Методика решения нелинейных уравнений

СОДЕРЖАНИЕ

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

Введение. 5

1 Теоретические сведения к работе. 6

1.1 Методика решения нелинейных уравнений. 6

1.2 Уточнение корней методом половинного деления. 7

1.3 Уточнение корней методом хорд. 10

1.4 Уточнение корней методом Ньютона. 12

1.5 Пакет MathCad. Использование программных фрагментов. 14

2 Алгоритмический анализ задачи. 19

2.1 Постановка задачи. 19

2.2 Графическая схема алгоритма. 21

3 Описание документа MathCAD.. 23

3.1 Описание расчетно-графической части. 23

3.2 Описание программной части. 23

3.3 Описание исследовательской части. 24

Заключение. 25

Список использованной литературы.. 26

Приложение А.. 27

Приложение Б. 29

Приложение В.. 31

 

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

Введение

 

В современном производстве значительная роль отводится разработкам на компьютере.

Сейчас невозможно представить себе инженера, занимающегося разработкой новых конструкций без использования ЭВМ. Практически ни одно даже самое мелкое предприятие сейчас не обходится без компьютерной техники. Компьютер является мощнейшим средством для реализации различных проектов. Однако, без необходимого программного обеспечения компьютер не в состоянии сделать ничего. Каждый инженер должен уметь не только пользоваться компьютером, но и составлять для него программы, решая конкретные задачи для реально сложившихся условий.

Все в мире программирования основано на взаимодействии человек - ЭВМ и осуществляется при помощи языков программирования. Однако в последнее время появились и стандартные средства, которые значительно облегчают работу разработчика. Одним из таких пакетов является MathCad. Данный программный продукт предоставляет значительные возможности для разработки программ для решения инженерных задач. Созданные в пакете расчетные модели отличаются простотой и наглядностью, а также легко корректируются..

Цель курсовой работы – вычисление корней нелинейного уравнения с заданной точностью.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

1 Теоретические сведения к работе

Постановка задачи.

 

Задание состоит из трех частей.

1. Расчетно – графическая часть

Исходные данные:

· Вид нелинейного уравнения

· Аргумент функции должен быть представлен в виде дискретной переменной. Диапазон изменения переменной выбрать самостоятельно.

Результаты:

· Значения функции, ее первой и второй производных на всем диапазоне значений аргумента функции

· График функции, ее первой и второй производных

· Значения корней уравнения, полученных с помощью

а) трассировки и нанесения маркеров

b) стандартной функции поиска корней уравнения

2. Программная часть

Исходные данные:

· Результаты расчетно – графической части

· Численные методы

a) половинного деления

b) хорд

c) касательных

Результаты:

Значения корней уравнения, полученных каждым численным методом и с разной степенью точности

3. Исследовательская часть

Анализ количества итераций от точности численного метода

Исходные данные:

·

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

Вектор точности вычисления корня уравнения

Результаты:

· Количество итераций вычисления корня уравнения для каждой величины точности

· График зависимостей количества итераций от точности вычислений

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

2.2 Графическая схема алгоритма

 

Планируя процесс вычисления корней нелинейного уравнения составляем последовательность действий необходимых расчетов, который изложен в графической схеме алгоритма (рисунок 6).

 

Начало

Определение нелинейного уравнения f(x)

Нахождение первой и второй производной функции

График начальной функции

Определение аргумента, нахождение значения функции, её первой и второй производной

График и функции, её первой и второй производной

Определение корня стандартной функцией

определение функции метода половинного деления

определение функции метода хорд

А

Рисунок 6. Алгоритм решения задачи.

 

А

определение функции метода касательных

Определения корня с заданной степенью точности

Определение вектора точности вычисления корня уравнен

Расчет количества итераций различными методами

Вывод графика зависимости кол-ва итераций

Конец

Рисунок 6. Алгоритм решения задачи.

 

При вычислении корней нелинейного уравнения первоначально, в соответствии с поставленной задачей, был разработан алгоритм её решения. В графической схеме алгоритма был отражен процесс решения задачи, это и ввод исходных данных, и выполнение расчетно - графической части, и составление программного фрагмента, и

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

проведение исследований по анализу количества итераций, и конечно вывод результатов.

Описание документа MathCAD

Заключение

 

В результате выполнения курсовой работы была составлена графическая схема алгоритма и выполнено вычисление корней нелинейного с заданной точностью в среде Mathcad.

Произведенные расчеты в Mathcad позволили оперативно и точно получить требуемые значения и проанализировать результаты расчетов, как в числовом, так и в графическом виде.

В результате оказалось, что самым эффективным методом является метод касательных, самым неэффективным – метод половинного деления.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

Список использованной литературы

 

1 Воcкобойников Ю.Е., Очков В.Ф. "Программирование и решение задач в пакете Mathcad” Издательство НГАСУ, 2002 - 203 с.

2 Лищенко С.В. «Линейное и нелинейное программирование». - М.: Просвещение, 1987. – 178 с.

3 Практическое руководство к курсовому проектированию по курсу "Информатика" для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения./ Под ред. Трохова Т.А., Самовендюк Н.В., Романькова Т.Л. - Гомель: Учреждение образования "ГГТУ имени П.О.Сухого", 2004. – с.

4 Колдаев В.Д. «Численные методы и программирование». – М.: ИД «Форум», 2009. – 336 с

5 ГОСТ 7.1-84. Библиографическое описание документа. Общие требования и правила составления. - Взамен ГОСТ 7.1-76; Введ. 01.01.86.-М.: Изд-во стандартов, 1984.-78с. (для стандартов).

6 ГОСТ 2.105 – 95. Единая система конструкторской документации. Общие требования к текстовым документам. – М.: Изд-во стандартов, 1995.-36с

7 М/УК 2286 Тема: "Основные приемы работы в системе MathCAd, 6.0.", Гомель, ГПИ, 1998.

8 М/УК 2453 Тема: Решение систем алгоритмических и дифференциальных уравнений в среде MathCAD Windows, Гомель, ГГТУ 2000.

9 М/УК 2564 Тема: "Графические средства пакета MathCAD". - Гомель, ГГТУ, 2001

Приложение А

 

 

 

Приложение Б

 

 

Приложение В

 

СОДЕРЖАНИЕ

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

Введение. 5

1 Теоретические сведения к работе. 6

1.1 Методика решения нелинейных уравнений. 6

1.2 Уточнение корней методом половинного деления. 7

1.3 Уточнение корней методом хорд. 10

1.4 Уточнение корней методом Ньютона. 12

1.5 Пакет MathCad. Использование программных фрагментов. 14

2 Алгоритмический анализ задачи. 19

2.1 Постановка задачи. 19

2.2 Графическая схема алгоритма. 21

3 Описание документа MathCAD.. 23

3.1 Описание расчетно-графической части. 23

3.2 Описание программной части. 23

3.3 Описание исследовательской части. 24

Заключение. 25

Список использованной литературы.. 26

Приложение А.. 27

Приложение Б. 29

Приложение В.. 31

 

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

Введение

 

В современном производстве значительная роль отводится разработкам на компьютере.

Сейчас невозможно представить себе инженера, занимающегося разработкой новых конструкций без использования ЭВМ. Практически ни одно даже самое мелкое предприятие сейчас не обходится без компьютерной техники. Компьютер является мощнейшим средством для реализации различных проектов. Однако, без необходимого программного обеспечения компьютер не в состоянии сделать ничего. Каждый инженер должен уметь не только пользоваться компьютером, но и составлять для него программы, решая конкретные задачи для реально сложившихся условий.

Все в мире программирования основано на взаимодействии человек - ЭВМ и осуществляется при помощи языков программирования. Однако в последнее время появились и стандартные средства, которые значительно облегчают работу разработчика. Одним из таких пакетов является MathCad. Данный программный продукт предоставляет значительные возможности для разработки программ для решения инженерных задач. Созданные в пакете расчетные модели отличаются простотой и наглядностью, а также легко корректируются..

Цель курсовой работы – вычисление корней нелинейного уравнения с заданной точностью.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

1 Теоретические сведения к работе

Методика решения нелинейных уравнений

 

В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:

, (1)

где – некоторая непрерывная функция аргумента x.

Всякое число , обращающее функцию в нуль, т.е. при котором , называется корнем уравнения (1).

При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.

Для отделения корней уравнения (1) необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке. Если функция непрерывна на отрезке , а на концах отрезка её значения имеют разные знаки , то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень. Это условие (как видно из рисунка 1) не обеспечивает единственности корня. Достаточным дополнительным условием, обеспечивающем единственность корня на отрезке является требование монотонности функции на этом отрезке. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием знакопостоянства первой производной .

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КП

Рисунок 1 – Отделение корней. Функция f(x) не монотонна на отрезке [a,b]

Таким образом, если на отрезке функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень. Заметим, что под этот критерий не подпадают кратные корни уравнений, например, очевидный корень уравнения

Воспользовавшись этим критерием можно отделить корни аналитическим способом, находя интервалы монотонности функции.

Отделение корней можно выполнить графически, если удается построить график функции [4, стр 119].