реакция опоры А. Таким уравнением является уравнение моментов:

Для составления уравнения перемещений рассмотрим систему после деформации (рис. 7).

Рис. 7. Деформированная конструкция.

Уравнение перемещений составляем из условия, что после удлинения стержней их нижние концы должны располагаться на прямой, так как они связаны с жесткой балкой

- абсолютные удлинения стержней 1 и 2 соответственно. Из подобия треугольников  и , следует

 

При А₁=А; А₂=2А

 

После подстановки (2) в (3) имеем

Решив совместно (1) и (4) получим

 

Определение допускаемой нагрузки F_adm из условия прочности  

Напряжения:

 

 Допускаемая нагрузка.

Подставив  и удерживая знак равенства получим .

    Определение предельной грузоподъемности системы Q_y. Система утратит свою грузоподъемность, когда напряжение в обоих стержнях станут равными пределу текучести материала σ_y. В этом случае усилия в стернях известны и равны , и система станет как бы статически определимой. Найдем предельную грузоподъемность из уравнения равновесия (1).

 

 

Допускаемая нагрузка

 

    Сравнение величин показывает что, т.е. расчет по разделяющим нагрузкам более прогрессивен, чем расчет по допускаемым напряжениям, т.к. при последним материал (используется) рационально.

 

Пример расчёта балки на растяжение сжатие в программном комплексе «APM WinMachine», модуль «АPМ Beam»

 

Сечение 1 – квадрат 50×50 мм, сечение 2 – круг диаметром 20 мм.

Запускаем модуль.

1. В поле листа вставляем новый сегмент.

 

 

2. в появившемся окошке задаём сечение, если необходимо.

 

 

Откроется редактор сечений. Создаём необходимое сечение по заданным размерам.

 

Определяем внешние и внутренние очертания сечения нажав на иконку .

Далее выбираем нужную кривую и подтверждаем выбор иконкой  

Сечение передастся в расчётный модуль.

 

Можно посмотреть параметры полученного сечения.

 

 

Вводим необходимую длину сегмента.

И подтверждаем свой выбор.

 

Полученное изображение в графическом окне.

Добавляем второй сегмент. Для этого повторяем пункты 1 и 2.

Задаём опору нажав на иконку  и задаём силы, действующие на балку, с помощью иконки .

 

В появившемся окошке в верхней строчке вводим расстояния, на котором приложена сила, считая от опоры в мм; во второй строчке – значение силы в ньютонах, знаками «+» и «–» можно менять направление сил; в третьем – название и в четвёртой – индекс.

После подтверждения введённых данных сила появится в расчётной схеме.

 

Проделаем те же шаги для остальных двух сил.