Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-05-18 | 502 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть проводится серия из n испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p, независимо от номера испытания и результата предыдущего опыта. Такие серии опытов называются последовательностью независимых испытаний или схемой Бернулли. В связи со схемой Бернулли рассматриваются такие задачи: 1) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит ровно k раз: ; 2) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит не менее чем раз и не более, чем раза:
Указанные вероятности находят по формуле Бернулли:
Если число n велико, а p не слишком мало, то для вычисления вероятности можно воспользоваться приближенными (асимптотическими) формулами Муавра-Лапласа (локальная теорема Муавра-Лапласа; интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Локальная теорема Муавра – Лапласа:
, где и
Интегральная теорема Муавра – Лапласа:
, где
Функции j(´) и Ф(х) табулированы, то есть таблицы значений этих функций приведены в каждом учебнике по теории вероятностей. Можно указать некоторые свойства этих функций: j(-x)=j(x); Ф(-х)=-Ф(х); Ф(0)=0; Ф(х) ® 0,5 при х ® ¥.
Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности появления k раз события А в серии из n испытаний можно воспользоваться формулой Пуассона
, где l=n×p.
Число успехов, при котором достигается наибольшая из возможных вероятностей, называется наивероятнейшим числом успехов. Оно определяется как целое число на промежутке np – q £ m £ np+p.
Пример 1. По некоторой цели произведено четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при четырех выстрелах было ровно одно попадание, и определить наивероятнейшее число попаданий.
|
Решение. Вероятность попадания при одном выстреле равна p=0,6, а вероятность промаха q = 1-p =0,4.Вероятность того, что будет ровно одно попадание находим по формуле
.
Наивероятнейшее число попаданий
,
.
Таким образом, имеется два наивероятнейших числа 2 или 3.
Пример 2. Вероятность наступления события А в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие А наступит: а) ровно 1100 раз; б) от 1100 до 1200 раз.
Решение. Р(А) = p = 0,7 - вероятность появления события А при одном испытании. Р(А) = q =1 – 0,7 = 0,3 – вероятность непоявления события А при одном испытании.
а) Воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа
, где и .
По условию n= 1600, k= 1100.
По таблице ([5], приложение 1) j(-1,9)=j(1,9)=0,223.
б) Воспользуемся интегральной формулой Лапласа
, где ;
.
По таблице ([5], приложение 2) Ф(4,36)» 0,5, Ф(-1,09)= - 0,3621.
Теоретические вопросы к разделу 3.
1. Формула Бернулли.
2. Локальная формула Муавра-Лапласа.
3. Интегральная формула Муавра-Лапласа.
4. Формула Пуассона.
Задание к разделу 3.
Куплено n лотерейных билетов. Вероятность выигрыша на один лотерейный билет р=0,3. Найти а) вероятность того, что из n билетов k билетов выиграют; б) наивероятнейшее число выигрышных билетов.
№ | ||||||||||
n | ||||||||||
k |
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!